盧卡斯人力資本模型的推導(dǎo)

1、盧卡斯人力資本模型的推導(dǎo)摘自經(jīng)濟(jì)發(fā)展講座2006.5.24就本節(jié)的目的而言，人力資本是指?jìng)€(gè)體的一般技術(shù)水平。因此一個(gè)人力資本為h(t)的 工人的生產(chǎn)力相當(dāng)于兩個(gè)人力資本分別為1 h(t)的工人，或相當(dāng)于一個(gè)人力資本為2 h(t)的 半日制工人。人力資本關(guān)注如下事實(shí)：個(gè)人對(duì)當(dāng)期各種活動(dòng)的時(shí)間分配方式將影響其未來的 生產(chǎn)率，或h(t)水平。把人力資本引入模型就得解釋清楚人力資本水平怎樣影響當(dāng)期生產(chǎn), 以及當(dāng)期時(shí)間分配方式怎樣影響人力資本積累。有很多方法可以系統(tǒng)地闡述“技術(shù)”的這兩 個(gè)方面，根據(jù)個(gè)人目標(biāo)的不同，可自行選擇。讓我們從以下的簡(jiǎn)單假設(shè)開始。假設(shè)共有N名工人，他們的技術(shù)水平h從0到無窮不等。

2、令技術(shù)為h的工人數(shù)量為N(h)，故N = JN(h)dh 0設(shè)技術(shù)為h的工人將其非閑暇時(shí)間的u(h)部分用于生產(chǎn)，1-u(h)用于 0人力資本積累，則生產(chǎn)中的有效勞動(dòng)力一一對(duì)應(yīng)于(2)式中的N(t)為參與當(dāng)期生產(chǎn)的 以技術(shù)為權(quán)數(shù)的工時(shí)數(shù)之和Ne =8(h)N(h)hdh。故若產(chǎn)出為總資本K和有效勞動(dòng)Ne的 0函數(shù)F ( K, N ),則技術(shù)為h的工人的小時(shí)工資為Fn( K, Ne) h,總收入為Fn(K,Ne)hu(h)。個(gè)體人力資本除對(duì)其自身生產(chǎn)率的效應(yīng)外一一我稱之為人力資本的內(nèi)部效應(yīng)一一還應(yīng)考慮 其外部效應(yīng)。具體而言，令平均技術(shù)水平或者說平均人力資本由下式定義：QPhN (h)dh2 =

3、p 8 h =Q2J N (h)dh0這一平均指標(biāo)對(duì)生產(chǎn)中所有因素的效率都會(huì)產(chǎn)生作用。我稱ha為效應(yīng)外溢，因?yàn)殡m然人人 的生產(chǎn)率都從中受益，但個(gè)人人力資本積累的決策對(duì)ha的影響是微不足道的，故沒有人會(huì) 在決定時(shí)間分配時(shí)考慮這一因素。若沿用先前的分析方式并將經(jīng)濟(jì)中所有的工人視為同質(zhì)，則可大大簡(jiǎn)化分析。在本例中，若所有工人的技術(shù)為h,且分配于勞動(dòng)的時(shí)間比例都為u,則有效勞動(dòng)力為Ne = uhN,平均技術(shù)水平ha = h。但我在下文中仍繼續(xù)使用ha這一符號(hào)，以強(qiáng)調(diào)內(nèi)部效應(yīng)與外部效應(yīng)的區(qū) 別。描述商品生產(chǎn)技術(shù)的(2)式現(xiàn)在被下式所替代:N(t)c(t) + K(t) = AK(t)P u(t)h(t)

4、N(t)i-P h (t)rh (t)r反映了人力資本的外部效應(yīng)，技術(shù)水平A現(xiàn)在假設(shè)為不變。a為使模型完整，必須將用人力資本積累的份額1-u(t)與人力資本水平h(t)的變化率聯(lián)系起來。所有內(nèi)容都將圍繞這一聯(lián)系展開。我們從如下假設(shè)開始：人力資本的增長h(t)與其既 有水平及用于積累時(shí)間分配有關(guān)，即：h(t) = h(t)G(1-u(t)為增函數(shù)，G (0) = 0。若令此式中的匚vl，則人力資本積累的收益遞減，由此很容易看出人力資本無法替代技術(shù)項(xiàng)A(t)作為增長的一個(gè)驅(qū)動(dòng)力。未看清楚這一點(diǎn)，請(qǐng)注意由于u(t) 0，(12)式表明：黑 V h(t)8-1 G(1)h(t)h(t)因此不管賦予人力

5、資本積累的時(shí)間份額有多大，三4最終必趨向于零。在這種情況下只是 h(t)使索洛模型復(fù)雜化了，而未提供任何真正的新東西。在假設(shè)(12)式的右邊線性(匚=1)的情況下，宇澤(1965)提出了一個(gè)與此十分類似的模型(他同時(shí)假設(shè)r = 0,U(c) = c)。他的方法的顯著特征，在于其僅靠內(nèi)生的人力資本積累即可以保證人均收入的持續(xù)的增長，無需外部的“增長驅(qū)動(dòng)”。宇澤的線性假設(shè)看起來似乎是行不通的，因?yàn)槲覀冊(cè)诂F(xiàn)實(shí)中觀察到的人力資本的個(gè)體收益 是遞減的。人們?cè)谏脑缙谶M(jìn)行快速積累的收益要小。但這一現(xiàn)象也有另外一種解釋，即 人的生命是有限的，所以隨著生命的縮短，增加人力資本的回報(bào)也會(huì)隨之下降。羅森(197

6、6) 證明，當(dāng)匚=1時(shí)，又(12)式所示的積累技術(shù)與我們觀察到的關(guān)于個(gè)人收入的證明一致的。我把宇澤一一羅森公式改變一下，為簡(jiǎn)單起見假設(shè)G是線性的，得到：h(t) = h(t)5 1-u(t)根據(jù)(13)式，若不進(jìn)行積累(u(t) = 1),則累積量為零。若全部時(shí)間用于積累(u(t) = 0 ),則h(t)達(dá)到最大增長率5。在這兩個(gè)極端之間，不存在h(t)的收益遞減，h(t)每一給定百 分比的增長都需要付出相同多的努力，而不管h(t)的既有水平多高。我不得不說些題外話，因?yàn)榘延糜谟邢奚鼈€(gè)人的由(13)式表示的人力資本積累技術(shù)應(yīng)用 于無限生命的代表性家庭還需要做些工作。例如，每個(gè)人以羅森模型中描

7、述的方式獲得人力 資本，但這些資本完全沒有傳遞給下一代，則家庭的人力資本存量不變(家庭人口固定)。要使(13)式適合家庭行為，不但需要假設(shè)個(gè)人積累服從此式，還需假設(shè)每一新家庭成員的 初始人力資本水平為家庭中舊成員既有人力資本水平的一個(gè)比例(但與舊成員不相等)。這 只是我強(qiáng)調(diào)的一般事實(shí)的一個(gè)例子：人力資本積累是項(xiàng)社會(huì)行為，他將人類群體包含進(jìn)來的 方式在物質(zhì)資本積累中是找不到相似之處的。除了(11)至(13)式中所描述的技術(shù)變化議政和人力資本及其積累，此模型與索洛模型是 完全相同的。系統(tǒng)是封閉的，人口以不變的速度增長，代表性家庭具有(1)式所描述的偏 好。我們繼續(xù)分析這一模型。當(dāng)存在外部效應(yīng)勺(t

8、)時(shí)，最優(yōu)增長路徑與競(jìng)爭(zhēng)均衡路徑不再 一致，因此我們無法通過研究應(yīng)用于索洛模型的假設(shè)規(guī)劃問題而建立均衡。但是參照羅默對(duì) 一個(gè)與之十分相似的模型的分析方法，我們可分別得到最優(yōu)路徑和均衡路徑，并對(duì)兩者加以 比較。所謂最優(yōu)路徑，我指的是在(11)和(13)式的約束下，并且在所有t期都滿足h(t) = ha(t)的情況下，選擇一組K(t)、h(t)、H(t)、c(t)及u(t)以最大化效用函數(shù)(1)式。均衡路徑則要復(fù)雜一些。首先假設(shè)h. (t)的路徑是給定的，就像索洛模型中的外生技術(shù)路徑A(t)。給定h (t)，考慮一個(gè)由原子型的家庭和廠商構(gòu)成的私人部門。假設(shè)每一經(jīng)濟(jì)行為人 a都預(yù)期人力資本的平均水平

9、服從路徑h(t)，則私人部門問題有解。也就是說，將h(t)使做外生給定，在(11)和(13)式的約束下，選擇h(t)、k(t)、c(t)及u(t)以最大化效用函數(shù)(1)式。當(dāng)路經(jīng)h(t)與ha(t) 一致時(shí)一一因此真實(shí)行為和預(yù)期行為相同一一我們說系統(tǒng) 達(dá)到了均衡?！坝白觾r(jià)格” 1(t)和92(t)分別用來對(duì)物質(zhì)資本和人力資本的增長估價(jià)，求解最優(yōu)路徑的當(dāng) 期漢密爾頓函數(shù)為：N .H(k,h,9 ,9 ,c,u, t) = i (ci-。-1)+0 AK& (uNh)i-& hi - Nc +0 8h(1 -u)此模型中有兩個(gè)決策變量一一消費(fèi)c(t)和用于生產(chǎn)的時(shí)間u(t)。通過選擇這兩個(gè)變量(用

10、最有規(guī)劃法)以最大化Ho-階條件為：(14) c-7=01及9i(1-P)AK& (uNh)-& Nhi+i =028h商品的兩種用途一一消費(fèi)及資本積累邊際價(jià)值必須相等，即(15)式。兩種資本的影子價(jià)格0和0 2的變動(dòng)率如下：qupq-q。AK-1(uNh)1-P hi% = p02 -q (1- P +1)AKP (uN)1-P h-P+y -0 8 (1-u)則(11) (13) (14)至(17)式以及此處我未寫出來的兩個(gè)橫截性條件，隱含地描述了 K(t)和龍0)從任何初始混合狀態(tài)開始的最優(yōu)路徑。在均衡中，私人部門要“解決” 一個(gè)本質(zhì)上與上述形式相同的控制問題，但把(11)式的h (t)

11、，視作給定。市場(chǎng)出清要求任何t期h (t) = h(t)，因此同最優(yōu)路徑一樣，(11)、(13)、(14)、 a(15)、(16)式是均衡的必要條件。但(17)式再此出不再適用：最優(yōu)分配和均衡分配對(duì)人 力資本的評(píng)價(jià)顯然是不同的。對(duì)私人部門而言，在均衡中(17)式將被下式所替代：氣=P02 -01(1-P)AKP (uN)i-P h-Ph y -928 (1-u)由于市場(chǎng)出清要求任何t期都有氣(t) = h(t)，因此上式可被寫為：氣=p92 -91(1-p)AKP (uN)i-P h-p+y -928 (1-u)注意，若Y= 0，則(17)和(18)式相同.正式由于外部效應(yīng)丫0的存在，才導(dǎo)致社

12、會(huì)評(píng) 價(jià)方程(17)和私人評(píng)價(jià)方程(18)式出現(xiàn)分歧。如同處理較簡(jiǎn)單的索洛模型一樣，刻畫最優(yōu)路徑和均衡路徑的最簡(jiǎn)單的方法是從尋找兩個(gè)系 統(tǒng)的平衡增長解開始：此時(shí)消費(fèi)和兩種資本的影子價(jià)格以不變的速度下降，時(shí)間分配量u (t) 不變。我們首先考慮最優(yōu)路徑和均衡路徑的共同特征，暫時(shí)將(17)式和(18)式置于一邊。如前文，用K表示c(t)/c(t)，則(14)和(16)式隱含地決定了資本條件的邊際生產(chǎn)率：(19)PAK(t)P-1(u(t)h(t)N(t)1-Ph(t)y =p+bk上式類似于(6)式。如在先前的模型中那樣，很容易證明在平衡路徑上K(t)必以k+人的 速度增長，且儲(chǔ)蓄率s是不變的，其

13、值由(10)式給定。在這些關(guān)于物質(zhì)資本積累事實(shí)的推 導(dǎo)過程中，h(t)是選擇的結(jié)果，還是象前面模型中的技術(shù)變化那樣是個(gè)外生力量并不重要。若我們?cè)谄胶饴窂缴狭顅 = h(t)/h(t)，則顯然由(13)式可得：(20)V=8(1-u)對(duì)(19)式微分，可得到消費(fèi)和人均資本的共同增長率K ：(21)K = (1-3(1-P)u由于h(t)以固定速度V增長，此處(1-P+Y)V的作用相當(dāng)于外生技術(shù)變動(dòng)率R在前面模型中的作用。我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)而考慮人力資本增長率V的決定因素，通過對(duì)一階條件(14)式和(15)式微分,0并消去61（t）/61 （t），得到：（22） 02 = （p-a）k-（p-y）v+X

14、2從現(xiàn)在開始，效率路徑和均衡路徑的分析開始分離。先來看效率路徑，由（17）式和（15） 式可得：（23）=p -8 一1-P然后從（20）式中解出u的表達(dá)式代入（23）式，再由（22）式和（23）式消去62（t）/62（t）， 并將K寫成由v表達(dá)的形式，最后通過與（21）式聯(lián)立，消去K而解出人力資本的效率增長率，我稱之為V*:（24）V* =b-i8-1-Pi-p+y若模型沿著均衡路徑，則（18）式取代了（17）式，（23）式也被下式所替代:（25）=P-82按照從（23）式中推導(dǎo)出效率增長率v *的方法，我們可以從（25）式得到均衡增長率: v=g（1-P+y）-y -1 *-8）8-（p-入）要應(yīng)用（24）式和（26）式，V和V*不可超過最大可能增長率8。這一限定條件由下式表1 -P p-人 ,人.示：（27）a 1 -因此當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避水平太低時(shí)（即消費(fèi)的夸期可替代性太1-P+y 8高）本模型不可用。當(dāng)（27）式滿足等式條件時(shí)，則有V =V* =8 ；當(dāng)不等式嚴(yán)格滿足時(shí), 正如我們預(yù)料的那樣，V* V。（24）式和（26）式分別給出了人力資本沿平衡路徑的效率增長和均衡增長率。