開(kāi)放式基金投資最優(yōu)決策

1、開(kāi)放式基金投資最優(yōu)決策一、問(wèn) 題某開(kāi)放式基金現(xiàn)有總額為15億元的資金可用于投資，目前共有8個(gè)項(xiàng)目可供治理人選擇，每個(gè)項(xiàng)目可重復(fù)投資。依照專家經(jīng)驗(yàn)，對(duì)每個(gè)項(xiàng)目投資總額不能太高，應(yīng)有上限。這些項(xiàng)目所需要的投資額已知，一般情況下投資一年后各項(xiàng)目所得利潤(rùn)也可估算出來(lái)，如表1所示。表1 單位：萬(wàn)元項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投資額67006600485055005800420046004500年利潤(rùn)11391056727.51265116071418401575上 限3400027000300002200030000230002500023000請(qǐng)幫該公司解決以下問(wèn)題：（1）就表1提供的數(shù)據(jù)

2、，應(yīng)該投資哪些項(xiàng)目，使得第一年所得利潤(rùn)最高？（2）在具體投資這些項(xiàng)目時(shí)，實(shí)際還會(huì)出現(xiàn)項(xiàng)目之間互相阻礙的情況。公司咨詢有關(guān)專家后，得到以下可靠信息：同時(shí)投資項(xiàng)目A1，A3，它們的年利潤(rùn)分不是1005萬(wàn)元，1018.5萬(wàn)元；同時(shí)投資項(xiàng)目A4，A5，它們的年利潤(rùn)分不是1045萬(wàn)元，1276萬(wàn)元；同時(shí)投資項(xiàng)目A2，A6，A7，A8，它們的年利潤(rùn)分不是1353萬(wàn)元，840萬(wàn)元，1610萬(wàn)元，1350萬(wàn)元，該基金應(yīng)如何投資？（3）假如考慮投資風(fēng)險(xiǎn)，則應(yīng)如何投資，使收益盡可能大，而風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。投資項(xiàng)目總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)衡量。專家預(yù)測(cè)出各項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)率，如表2所示。表2項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3

3、A4A5A6A7A8風(fēng)險(xiǎn)率(%)3215.52331356.54235（4）開(kāi)放式基金一般要保留適當(dāng)?shù)默F(xiàn)金，降低客戶無(wú)法兌現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)。在這種情況下，將專家的信息都考慮進(jìn)來(lái)，基金該如何決策，使得盡可能降低風(fēng)險(xiǎn)，而一年后所得利潤(rùn)盡可能多？（5）那個(gè)項(xiàng)目投資，是必須資金全部到位才有利潤(rùn)，依舊只要第一期資金到位啟動(dòng)后就能夠隨便投資，然后利潤(rùn)率按第一期利潤(rùn)和投資之比來(lái)計(jì)算？二、模型的建立及求解1模型1（線性整數(shù)規(guī)劃）（1）假設(shè)1）不考慮其他因素，單純追求利潤(rùn)最大；2）可能利潤(rùn)能正確反映各項(xiàng)投資的利潤(rùn)；3）若對(duì)某項(xiàng)目投資，則該項(xiàng)目的總投資額必須是該項(xiàng)目投資額的整數(shù)倍；4）投資過(guò)程中交易費(fèi)為0；5）該基金中無(wú)

4、“莊家”或“金融大鱷”之類惡意操縱。（2）建模設(shè)xi為對(duì)項(xiàng)目Ai的投資股數(shù)，H表示基金總額，mi表示項(xiàng)目Ai的投資上限，bi表示項(xiàng)目Ai每股的可能年利潤(rùn)，ci表示項(xiàng)目Ai每股的投資額，則一年后總投資利潤(rùn)，基金總額約束：，各項(xiàng)目投資額上限約束：（i=1，2，8），從而建立如下模型。s.t. （3）求解應(yīng)用Lindo軟件包，以題中所給數(shù)據(jù)為例，編程求得結(jié)果，如表3所示。表3項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投資股數(shù)（股）51145255投資額3350066004850220002900084002300022500總投資149850年利潤(rùn)56951056727.550605800142892

5、007875利潤(rùn)率（%）1716152320174035總利潤(rùn)36841.5從表3能夠看出，差不多上利潤(rùn)率較高的投資項(xiàng)目對(duì)應(yīng)較強(qiáng)的投資勢(shì)頭，但有的投資項(xiàng)目盡管利潤(rùn)率較高，卻未得到相應(yīng)的投資勢(shì)頭，這講明利潤(rùn)率并不是阻礙投資的唯一因素，還有另外的因素尚未考慮到，需要接著深入討論。2模型2（非線性整數(shù)規(guī)劃）考慮到專家的信息，投資項(xiàng)目之間相互阻礙，修正模型1。（1）假設(shè)1）專家的信息有較高的可信度，單純追求利潤(rùn)最大。2）滿足模型1的假設(shè)2）5）。（2）建模由于不明白是否各相互阻礙的項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)，利潤(rùn)較大，引入01變量，。設(shè)表示受同時(shí)投資阻礙時(shí)項(xiàng)目Ai每股的可能年利潤(rùn)，可建立如下模型。 s.t. 其中

6、中的30表示A1，A3各最多投資5股，6股；中的20表示A4，A5各最多投資4股，5股；中的500表示A2，A6，A7，A8各最多投資4股，5股，5股，5股。當(dāng)A1，A3同時(shí)投資時(shí)，x1x30，y=1；當(dāng)A1，A3不同時(shí)投資時(shí)，x1x3=0，y=0，故得A1，A3是否相互阻礙的約束可表示為：。同理可得其他兩個(gè)是否相互阻礙的約束。（3）求解應(yīng)用Lingo軟件包，以題中所給數(shù)據(jù)為例，編程求得結(jié)果，如表4所示。表4項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投資股數(shù)10645455投資額67000291002200029000168002300022500總投資額149100年利潤(rùn)10050611141

7、806380285692007875利潤(rùn)率（%）1516211922174035總利潤(rùn)37607從表4能夠看出，隨著利潤(rùn)率的提高，投資勢(shì)頭也相應(yīng)增強(qiáng)，利潤(rùn)率下降，投資勢(shì)頭也相應(yīng)減弱，這又一次反映了利潤(rùn)率對(duì)投資勢(shì)頭的強(qiáng)大阻礙。3模型3（多目標(biāo)規(guī)劃&非線性整數(shù)規(guī)劃）考慮到專家提供的風(fēng)險(xiǎn)損失率方面的約束，進(jìn)一步修正模型2。（1）假設(shè)1）考慮專家預(yù)測(cè)出的各項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)率，總體風(fēng)險(xiǎn)用投資項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量，追求利潤(rùn)盡可能大、風(fēng)險(xiǎn)盡可能??；2）滿足模型2的假設(shè)2）。（2）建模設(shè)qi表示項(xiàng)目Ai的風(fēng)險(xiǎn)率，則總體風(fēng)險(xiǎn)，投資總利潤(rùn)R同模型2，從而可建立如下模型。max Rmin Qs.t. 同模型2利用法構(gòu)

8、造評(píng)價(jià)函數(shù)，其中權(quán)系數(shù)，R*，Q*分不為R，Q的最優(yōu)值，R(0)，Q(0)分不為Q，R取最優(yōu)值時(shí)R，Q的取值，能夠把上述雙目標(biāo)規(guī)劃化為如下單目標(biāo)規(guī)劃。s.t. 同模型2只是確定權(quán)系數(shù)的常用方法是依照專家意見(jiàn)和經(jīng)驗(yàn)給出。（3）求解引入變量s=Q，目標(biāo)函數(shù)化為，在滿足上述約束條件的基礎(chǔ)上，還要對(duì)s加以約束：，i=1，2，8。應(yīng)用Lingo軟件包，以題中所給的數(shù)據(jù)為例，編程求得結(jié)果，如表5所示，即在考慮利潤(rùn)和風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上，均衡兩者的權(quán)，得出的最佳折中方案。表5項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投資股數(shù)54040055投資額3350026400022000002300022500總投資額1274

9、00利潤(rùn)率(%)1716152320174035風(fēng)險(xiǎn)率(%)3215.52331356.54235年利潤(rùn)59654224050600092007875總利潤(rùn)32054總體風(fēng)險(xiǎn)10720(A1的風(fēng)險(xiǎn))從表5能夠看出，利潤(rùn)率和風(fēng)險(xiǎn)率對(duì)投資的阻礙都專門(mén)大，對(duì)利潤(rùn)率和風(fēng)險(xiǎn)率都大的項(xiàng)目應(yīng)慎重投資，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)大，利潤(rùn)過(guò)小的項(xiàng)目應(yīng)少投資，甚至不投資。但對(duì)風(fēng)險(xiǎn)較大而利潤(rùn)較小的項(xiàng)目A1投資最多，講明權(quán)系數(shù)的選擇不適當(dāng)。4模型4（多目標(biāo)規(guī)劃&非線性整數(shù)規(guī)劃）模型3中未考慮保留適當(dāng)?shù)默F(xiàn)金，從開(kāi)放式基金具有由投資者隨時(shí)贖回的特性來(lái)理解，相比交易所掛牌上市的證券，開(kāi)放式基金以其單位基金凈值作為贖回標(biāo)準(zhǔn)，能夠在有效規(guī)避二級(jí)市

10、場(chǎng)的股價(jià)波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)保證其流淌性。關(guān)于突發(fā)性的贖回請(qǐng)示，基金治理人往往會(huì)通過(guò)保留一定的資金來(lái)應(yīng)付。基于此，我們?cè)谀Ｐ?的基礎(chǔ)上追加考慮保留適當(dāng)?shù)默F(xiàn)金，用以降低客戶無(wú)法兌付的風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)一步修正模型3。（1）假設(shè)1）考慮保留部分資金，追求利潤(rùn)最大、風(fēng)險(xiǎn)最小；2）不考慮原始投資人1%的認(rèn)購(gòu)費(fèi)率、0.5%的贖回費(fèi)率；3）考慮保留資金的存儲(chǔ)利潤(rùn)；4）滿足模型3中的假設(shè)。（2）建模模型3中未考慮投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，而那個(gè)因素直接涉及投資方向和勢(shì)頭，對(duì)模型結(jié)果的阻礙專門(mén)大。在實(shí)際中，關(guān)于不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者，其最佳投資方案有所不同。為了反映實(shí)際情況，我們把投資者偏好合并分類，各自對(duì)應(yīng)的權(quán)值為：高度冒險(xiǎn)：WR=

11、0.8，WQ=0.2；比較冒險(xiǎn)：WR=0.6，WQ=0.4；中性冒險(xiǎn)：WR=0.5，WQ=0.5；比較保守：WR=0.4，WQ=0.6；高度保守：WR=0.2，WQ=0.8。WR，WQ在滿足WR+WQ=1的條件下，具體取值可適當(dāng)調(diào)整，這并不阻礙算法的實(shí)現(xiàn)。1）風(fēng)險(xiǎn)偏好與效用函數(shù)。投資的目的是為了今后更大的消費(fèi)，即財(cái)寶的增加。不同的財(cái)寶水平投資者獲得的效用是不同的，同樣的財(cái)寶增加量對(duì)不同的投資者，其帶來(lái)的效用增加也有所不同。財(cái)寶x與效用U之間的數(shù)量關(guān)系通常稱為財(cái)寶的效用函數(shù)，記為U(x)。U(x)一般是增函數(shù)，即，但關(guān)于不同的投資者其增長(zhǎng)的形態(tài)不同。以下是三種典型效用函數(shù)形態(tài)。風(fēng)險(xiǎn)回避型 這種人

12、對(duì)財(cái)寶的增加不專門(mén)敏感，或財(cái)寶增加的邊際效用是遞減的，通常不情愿為增加財(cái)寶而冒大風(fēng)險(xiǎn)，如圖1所示。風(fēng)險(xiǎn)中性型 這種人對(duì)財(cái)寶增加的態(tài)度始終是相同的，邊際效用是一常數(shù)，如圖2所示。風(fēng)險(xiǎn)偏愛(ài)型 這種人對(duì)財(cái)寶具有強(qiáng)烈的渴望，越富越想富，財(cái)寶增加的邊際效用是遞增的，因而情愿為增加財(cái)寶而承擔(dān)較大的風(fēng)險(xiǎn)，如圖3所示。 圖1圖2 圖3以上三種差不多形態(tài)均可用下列二次效用函數(shù)表示：盡管實(shí)際的效用函數(shù)有可能不是二次的，但二次效用函數(shù)具有更好的概率特性。2）投資心理曲線。一般來(lái)講，人們的心理變化是一個(gè)模糊的概念，在此，對(duì)一個(gè)投資方案的看法（即對(duì)投資者的吸引力）的變化確實(shí)是一個(gè)典型的模糊概念。通過(guò)查找心理學(xué)的相關(guān)資料

13、，我們定義投資者的心理曲線為 ，其中表示投資者平均收入的相關(guān)因子，稱為實(shí)力因子，一般為常數(shù)。實(shí)力因子是反映不同投資者的平均收入和消費(fèi)水平的標(biāo)準(zhǔn)。確定一個(gè)投資方案應(yīng)該盡力考慮所有不同投資者的實(shí)力因子，而在我國(guó)不同地區(qū)的收入和消費(fèi)水平是不同的，因此不同地區(qū)的實(shí)力因子也不盡相同，要統(tǒng)一來(lái)評(píng)估這些方案的合理性，就應(yīng)該對(duì)同一實(shí)力因子進(jìn)行研究。為此我們以中等地區(qū)的收入水平為例，依照相關(guān)網(wǎng)站的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，不妨取人均年收入為1.5萬(wàn)元，按我國(guó)的現(xiàn)行制度，平均工作年限為35年，則人均收入為52.5萬(wàn)元。取=0.5（即吸引力的中位數(shù)），則6.30589。3）保留現(xiàn)金比例。設(shè)保留現(xiàn)金比例為g，不同投資者所占人群比例為

14、，又得知他們的風(fēng)險(xiǎn)偏好不同，主觀風(fēng)險(xiǎn)權(quán)系數(shù)為WQi，i=1，2，3，4，5，則依照投資心理曲線，參照風(fēng)險(xiǎn)偏好和效用函數(shù)，并依照網(wǎng)上調(diào)查，得知投資者差不多上劃分為5種類型，通過(guò)代入模型計(jì)算，得到相關(guān)信息如表6所示。表6風(fēng)險(xiǎn)偏好高度冒險(xiǎn)比較冒險(xiǎn)中度冒險(xiǎn)比較保守高度保守所占人群比例(%)8.524.53326.57.5風(fēng)險(xiǎn)權(quán)系數(shù)歸一化0.080.160.200.240.32保留現(xiàn)金比例(%)19.96保留的資金存入銀行比閑置更有利，這筆資金是用來(lái)應(yīng)對(duì)突發(fā)性的贖回請(qǐng)求的，隨時(shí)都可能用到它，因此采納活期存款的方式，存款年利潤(rùn)按0.72%計(jì)。將此代入模型3，并把基金總額約束修正為：，得模型4。（3）求解應(yīng)

15、用Lingo軟件包，以題中所給數(shù)據(jù)為例，編程求得結(jié)果，如表7所示。表7項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投資股數(shù)50040455投資額3350000220000168002300022500總投資額117800年利潤(rùn)56950050600285692007875保留資金29940存款利潤(rùn)215.568總利潤(rùn)30901.568總體風(fēng)險(xiǎn)10720以上是在假設(shè)這一年中未發(fā)生突發(fā)性的贖回請(qǐng)求，保留資金未被動(dòng)用的情況下的總利潤(rùn)?？紤]到最不行的情況，即保留資金還未存入銀行就被動(dòng)用，無(wú)存款利潤(rùn)可言。綜上所述，我們認(rèn)為用于保留的資金為29940萬(wàn)元比較合適，總利潤(rùn)應(yīng)該在（30686，30901.568）

16、范圍內(nèi)。5模型5（非線性整數(shù)規(guī)劃）（1）假設(shè)1）不考慮風(fēng)險(xiǎn)因素，單純追求利潤(rùn)最大；2）投資額是連續(xù)的；3）第一期資金到位啟動(dòng)后就能夠隨便投資，然后利潤(rùn)率按第一期利潤(rùn)和投資之比來(lái)計(jì)算。（2）建模設(shè)xi為對(duì)項(xiàng)目Ai的投資金額，i=1，2，8。考慮到假設(shè)2）、3），項(xiàng)目之間有無(wú)阻礙時(shí)的利潤(rùn)率分不為，。引入01變量，i=1，2，8，則Ai的投資金額的上下限約束為：，可建立如下模型。 s.t. 其中中的102107表示A1，A3各最多投資34000萬(wàn)元，30000萬(wàn)元。當(dāng)A1，A3同時(shí)投資時(shí)，；當(dāng)A1，A3不同時(shí)投資時(shí)，。同理可得其他兩個(gè)是否相互阻礙的約束。（3）求解應(yīng)用Lingo軟件包，以題中所給數(shù)據(jù)

17、為例，編程求得結(jié)果，如表8所示。表8項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投資金額27000030000220000230002500023000總投資額150000年利潤(rùn)405006300506003910100008050總利潤(rùn)37370從表8能夠看出，這種投資方案將資金全部拋出，未留“適當(dāng)”現(xiàn)金，不符合開(kāi)放式基金的特點(diǎn)，欠妥。比較模型5和模型2的結(jié)果，可知模型5的方案中總投資額、總利潤(rùn)與利潤(rùn)率分不為150000萬(wàn)元、37370萬(wàn)元、24.9%，而模型2的方案中總投資額、總利潤(rùn)與利潤(rùn)率分不為149100萬(wàn)元、37607萬(wàn)元、25.2%，顯然模型2的投資方案比模型5的更好。這講明在投資時(shí)，

18、只有投資以單位投資額的整數(shù)倍投入，利潤(rùn)才會(huì)以相應(yīng)倍數(shù)增大。假如投資不是以單位投資額的整數(shù)倍投入，利潤(rùn)的增長(zhǎng)則明顯滯后，利潤(rùn)率明顯偏低，是不合算的方案。同時(shí)模型2的方案中留下了一部分資金備用，符合開(kāi)放式基金客戶投資、撤資自由的特點(diǎn)，而模型5的方案中未留下任何備用資金，一旦客戶要求撤資，開(kāi)放式基金就有失信的風(fēng)險(xiǎn)，不利于其長(zhǎng)久進(jìn)展。三、靈敏度分析決策變量xi相應(yīng)的影子價(jià)格稱為縮減成本RCi，i=1，2，8，RCi的值表示當(dāng)xi增加一個(gè)單位（其他變量保持不變）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)增加的量，如表9所示。表9股 份x1x2x3x4x5x6x7x8模型1RCi11391056727.5126511607141840

19、1575模型2RCi100510561018.50127671418401575模型3RCi1930224.4400246.540391.1334.7模型4RCi1930000246.54151.7391.1334.7從表9能夠發(fā)覺(jué)，x1的變化對(duì)各目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的阻礙最大，x7次之。四、模型的進(jìn)一步分析實(shí)際上，投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)差不多上隨機(jī)的，考慮如下問(wèn)題。某投資公司經(jīng)理欲將50萬(wàn)元基金用于股票投資，股票的收益是隨機(jī)的。通過(guò)慎重考慮，他從所有上市交易的股票中選擇了3種股票作為候選的投資對(duì)象，從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析得到：股票A每股的年期望收益為5元，標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）為2元；股票B每股的年期望收益為8元，

20、標(biāo)準(zhǔn)差為6元；股票C每股的年期望收益為10元，標(biāo)準(zhǔn)差也為10元；股票A，B收益的相關(guān)系數(shù)為5/24，股票A，C收益的相關(guān)系數(shù)為-0.5，股票B，C收益的相關(guān)系數(shù)為-0.25。目前股票A，B，C的市價(jià)分不為20元，25元，30元。（1）假如該投資人期望今年得到至少20%的投資回報(bào)，應(yīng)如何投資可使風(fēng)險(xiǎn)最?。莻€(gè)地點(diǎn)用收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差衡量風(fēng)險(xiǎn)）？（2）投資回報(bào)率與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系如何？1建模設(shè)x1，x2，x3分不表示投資股票A，B，C的數(shù)量。國(guó)內(nèi)股票通常以“一手”（100股）為最小單位出售，故此處設(shè)股票數(shù)量以100股為單位。相應(yīng)地，期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差以百元為單位。記股票A，B，C每手的收益分不為s1，s2

21、，s3（百元），依照題意，si（i=1，2，3）是隨機(jī)變量，投資的總收益也是隨機(jī)變量。用E和D分不表示隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差（標(biāo)準(zhǔn)差的平方），r和cov表示兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差，則=5，=8，=10，=4，=36，=100，=5/24，=-0.5，=-0.25，。故投資的總期望收益為 ，投資總收益的方差為 實(shí)際上投資者可能面臨許多約束條件，如是否需要將資金全部用來(lái)購(gòu)買(mǎi)股票，沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)股票的資金是否能夠存入銀行或做其他投資。此處假設(shè)不一定需要將資金全部用來(lái)購(gòu)買(mǎi)股票，沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)股票的資金也閑置不用，而只考慮可用于投資的資金總額的限制，即。問(wèn)題（1）的模型為二次規(guī)劃： min z2s.t. 問(wèn)題（2）的模型為：mins.t. 其中為風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，。當(dāng)=0時(shí)，表明投資者是完全的冒險(xiǎn)型，不考慮風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)充分大時(shí)，表明投資者是保守型的，希望規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。取不同的求解，即可大致看出投資回報(bào)率與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系。2求解利用Lingo軟件包，編程求得問(wèn)題（1）的結(jié)果：股票A，B，C各購(gòu)買(mǎi)132，15，22（手），投資額為3675（百元