《高斯消元法簡介》教案

1、高斯消元法簡介教案一、教學目標知識與技能：了解高斯消元法過程與方法：直接演示說明，學習做簡單練習情感，態(tài)度和價值觀：進一步體會解方程組的根本思想消元，通過高斯消元的學習增強學習數(shù)學的能力二、重點與難點：高斯消元法三、課型新授課四、教學過程：1在前面的幾節(jié)課，已經(jīng)用加減消元和代入消元法求解二元或者三元一次方程組，其基本的思想就是從已知的方程導出未知數(shù)較少的方程組，直到最后得到一個一元一次方程，這種做法可適用于一般的n元線性方程組（線性方程組），但是由于未知數(shù)的增加，我們希望我們的消元是有規(guī)律的，以避免混亂，下面介紹高斯消元法2例1：解方程組孔_xz_2*3_5些=10-2巧+7不+6屯-12x4

2、=63不_2xz-5x3-17x4=31-5石-2x2+9x3+27x4=-63解：把第一個方程的2倍，-3倍，5倍分別加到第2,3,4個方程上，可以消去2,3,4個方程的未知數(shù)不入一a一2x、一5x4=105x2+2x3-22“=26x2+x3_2x4=1-7a一+2x4=-13為了使以后少出現(xiàn)分數(shù)運算，交換第二，三個方程的位置咼一x2一2-3一5x4=10 x,+x3-2x4=15a+2x3-22x4=26-7x2一+2x4=-13把第2個方程的5倍，7倍分別加到第3,4個方程，可以消去第3,4個方程未知數(shù)打一x2一2x3一5x4=10TOC o 1-5 h z忑+厲一2x4=1-3.v3

3、-12x4=216x3一12“=一6丄整理一下方程，第3個方程的左右兩邊乘以亍，第4個方程左右兩邊乘以6孔一x2一2x3一5x4=10 x、+x3一2x4=1x3+4x4=一7屯-2x4=-1把第3個方程的倍加到第4個方程，可以消去第4個方程的未知數(shù)兀兀一x2一2x3一5x4=10X、+x3一2x4=1“+4x4=-7-6“=6把第4個方程兩邊除以6TOC o 1-5 h zA】一x2一2x3一5x4=10 x2+x3_2x4=1+4x4=-7些=一1把第4個方程=一1的5,2,4分別加到第1,2,3個方程xl一x2一2x3=5x2+=-1“=-3x4=一1把第3個方程=一3的2倍，倍分別加到

4、第1,2個方程把第2個方程的1倍加到第一個方程A1=1=23=-3所以這個方程組的解是-1x2=1=2說明：以上自上而下求解方程組的過程就是高斯消元法利用高斯消元法任意的n元一次方程組都是町以有規(guī)律的得以求解消元時要注意要讓每一個方程的主元(第一個未知數(shù)的系數(shù)為1,以便消元)注意未知數(shù)的位置*高斯消元法其實在我國的數(shù)學著作九章算術中早就有記載，叫高斯消元法西方人的叫法，實際比九章算術晚了1000多年2.練習：利用高斯消元法解方程組x+2y=3Jx-3，=一2(1)I；=3.解：略3練習：利用高斯消元法解方程組x+y+乙=63x-y+=42x+3v=124.練習：利用高斯消元法解方程組2石一x2

5、+“+3“=-4xA+3x2-A)+4斗=62石_2xz+3x3-=3(1)3石+2x3+2.v4=3X一2xz+3屯一x4=-6xt+x2-x3+=72xt-x2+x3=1x2+x4=3解：略數(shù)學家【人物介紹】物理學家、數(shù)學家卡爾邛里德里希高斯高斯1(JohannCarlFriedrichGauss)(1777年4月30口一1855年2月23口)，生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、人地測量學家。高斯1777年4月30口生于不倫瑞克的一個工匠家庭，1855年2月23口卒于哥廷根。幼時家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進學校受教育。17951798年在格丁根人學學習

6、1798年轉入照爾姆施泰特大學，翌年因證明代數(shù)基本定理獲傅士學位。從1807年起擔任格丁根人學教授兼格丁根天文臺臺長直至逝世。高斯的成就遍及數(shù)學的各個領域，在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級數(shù)、復變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均有開創(chuàng)性貢獻。他十分注重數(shù)學的應用，并且在對天文學、k地測量學和磁學的研究中也偏重于用數(shù)學方法進行研究。1792年，15歲的高斯進入Braunschweig學院。在那里，高斯開始對高等數(shù)學作研究。獨立發(fā)現(xiàn)了二項式定理的一般形式、數(shù)論上的二次互反律”(LawofQuadraticReciprocity)質數(shù)分布定理(primenumertheorem)、及算術幾何平均(a

7、ritlimetic-geometiicmean)。1795年高斯進入哥廷根人學。1796年，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上極重要的結果,就是正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法。5年以后，高斯又證明了形如Ferniat素數(shù)”邊數(shù)的正多邊形可以由尺規(guī)作出。1855年2月23口清晨，高斯于睡夢中去世。生平高斯是一對普通夫婦的兒子。他的母親是一個貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒有接受過教育，近似于文盲。在她成為高斯父親的第二個孌子之前，她從事女傭工作。他的父親曾做過園丁，工頭，商人的助手和一個小保險公司的評估師。當高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經(jīng)成為一個軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙

8、翁堆上學會計算。能夠在頭腦中進行復雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。高斯用很短的時間計算出了小學老師布置的任務：對自然數(shù)從1到100的求和。他所使用的方法是：對50對構造成和101的數(shù)列求和為(1+100,2+99,3+98)，同時得到結果：5050o這一年，高斯9歲。當高斯12歲時，已經(jīng)開始懷疑元素幾何學中的基礎證明。當他16歲時，預測在歐氏幾何之外必然會產(chǎn)生一門完全不同的幾何學。他導出了二項式定理的一般形式，將其成功的運用在無窮級數(shù)，并發(fā)展了數(shù)學分析的理論。高斯的老師Bmettner與他助手MartinBands很早就認識到了高斯在數(shù)學上異乎尋常的天賦，同時HerzogCarlWillie

9、linFerdmaiidvonBraunschweig也對這個天才兒童留卜了深刻印象。于是他們從高斯14歲起，便資助其學習與生活。這也使高斯能夠在公元1792-1795年在Carolmum學院(今天Braunschweig學院的前身)學習。18歲時，高斯轉入哥廷根人學學習。在他19歲時，第一個成功的用尺規(guī)構造出了規(guī)則的17角形。高斯于公元1805年10月5口與來自Braunschweig的JohaimaElisabethRosiiiaOsthoff小姐(1780-1809)結婚。在公元1806年8月21口迎來了他生命中的第一個孩子約瑟。此后，他又有兩個孩子。Wilhelmine(1809-18

10、40)和Louis(18091810)。1807年高斯成為哥廷根人學的教授和當?shù)靥煳呐_的臺長。雖然高斯作為一個數(shù)學家而聞名于世，但這并不意味著他熱愛教書。盡管如此，他越來越多的學生成為有影響的數(shù)學家，如后來聞名于世的RicliardDedekind和黎曼。高斯墓地：高斯非常信教且保守。他的父親死于1808年4月14口，晚些時候的1809年10月11口，他的第一位妻子Johaima也離開人世。次年8月4口高斯迎娶第二位妻子FiiedericaWillielmiiie(1788-1831)。他們又有三個孩子：Eugen(1811-1896),Willielin(1813-1883)和Therese

11、(1816-1864)o1831年9月12日她的第二位妻子也死去,1837年高斯開始學習俄語。1839年4月18口，他的母親在哥廷根逝世，享年95歲。高斯于1855年2月23口凌晨1點在哥廷根去世。他的很多散布在給朋友的書信或筆記中的發(fā)現(xiàn)于1898年被發(fā)現(xiàn)。貢獻18歲的高斯發(fā)現(xiàn)了質數(shù)分布定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數(shù)據(jù)的處理后，可以得到一個新的、概率性質的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計算，并成功得到高斯鐘形曲線(正態(tài)分布曲線)。其函數(shù)被命名為標準正態(tài)分布(或高斯分布)，并在概率計算中大量使用。在高斯19歲時，僅用沒有刻度的尺子與圓規(guī)便構造出了正17邊形邙可基米德

12、與牛頓均未畫出)。并為流傳了2000年的歐氏幾何提供了自占希臘時代以來的第一次重要補充。高斯在計算的谷神星軌跡時總結了復數(shù)的應用，并且嚴格證明了每一個n階的代數(shù)方程必有n個復數(shù)解。在他的第一本著名的著作數(shù)論中，作出了二次互反律的證明，成為數(shù)論繼續(xù)發(fā)展的重要基礎。在這部著作的第一章，導出了三角形全等定理的概念。高斯在他的建立在最小二乘法基礎上的測量平差理論的幫助卞，結算出天體的運行軌跡。并用這種方法，發(fā)現(xiàn)了谷神星的運行軌跡。谷神星于1801年由意人利天文學家皮亞齊發(fā)現(xiàn)，但他因病耽誤了觀測，失去了這顆小行星的軌跡。皮亞齊以希臘神話中“豐收女神”(Ceres)來命名它，即谷神星(Planetoide

13、nCeres),并將以前觀測的位置發(fā)表出來，希塑全球的天文學家一起尋找。高斯通過以前的三次觀測數(shù)據(jù)，計算出了谷神星的運行軌跡。奧地利天文學家HeniiichOlbers在高斯的計算出的軌道上成功發(fā)現(xiàn)了這顆小行星。從此高斯名揚天卜。高斯將這種方法著述在著作天體運動論(Th亡oiiaMotusCoiporumCoelestiuminsectiombusconicissolemambientium)中。高斯設計的漢諾威人地測量的三角網(wǎng)為了獲知任意一年中復活節(jié)的口期，高斯推導了復活節(jié)口期的計算公式。在1818年至1826年之間高斯主導了漢諾威公國的人地測量工作。通過他發(fā)明的以最小二乘法為基礎的測量平差

14、的方法和求解線性方程組的方法，顯著的提高了測量的精度。出于對實際應用的興趣，他發(fā)明了口光反射儀，可以將光束反射至人約450公里外的地方。高斯后來不止一次地為原先的設計作出改進，試制成功被廣泛應用于人地測量的鏡式六分儀。高斯親自參加野外測量工作。他白天觀測，夜晚計算。五六年間，經(jīng)他親自計算過的大地測量數(shù)據(jù)，超過100萬次。當高斯領導的三角測量外場觀測已走上正軌后，高斯就把主要精力轉移到處理觀測成杲的計算上來，并寫出了近20篇對現(xiàn)代人地測量學具有重人意義的論文。在這些論文中，推導了由橢圓面向圓球面投影時的公式，并作出了詳細證明，這套理論在今天仍有應用價值。漢諾威公國的人地測量工作直到1848年才結

15、束，這項人地測量史上的巨大工程，如果沒有高斯在理論上的仔細推敲，在觀測上力圖合理精確，在數(shù)據(jù)處理上盡量周密細致的出色表現(xiàn)，就不能完成。在當時條件卜布設這樣人規(guī)模的人地控制網(wǎng)，精確地確定2578個三角點的人地坐標，可以說是一項了不起的成就。為了用橢圓在球面上的正形投影理論以解決大地測量中出現(xiàn)的問題，在這段時間內高斯亦從爭了曲面和投影的理論，并成為了微分幾何的重要理論基礎。他獨立地提出了不能證明歐氏幾何的平行公設具有物理的，必然性，至少不能用人類的理智給出這種證明。但他的非歐幾何理論并未發(fā)表。也許他是出于對同時代的人不能理解這種超常理論的擔憂。相對論證明了宇宙空間實際上是非歐幾何的空間。高斯的思想

16、被近100年后的物理學接受了。高斯試圖在漢諾威公國的大地測量中通過測量Haiz的BrockenThuiingerWald的Iiiselsbeig哥廷根的HolienHagen三個山頭所構成的三角形的內角和，以驗證非歐幾何的正確性，但未成功。高斯的朋友鮑耶的兒子雅諾斯在1823年證明了非歐幾何的存在，高斯對他勇于探索的精神表示了贊揚。1840年，羅巴切夫斯基又用德文寫了平行線理論的幾何研究一文。這篇論文發(fā)表后，引起了高斯的注意，他非常重視這一論證，積極建議哥廷根犬學聘請羅巴切夫斯基為通信院士。為了能直接閱讀他的著作，從這一年開始，63歲的高斯開始學習俄語，并最終掌握了這門外語。最終高斯成為和微分

17、幾何的始祖(高斯，雅諾斯、羅巴切夫斯基)中最重要的一人。出于對實際應用的興趣，高斯發(fā)明了口光反射儀?？诠夥瓷鋬x可以將光束反射至犬約450公里外的地方。高斯后來不止一次地為原先的設計作出改進，試制成功了后來被廣泛應用于人地測量的鏡式六分儀。19世紀30年代，高斯發(fā)明了磁強計，辭去了天文臺的工作，而轉向物理研究。他與韋伯(1804-1891)在電磁學的領域共同工作。他比韋伯年長27歲，以亦師亦友的身份進行合作。1833年，通過受電磁影響的羅盤指針，他向韋伯發(fā)送了電報。這不僅僅是從韋伯的實驗室與天文臺之間的第一個電話電報系統(tǒng)，也是世界首創(chuàng)。盡管線路才8T米長。1840年他和韋伯畫出了世界第一張地球磁

18、場圖，而且定出了地球磁南極和磁北極的位置，并于次年得到美國科學家的證實。高斯和韋伯共同設計的電報高斯研究數(shù)個領域，但只將他思想中成熟的理論發(fā)表。他經(jīng)常提醒他的同事，該同事的結論已經(jīng)被自己很早的證高斯明，只是因為基礎理論的不完備性而沒有發(fā)表。批評者說他這樣是因為極愛出風頭。實際上高斯只是一部瘋狂的打字機，將他的結果都記錄起來。在他死后，有20部這樣的筆記被發(fā)現(xiàn)，才證明高斯的宣稱是事實。一般認為，即使這20部筆記，也不是高斯全部的筆記。下薩克森州和哥廷根人學圖書館已經(jīng)將高斯的全部著作數(shù)字化并置于互聯(lián)網(wǎng)上。高斯的肖像已經(jīng)被印在從1989年至2001年流通的10德國馬克的紙幣上。著作1799年：關于代

19、數(shù)基本定理的博士論文(DoktoraibeituberdenFundamentalsatzderAlgebra)1801年：算術研究(DisquisitionesAiithineticae)1809年：天體運動論(TheoriaMotusCoipommCoelestiuminsectiombusconicissolemambientium)1827年：曲面的一般研究(Disquisitionesgeneralescircasuperficiescurvas)1843-1844年：高等人地測量學理論(上)(UnteisuchungeiiuberGegenstandederHoherenGeoda

20、sie,Teil1)1846-1847年：高等人地測量學理論(I、)(UnteisuchungeiiuberGegenstandederHoherenGeodasie,Teil2)【物理單位】高斯簡稱高(Gs,G),非國際通用的磁感應強度或磁通量的單位。為紀念德國物理學家和數(shù)學家高斯而命名。一段導線，若放在磁感應強度均勻的磁場中，方向與磁感應強度方向垂直的長直導在線通有1電磁系單位的穩(wěn)恒電流時，在每厘米長度的導線受到電磁力為1達因，則該磁感應強度就定義為1高斯。高斯是很小的單位，10000高斯等于1特斯拉(T)o高斯是常見非法定計量單位，特斯拉是法定計量單位.【歷史名詞高斯】即法屬科西嘉島（Corse）,中古時期應是被稱作高斯（Goth）。拿破侖即是出生于此，故亦有人稱拿破侖為高斯人。梅里美的高龍巴講的就是高斯人的經(jīng)典故事。本人不擅長做史料研究，只是在觀看電影阿提拉的時候，對電影里面的“高斯人”產(chǎn)生興趣，簡單地查了點資料，做了點推理，所以這個解釋不見得完全正確，但是百度百科這里缺乏這方面的知識，權作補充，希冀行家補正。居牖客注【計算機應用程序】高斯程序（Gaussian）,Gaussian是做半經(jīng)驗計算和從頭計算使用最廣泛的量子化學軟件，可以研究：分子能量和結構，過渡態(tài)的能量和結構，化學鍵以及反應能量，分子軌道,偶極矩和多極矩，原子電荷和電勢，