基于小孔成像原理及透鏡畸變現(xiàn)象的相機標定模型

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)基于小孔成像原理及透鏡畸變現(xiàn)象的相機標定模型摘要本文就數(shù)碼相機定位過程中系統(tǒng)標定的實現(xiàn)問題，建立了基于小孔成像原理并考慮透鏡徑向一階畸變影響下的尋找靶標圓心像坐標，并由該像坐標確定相機間相對位置的模型。對靶標圖像處理時，將圖像轉換為二值圖并用矩陣保存，設計了利用圖像邊界像素點的性質提取靶標像邊緣的計算機算法。為確定靶標上圓心在相機像平面上的像坐標，設計了反映射法和解析法兩種方法。在反映射法中根據(jù)小孔成像模型將靶標像的邊緣反向映射，得到一個圓心點坐標后再將其映射回像平面以

2、確定靶標圓心像坐標。不考慮透鏡一階徑向畸變對成像的影響時，計算出5個圓心的像坐標分別為：A(-189.41,194.78)，B(-89.25,187.21)，C(127.01, 171.14)，D(-227.54， -117.54)，E(70.5552，-118.96)；考慮透鏡一階徑向畸變對成像的影響時，將小孔成像模型進行修正后，計算出5個圓心的像坐標分別為：A(-189.59,194.99)，B(-89.32,187.37)，C(127.81, 171.29)，D(-227.75， -117.66)，E(70.62，-119.05).在解析法中利用小孔成像原理得出靶標上圓的邊界點與像平面上

3、像的邊界點之間的解析關系，建立超定方程組，解此方程組得到圓心像坐標。用解析法計算出5個圓心的像坐標分別為：A(-189.27, 194.60)，B(-89.21, 187.17)，C(127.01, 171.49)，D(-227.55，-117.58)，E(69.98，-118.12).根據(jù)靶標上圓心的像坐標及各圓心之間的距離，得到靶標上各圓心在相機坐標系中的坐標。利用標靶各圓心分別在兩個相機坐標系中的坐標，由空間直角坐標系的轉換方法可計算得到兩相機坐標系間的轉換參數(shù)，由此轉換參數(shù)即可得到兩相機之間的相對位置。對確定靶標圓心像坐標模型中的算法精度進行模擬檢驗，結果表明算法精度較高。利用靈敏度對

4、模型的穩(wěn)定性進行了分析，并具體計算出以靶標中圓E為例，反映射法和解析法兩種方法的靈敏度值為0.14, 0.07。最后對模型進行了評價。關鍵字：系統(tǒng)標定 小孔成像 透鏡徑向一階畸變 反映射法 解析法 坐標系轉換參數(shù) 靈敏度問題的重述數(shù)碼相機定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應用。數(shù)碼相機定位，是指用數(shù)碼相機攝制物體的相片確定物體表面某些特征點的位置。數(shù)碼相機的定位可以用雙目定位（即用兩部相機來定位）的方法實現(xiàn)，步驟如下：用兩部固定于不同位置的相機攝得物體的像，分別獲得物體上的特征點在兩部相機像平面上的坐標。確定兩部相機精確的相對位置。用幾何的方法得到特征點在固定一部相機的坐標系中的坐標，即

5、確定了特征點的位置。對于雙目定位，精確地確定兩部相機的相對位置是確定特征點的關鍵，這一過程也稱為系統(tǒng)標定。標定的一種實際做法是，在物平面上畫若干個圓（稱為靶標），同時用兩部相機照相，分別得到這些圓在它們像平面上的像。以圓心為靶標的特征點，找出這些圓的圓心在像平面上對應的像點，利用兩張照片中兩組點的幾何關系就可以得到這兩部相機的相對位置。但靶標上圓的像一般會變形，如圖1所示，所以必須從靶標上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標定才可實現(xiàn)。現(xiàn)已知某靶標如下，取1個邊長為100mm的正方形，分別以四個頂點（對應為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點30mm處的B為圓心，1

6、2mm為半徑作圓，如圖2所示。 圖1 靶標上圓的像圖 2 靶標示意圖用一位置固定的數(shù)碼相機攝得其像，如圖3所示。圖3 靶標的像我們需要做的是：建立數(shù)學模型和算法以確定靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標, 這里坐標系原點取在該相機的光學中心，x-y平面平行于像平面；對由圖2、圖3分別給出的靶標及其像，計算靶標上圓的圓心在像平面上的像坐標, 該相機的像距（即光學中心到像平面的距離）是1577個像素單位(1毫米約為3.78個像素單位)，相機分辨率為1024768；設計一種方法檢驗已建立的模型，并討論方法的精度和穩(wěn)定性；建立用此靶標給出兩部固定相機相對位置的數(shù)學模型和方法。問題的分析2.1 相機定位

7、模型的整體分析利用雙目定位的方法進行相機定位時，精確地確定兩部相機的相對位置即系統(tǒng)標定是關鍵。在系統(tǒng)標定過程中，由于無法在物平面或像平面上直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點”，只能在物平面上畫若干個圓作為靶標用兩部相機對其進行拍攝，然后，在拍攝到的像中找出兩組圓的圓心的像坐標，再利用圓心像坐標確定出兩組圓心的幾何關系，進而確定出兩部相機的相對位置。由此可知，在以圓作靶標的系統(tǒng)標定方法下，可將系統(tǒng)標定分作一下兩個關鍵步驟：由靶標的像確定靶標上圓的圓心在相機像平面中像坐標；由兩組在不同相機像平面上的圓心像坐標確定出兩相機的相對位置。顯然，兩部相機相對位置的確定依賴于兩組圓心像坐標的確定。所以，需先建立用靶

8、標的像來確定靶標上圓的圓心像坐標的模型并設計算法將其求出，再在此基礎上建立確定兩部相機相對位置的模型。2.2確定圓心像坐標的兩種方法分析經(jīng)典的攝像機模型小孔成像模型，發(fā)現(xiàn)造成拍得的靶標的像出現(xiàn)變形主要是由靶標所在的物平面與像平面不平行導致的。小孔成像模型是攝像機的理想模型，沒有考慮到攝像機本身存在的缺陷等會導致拍攝得到的像出現(xiàn)畸變，而靶標的像出現(xiàn)變形也可能是由于這種畸變造成的。由以上分析可知，靶標的像出現(xiàn)變形是由靶標所在物平面與像平面不平行，以及相機本身缺陷造成圖像畸變兩方面原因造成的。對于利用像平面上的圖形確定靶標上圓的圓心像坐標的問題，我們想到兩種可行的方法，以下作具體分析。2.2.1反映

9、射法在相機的理想模型小孔成像模型中，假設一個物平面，則由靶標的像經(jīng)反向的映射得到一個在該物平面上的圖像。改變該物平面，使該物平面與相機像平面呈不同的角度，則可反向映射得到在該物平面上的不同圖像。當這個物平面與靶標所在的物平面平行時，由于小孔成像模型是線性呈像，則靶標的像反映射到這個物平面上形成的像與靶標上的圓是相似，也是一個圓。相反，當靶標的像影射到該平面所形成的圖象為圓時，該平面與靶標所在的平面平行，這時該圓心映射到像平面上的點即為靶標上圓的圓心在像平面上的像點?？紤]相機自身缺陷造成圖像畸變時，簡單起見，只考慮一階徑向畸變的影響，對理想的小孔成像模型作修正。2.2.2解析法解析法確定靶標上的

10、圓的圓心像坐標主要基于數(shù)學解析計算。直接建立靶標平面與像平面之間的空間關系，得到與中圖形外輪廓上對應像素點之間滿足的空間變換方程。因中的點滿足圓的方程，從而可推導出中每個對應點滿足的方程，并建立起一個關于圓心像坐標及其它參數(shù)的超定方程組。為尋找一個對所有方程適應度最大的解，可運用最小二乘的原理，尋找一個解使其在所有方程構成的解空間中對每一方程的偏移度最小。由此就可以得到圓心位置的最優(yōu)解。2.3 檢驗模型精度與穩(wěn)定性的分析一個模型的精度應是指計算結果與實際情況的偏離程度，由于我們無法真實再現(xiàn)整個空間拍攝過程，所以考慮運用模擬實際成像的方法做出檢驗。具體為，在固定像平面的情況下，隨機生成一個在空間

11、中靶標平面，并生成某一大小的圓；通過小孔成像，在像平面上得到圓的像覆蓋的像素點集，以及圓心像在像平面內(nèi)的坐標；再用我們設計的計算方法求解圓心像在像平面內(nèi)的坐標，對比兩者之間的差值，就能檢驗模型的精度。由于在相機拍攝過程中焦距無法完全合適及相機本身的原因，使拍攝出的圖像的邊界處會出現(xiàn)模糊，具體表現(xiàn)為圖像邊界處像素點的不穩(wěn)定，我們用“噪音”來描述這種圖像邊界像素點的不穩(wěn)定情況。這種不穩(wěn)定會影響靶標上圓的圓心像坐標的計算，使計算結果產(chǎn)生一個隨機誤差。為測定穩(wěn)定性，我們可以人為加入“噪音”，即用人為移動像的邊界像素點來實現(xiàn)。具體可以用泊松分布來隨機產(chǎn)生邊界像素點在x軸方向和y軸方向上的移動點數(shù)，再在有

12、噪音的情況下計算圓心像的坐標，比較它與無噪音時求出的坐標的不一致程度，就可以檢驗模型的穩(wěn)定性。2.4 確定兩相機空間位置關系的分析由于是以相機的光學中心為坐標系原點，所以有兩個相機便存在兩個空間直角坐標系，在這兩個坐標系中，靶標上圓的圓心有不同的坐標，而靶標上圓的圓心是這兩個坐標系的公共點，也就是說，靶標上圓的圓心將兩個分別以兩部相機的光學中心為原點的坐標系聯(lián)系起來。所以，考慮到求出靶標上圓的圓心在兩個不同坐標系中的坐標，使用空間直角坐標轉換的方法，便可求得以兩相機光學中心為原點的兩個坐標系間的轉換關系，從而也就求得了兩相機間的相對位置關系。若要求得靶標上圓的圓心在兩個不同坐標系中的坐標，需要

13、利用靶標上圓的圓心像坐標。過靶標上圓的圓心像坐標和原點作直線，該直線即為映射光線，令該直線與空間某平面相交于一點。過5個圓心像坐標分別作5條直線，與平面相交于5個點，這5個點之間的距離與靶標平面上5個圓心間的距離越接近，則空間中的這個平面越接近于靶標所在的平面，所作直線與平面的交點也就越接近于靶標上圓的圓心，交點的空間坐標即可作為靶標上圓心的空間坐標。基本假設所用相機的像距均為1577個像素單位（毫米約為3.78個像素單位），其分辨率為1024768。兩部同時拍攝的相機具有相同的屬性。所的圖象的邊緣像素點分布基本均勻。名詞解釋與參變量說明4.1 名詞解釋1數(shù)碼相機定位：是指用數(shù)碼相機攝制物體的

14、相片來確定物體表面某些特征點的位置。2雙目定位：是數(shù)碼相機定位種最常用的方法，即用兩部相機來定位，以確定特征點的位置。3系統(tǒng)標定：精確確定兩部相機相對位置的過程。4靶標：用于確定兩相機相對位置的設計的物平面，其上有若干個圓。5像距：相機光學中心到像平面的距離。6物距：相機光學中心到拍攝實物的距離。7像素單位：它表征空間距離，1個像素單位約為個毫米。8相機分辨率：表征像平面長寬由多少個像素單位構成。9超定方程組：方程個數(shù)多于變量數(shù)的方程組。10畸變系數(shù)：表征相機拍攝過程中非線性失真的大小。10噪音：描述圖像邊界像素點的不穩(wěn)定情況。4.2 參變量說明參變量定義單位物平面像平面相機像距像素中第個圓圓

15、心的像在平面中的坐標即在以相機A的光學中心為坐標原點的坐標系中，相機B的光學中心的坐標靈敏度畸變系數(shù)模型的建立5.1 建模前的準備（像平面上像的邊界點提?。?shù)碼相機攝得的靶標的圖像保存為.bmp格式的單色位圖，得到由黑白兩種顏色組成的0-1圖或二值圖。使用MATLAB軟件直接讀入此.bmp格式文件，可得到靶標像所成的圖的矩陣保存形式，其中的每個元素代表相應圖中的像素點，如第i行、第j列元素代表圖中第i行的第j個像素點。靶標像所成的圖為二值圖，在靶標像圖矩陣中某元素為0表示該像素點為黑色，為1表示該像素點為白色。這樣，靶標的像圖就表示為一個0-1矩陣。又由于相機分辨率為1024768，所以靶標

16、像圖矩陣為一個768行，1024列的0-1矩陣。為提取像的邊界點，觀察像平面上像的邊界點及其周圍的像素點，可以看出，像的邊界點為黑色，且上、下、左、右四個方向上的相鄰像素點中存在白色的像素點。所以，在靶標像圖矩陣中，表征邊界像素點的矩陣元素為0，且該元素上、下、左、右四個方向上的相鄰元素中存在值為1的元素。由此可見，對靶標像圖邊界像素點的搜索過程可以轉換為對靶標像圖矩陣元素的搜索。 5.2 建立確定圓心像坐標的數(shù)學模型與算法設計5.2.1 不考慮相機畸變影響下的模型在系統(tǒng)標定過程中，需要通過分析不同方位的相機對同一靶標拍攝的像之間的幾何關系，來確定兩部相機的空間相對位置。而這其中的關鍵，就是在

17、同時考慮相機拍攝角度與透視原理對成像的影響下，找出靶標中圓的圓心在像中的位置。先不考慮相機畸變因素對模型的影響，并將相機拍攝實物的過程近視為一個針孔成像的過程，此時我們分別從兩種不同的思路建立了求解圓心像位置的模型，得到了非常相似的結果。 （1）第一種方案（反映射法）1) 原理闡述及目標函數(shù)的確立此模型首先運用針孔成像原理對相機拍攝成像過程進行了簡化。設靶標所在的平面為，像所在的平面為，相機鏡頭的中心為光學中心，鏡頭所在平面平行于像平面，設為建立以相機光學中心為坐標原點，像平面垂直于軸的坐標系，其光路原理如下圖所示： 圖1 針孔成像下的光路原理圖此方案主要運用了光路可逆原理的思想。由于不同空間

18、方程下的物平面與像平面中形狀不一的圖形是一一對應的。于是將像平面上的圖形通過小孔反映射到某一屏上，搜索使屏上圖形最接近于圓時，屏的空間平面方程；再將此時中圓的圓心重新一一映射回平面，這樣就可以得到精確度較高的圓心像的坐標。如圖2所示：圖2 反映射過程其中，像平面與光學中心的距離對固定相機來說是恒定不變的，設其為。將經(jīng)過翻轉后平移到的位置中，使得此時與上相應點的位置有更好的對應關系，也即是此時與中對應點的連線通過原點。 下面建立與中圖像上的點的位置關系。設物平面的方程為,其一般式為. (1)其中，與前的系數(shù)表征平面的空間角度，常數(shù)項的取值表征物平面與像平面中圖像的大小關系。從原點出發(fā)將中每一個圓

19、的邊緣映射到中，設中任一邊緣點的坐標為,原點坐標為=(0,0,0),則映射到中任一點所形成的直線方程，也即光路方程為,代入=(0,0,0),得到. (2) 聯(lián)立(1)與(2)就可以求得光線與平面的交點，記為，為中圖形輪廓的個數(shù)，1,2，,k.為在像素平面離散化后的圖形輪廓點的個數(shù)，1,2,. 對于每個圓的值都不相同。 如何判斷平面中的輪廓是一個正圓成為求解的關鍵。我們對此時的幾個輪廓分別求幾何中心，并檢驗此中心到輪廓每個點的距離的均衡程度，認為最均衡時對應的輪廓就為圓。于是可建立使均衡度最高的優(yōu)化模型，求出此時的平面方程，進而得到中每個圓圓心的坐標，這些坐標與原點連線后與平面相交的點就是圓心像

20、的位置。運用以上思想，先求出映射到平面上個外輪廓的幾何中心，也即是輪廓坐標的平均值。即：, , .再計算此中心到輪廓個點的距離平均值。設此距離均值為，得到. (3)我們定義均衡程度為此中心到輪廓每個點的距離與的差距程度。設表示均衡程度，我們用這兩者比值減一的平方來表征這種差距。有 ,將各圓的均衡程度相加，得到總均衡程度，于是建立起使總均衡程度最小為目標的最優(yōu)化函數(shù)如下：Min . (4)在此目標值最小時，求出平面方程及中每個圓的圓心坐標。運用兩點式直線方程(2)的變形 , (5)就可求解到第個圓圓心的像在平面中的坐標。2）提高算法效率的初始值設定(略)（2）第二種方案（解析法）這種解析的方式直

21、接建立靶標平面與像平面之間的空間關系，得到與中圖形外輪廓上對應像素點之間滿足的空間變換方程，由于要使中的圖形皆為圓，于是通過建立中點滿足的關系式，反過來得到了中點滿足的約束條件。已通過對原圖的像素取點，得到像平面中構成一個外輪廓的點約有兩百多個，于是可以建立關于這兩百多個點滿足關系式的超定方程，來求解圓心位置的最優(yōu)解。我們將圖2中的平面改為平面得到圖5，同理將像平面經(jīng)旋轉變換后移至的位置中，使得物平面中圓與其像之間的連線通過原點。圖5 物平面與像平面的空間關系設物平面的方程為,像平面的方程為,物平面上任一點在像平面上的對應點為。根據(jù)圖5得到與中對應點之間的連線通過圓心。因此得到與中外輪廓上對應

22、像素點之間滿足的關系式 . (7)用像平面上的點表達物平面上點滿足的關系式，由(7)解得 , (8)若令(8)中 , (9)則由(8)、(9)得 . (10) 這就是與中外輪廓上對應像素點之間滿足的空間變換方程。令物平面上的第個圓圓心坐標為(),像平面上對應圓心像坐標為 (),（這里與前假設不同，僅為了統(tǒng)一標識變量），記 , (11)同理有 . (12)對物平面上的點來說，由于其構成一個圓，則必然滿足圓方程. (13)聯(lián)立(10)(12)(13)，得到像平面上點滿足的關系式. (14) 設平面中第個圓外輪廓上有個像素點，每個點表示為(),.代入(14)式，建立起以,為變量的兩百多個方程的超定方

23、程組，求解出最優(yōu)的, 值，其中()即為所求第個圓圓心的坐標。我們運用最小二乘的思想來求解最優(yōu)解，先以兩變量，三方程構成的超定方程組來說明運用最小二乘求解超定方程組的原理。假設兩變量，三方程構成平面上的三條直線，若三條直線相交，則可直接得到滿足三方程的解；但一般情況下，三條直線并不相交，于是考慮在三直線相交成的三角形區(qū)域內(nèi)尋找一個點，使其到三條邊的距離的平方和最小，此時就認為這個點就是最優(yōu)解。于是對超定方程組，在給定了一個解之后，將兩百多個方程中的常量移至方程的右邊，考慮最特殊的情況，若兩百多個方程同時滿足一個解，則方程右邊應全為零。但現(xiàn)在對每一個接近最優(yōu)解的解，方程右邊出現(xiàn)的常量就表征了此方程

24、與此解相差的程度，我們自然希望能找到某個解使得所有方程右邊的常量最小，而對這個“最小”的衡量可以運用最小二乘的方式。將每一個給出的解帶入方程組，求出每個方程常數(shù)項的平方和，搜索使這個值最小對應的解作為最優(yōu)解。同樣運用MATLAB中fminsearch函數(shù)搜索，使其自動尋找并逐步靠近最優(yōu)解，對每一個圓所成的像做相同的處理就可得到最優(yōu)解。5.2.2 考慮相機畸變影響下的模型相機的畸變有多種，此時考慮徑向一階畸變下的模型。由于像平面上的點與物平面上對應點的連線通過原點，因此他們對應點的空間坐標成比例關系。像平面的軸坐標為，又設為不考慮畸變時像平面上的點，為物平面上的點，所以有. (15)由參考文獻1

25、得到相機畸變模型如下 . 其中， 為考慮畸變時像平面上的點；為畸變系數(shù)；為光學中心到像平面的距離。在此模型下，由像平面上的點計算其在物平面 (19)上的對應點的計算公式的推導過程如下：由(16)/(17)得,若令,則有. (20)若能求得，則就能得到像平面與物平面的映射關系，于是，為解出的表達式，將(20)帶入(16)得并整理得.解此關于的二次方程，得 ,容易分析出 ,令得 (21)結合(19)(20)求得于是就能得到像平面與物平面的映射關系，從而可由像平面上的點計算其在物平面上的對應點。5.3 建立兩部相機空間位置關系的數(shù)學模型（略）模型的求解6.1 圓心像坐標的求解結果我們已建立對靶標中任

26、意個數(shù)的圓普適的圓心像坐標求解模型，對題中所給的特定靶標代入，為圓的個數(shù)，就可進行求解。題中所給靶標如下：圖6所給靶標圖形這是一個邊長為100mm的正方形，分別以四個頂點（對應為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓，再以AC邊上距離A點30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，得到靶標圖形。由于1mm約為3.78個像素單位，所以所給的正方形邊長約為378個像素單位，圓半徑約為45.36個像素單位。運用反映射法與解析法分別得到了兩組圓心的最優(yōu)位置。其中以像素作為基本單位，以長寬為1024786個像素單位的像平面中點為坐標原點，建立平面坐標系。將靶標中圓的外輪廓及圓心投影到坐標系中，由于三種

27、方法得到的解幾乎相同，我們僅畫出解析法下的圓心坐標，如圖7所示：圖7靶標像的輪廓及圓心像位置關系在此坐標系下，給出兩種方式下的圓心像的位置坐標值，如表1所示：表1 三種方式下求解到的圓心像的位置坐標針孔成像下反映射法得到的圓心位置坐標值（像素單位）對各不同的圓ABCDEx-189.41-89.25127.67-227.5470.56y194.78187.21171.14-117.54-118.96針孔成像下解析法得到的圓心位置坐標值（像素單位）對各不同的圓ABCDEx-189.27-89.21127.01-227.5569.98y194.6187.17171.49-117.58-118.12考

28、慮畸變影響下反映射法得到的圓心位置坐標值（像素單位）對各不同的圓ABCDEx-189.591-89.3184127.8106-227.74870.616y194.9769187.3797171.2893-117.662-119.0496.2 靶標上圓心坐標的確定（略）模型的檢驗與分析7.1 對兩種方式下求解圓心位置的檢驗與分析對如上兩種模型求解的圓心像坐標，我們運用模擬實際情況的方式對模型精度進行檢驗。也就是用模擬結果與不同計算方式下的結果做對比，分析出各模型的精度。而這個模擬過程的具體設定如下：在空間中固定一個成像平面，在排除傾角過大的情況下，隨機生成一個與像平面呈某空間角度的靶標平面。在靶

29、標平面隨機生成一個大小適度的圓，圓的半徑設定在50到100個像素之間。由于像平面實際上是離散化的，等效于一張網(wǎng)格面，而網(wǎng)格密度就以1024768的分辨率來確定。將像平面上的網(wǎng)格點全部以針孔成像的方式映射回靶標平面。生成一個與格點對應的矩陣記錄映射情況，若格點落在圓外，則記這個點對應的矩陣元素為1，若格點落在圓內(nèi)，則記這個點對應的矩陣元素為0。將落在圓內(nèi)的格點重新映射回像平面，而它們構成的點集的空間位置已由矩陣記錄。確定靶標上的圓的圓心映射到像平面上的空間坐標位置，記為。分別運用已建立的兩種方法試求解這個點集中圓心像的空間坐標，記反映射法下得到的坐標為；記解析法下得到的坐標為。計算兩種方式下算得

30、的坐標與模擬真實情況下的圓心像坐標的距離，即計算,.進行多次模擬，計算與的平均值，作為精度的衡量標準。運用以上模擬方法，計算得反映射法下的均值在0.4個像素單位左右，而均值在0.08個像素單位左右，于是得出解析法的精度高于反映射法的結論。下面對產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因作初步分析。對反映射方法求圓心，其求解過程的關鍵就在于判定像反映射回的圖像為一圓，其誤差也最可能產(chǎn)生在這一點上。我們在確定其為一圓的過程中，主要采用圖形的幾何中心到外輪廓上點的平均距離與每一點對應距離之比的均衡程度來衡量，由于各均衡度之間差距很小，所以若計算精度不高，則比較時就會出現(xiàn)較大誤差對解析法求圓心坐標這種方式，其關鍵就在于在五維

31、解空間確定一個點成為對兩百多個方程適應度最高的解，這種方式下運用最小二乘原理求解方程右邊常數(shù)平方和對應的最小五維空間，其解的誤差應多出現(xiàn)在運算精度的設定上，所以較第一種方式精度更高。 第一種方式下程序的運行時間在1秒以內(nèi)，第二種方式下程序的運行時間在2秒以內(nèi)，這說明了在第一種方式下，我們找到了較為精確的初始值；而雖然第二種方式下，大部分的工作已由解析過程完成，但要在一定范圍內(nèi)搜索五維變量的最優(yōu)解，必然需要多一些的時間。7.2 方程穩(wěn)定性的分析7.2.1 穩(wěn)定性的衡量標準的設定由于在相機拍攝過程中焦距無法完全合適及相機本身的原因，使拍攝出的圖像的邊界處會出現(xiàn)模糊，這種模糊在二值圖上表現(xiàn)為圖像邊界

32、處的黑色像素點參差不齊，光滑性、連續(xù)性差。此處，我們用“噪音”來描述這種圖像邊界像素點的不穩(wěn)定情況。在確定像平面上圓心的像坐標時，像邊界的噪音大小，即邊界像素點的不穩(wěn)定程度，對圓心像坐標的確定存在影響。具體表現(xiàn)為當像邊界噪聲增大時，圓心像坐標的確定越不準確。所以，有必要對本文中確定像平面上圓心像坐標的方法作穩(wěn)定性分析。為討論本文中確定像平面上圓心像坐標模型的穩(wěn)定性，我們對提取出的圖像邊界人為加入一定的噪音，再利用加入噪音后的邊界，在本文中確定圓心像坐標的模型下求取出此時的圓心像坐標，計算該圓心像坐標位置與不加噪音時的圓心像坐標位置間的距離，以此為依據(jù)判斷模型穩(wěn)定性的好壞。噪音的加入用人為移動像的邊界像素點來實現(xiàn)，例如將某個提取出的邊界像素點在X軸方向上移動1個像素點，在Y軸方向上移動2個像素點。為保證加入的噪音的真實性，我們采用泊松分布來隨機產(chǎn)生邊界像素點在x軸方向和y軸方向上的移動點數(shù)，若某像素點在兩個方向上的移動點數(shù)都為0時，則表示該像素點未發(fā)生移動。我們用靈敏度來衡量穩(wěn)定性，即在受到噪音干擾的情況下，模型對干擾的靈敏度越高，其穩(wěn)定性越差，反之亦然。靈敏度定義如下：,其中，表示所有邊界像素點的平均移動距