商品價格問題的線性回歸模型

1、商品價格問題的線性回歸模型莊思發(fā)韶關學院數學系00級數學與應用數學本科班，廣東 韶關512005摘要:價格問題是企業(yè)及消費者普遍關注的問題，價格的高低會影響消費者的需求.價格上漲，需求下降，反 之則上升.如何定價才能使銷售額最大呢？本文針對此問題建立相應數學模型，如簡單優(yōu)化模型，線性回歸模 型，“價格彈性”模型等,使用最小二乘法及極值法求解出最優(yōu)價格.模型從易到難、由簡到繁,分別給出了單 商品及雙商品的數學模型，解決了單一商品及雙商品最優(yōu)價格問題.最后還給出了模型的推廣,將二種商品推 廣到n種商品，有很強的實用性與創(chuàng)新性.關鍵詞：價格；銷售額；需求函數；價格彈性；線性回歸1問題的提出商品的定價

2、是企業(yè)的重要決策之一，這種看法已經成為人們的共識.價格的高低對商品需 求具有重要影響.商品的定價直接關系到企業(yè)是否盈利及盈利的高低.商品的價格太高會導致 銷量下降，價格降低雖會提高銷量，但也許因為價格太低而影響企業(yè)盈利.當只有一種商品時， 顯然銷量是該商品價格的降函數，但當兩種商品互相影響時，情況就不同了 .另一商品的價格 也會導致其中一種商品的銷售量,即使該商品本身的價格不變.因此，如何為商品定價才能使 企業(yè)獲得最大銷售額顯得至關重要.因此，本文就此問題而尋求解決辦法.分別給出單一商品 和雙商品的定價方案.2模型準備2.1模型假設以下所討論的價格均不會低于成本商品總能滿足顧客需求,即總能保持

3、供需平衡商品質量等方面均能滿足顧客要求之標準，不會影響顧客購買心理不考企業(yè)間競爭及社會因素對價格的影響價格在一個時間單位（如年、月、周）內不會變動2.2符號約定P :第i種商品第J個時間單位（如年、月、周）的價格 ij若只簡單記為P則表示某商品第j個時間單位的價格jq :第i種商品第J個時間單位的銷量ij若只簡單記為q則表示某商品第j個時間單位的銷量 j匕：商品，相對商品j的交叉價格彈性，當i = j時則稱為自價格 彈性Q：銷售額，即銷售總收入2.3概念解釋一、銷售額：銷售總收入，用各商品價格與相對應銷售量的積的和表示需求曲線：又稱需求函數，是反映價格與需求關系的函數,一般為價格的降函數二、需

4、求自價格彈性J反映商品自身價格對消費需求的影響關系，用E =需求相對變化率/價格相對變化率表示,或是：E =需求提高百分數/價格提高百分數三、需求交叉價格彈性J反映某一商品價格變動對另一商品消費需求的影響關系， 用七=商品i的需求相對變化率/商品j價格相對變化率表示,或匕=商品i的需求變動百 分數/商品j價格變動百分數，當匕時,稱商品與商品j互為替代品，如青菜與卷心菜, 當青菜價格上升時,顧客對卷心菜的需求量則會上升;若E ，稱商品i與商品j為互補品, ij即在購買過程中，兩種商品須同時按一定比例配給顧客,如汽車與汽油，當汽車價格上漲時，不僅汽車的需求會降低，同時汽油的需求量也會降低（盡管汽油

5、價格不變）；若E = ,則稱兩 ij3單一商品的價格模型種商品互為獨立品，即兩種商品互不影響.理想情況下已知道需求曲線：+ p=13.1簡單優(yōu)化模型以價格p為橫坐標，銷量q為縱坐標作平面圖.（如圖1） 記M（p,q）為該直線上一點，即點M滿足該需求曲線（函數）即：q + - = 1 得：q = b - - - p b aa欲求銷售額即Q = p-q的最大值，亦即求點M在曲線上運動時對應的矩形（陰影部分）面積最大.:.Q = p - q = -p2 + b - p ab問題化為求二次曲線 Q = p -q = p2 + b- p 的最值問題 a令：絲二一殳-p + b =。dpaab得穩(wěn)定點：p

6、 =，相應q 即銷售額最大為：Qmax但現實中往往不能事先知道需求曲線,或曲線并是一條完美的直線.因此模型3.1并不總 是可行.幸好通常企業(yè)都會有往年銷售記錄，利用這此數據可使用相關方法求出需求曲線，有 了需求曲線，要求最優(yōu) 價格便不是難事了 .故關鍵是如何將商品的需求曲線找出來.因此我 們對模型3.1進行改進.3.2線性回歸模型通常企業(yè)都會記錄自己商品的銷售情況，包括價格,銷售量等信息，這些數據，若在坐標平 面上描點作圖可得一些零星的點，從長遠來看，所有這些點組合起來接近于一條直線（通常情 況下），這就是我們要找的需求曲線.因此我們就可以使用線性回歸方法擬合出需求曲線.可以 選取線性函數用最

7、小二乘法2擬合數據.假設現有某商品銷售記錄如下：（表1）時間單位1234 n價格p p p pp銷量q q q q q方法一：選取線性函數：q（p） = a。+ ai - p（1）其中a。，a1為待定參數.根據表格數據建立最小二乘法的法方程組：% 0& ）% %）T S,中 ）（中,）1011(2)(f,中)0 T( f, s 11( , ) = n,( 刀)=( 刀)=p TOC o 1-5 h z 000110i其中：i=1( 刀)=p2,(f, ) = Zq ,(f, ) = Zp -q11i0i1iii=1i=1i=1解方程組可得：。，七的值.代回式即可得出該商品的需求曲線表達式.再令

8、：，（3）方法二：記 T = q - q( p )2 = q - (a + a - p )2iii 01 ii=1i=1= -2L q - (a + a - p ) = 0dai 01 i0i=1= -2L q - (a + a - p ). p = 0 dai 01/ i1i=1解方程組(3)即可求得匕，a1的值.代回(1)式即可得需求曲線表達式.因此銷售額表達式為：e=p -q=a0 - p+a1 -p2用模型3.1的極值法即可求出最大銷售額.emax3.3“自價格彈性”需求曲線仍使用表1的數據，用數理統(tǒng)計的方法求出該商品的需求自價格彈性. = PiPi ,i = 1,2,.n-1記：g.

9、=, i = 1,2, n 1i求其數學期望4： = -習 ,g =-習& n 1 i n 1 ii=1i=1g則該商品的需求自價格彈性：E =-g1n 1 ii=1或先令：。.=, i = 1,2,n -1再用數學期望：E =i通常E是一負數，為了求出需求曲線，我們要使用原始數據，為此，先求出價格與銷售量的數學期望：p=-Ep,q = -Eq.,=1i=1則需求曲線可表示為：q(p) = q - 1 + E (p- p) pQ = p-q(p) = p-q-1 + 丘(p p)得銷售額表達式：p=p - p - (1 + E - p - p - E - p 2)最后使用模型3.1的極值法即可

10、得最大銷售額：Qmax3.4實際問題求解以市場上奶酪為例，現有奶酪銷售記錄如下:(表2)時間單位1234567價格(元/噸)1055105710611058105310501046銷量(噸)208900208460207580208240209340210000210880方法一：線性回歸1(1463400)(1542807520)選取線性函數：q(p) = a0 + a - p，根據數據寫出方程組73807380丫 a。7780784人a ) 1 /解得 a = 441000, a =-22001故需求曲線為：q(p) = 441000-220p則銷售額表達式為：Q = P - q(p) =

11、 441000p - 220p2令： 絲=441000-440p = 0,得 = 1002.27dp，此時銷售量：q(p) = 220500.60, Q = - q(p) = 2.210011363x 108max方法二：自價格彈性根據模型3.3及表2可求出奶酪的自價格彈性為:E = -1.11, p = 1 0 5q4= 2 0 9 0 5 7則.q(p) = q 1 + E (P_ p) = 441110.27 - 220.16p P則銷售額表達式為：Q = P q(P) = 441110.27p 220p2用極值法求解可得：萬=1002, q = 220506, Q = 2.209470

12、12x108 max4雙商品的價格模型在現實生活中，往往銷售情況不會就那么簡單，銷售量不只會受自身價格的影響，同時也 會受其它商品的影響.通常情況下，某一商品價格的變動會影響另一商品的銷售量.因此，對兩 種商品甚至多種商品的價格問題進行探討是十分必要的.設有兩種商品個氣，它們在銷售中能互相影響，企業(yè)記錄的銷售情況如表3：(表3)價格與銷量時間單位123np1p11p12p-13- p1np2p21p22p -23- p2 nq1q11q12q13- q1nq2q21q22q-23- q2 n4.1 線性回歸模型當某一商品價格固定不動時，該商品的需求情況可看成是另一商品的線性函數，因此我們仍可選

13、取線性函數：q （p，p ） = a + a p + a p TOC o 1-5 h z 1210111122q （p，p ） = a + a p + a p1220211222其中a，a，a，a，a，a 為待定參數.1112202122仿照3.2做法：T =q q (p，p )2 = q (a+ a p + a p )21i11i2i1i10111i122i記：1=11=1T =q q (p，p )2 =E q (a +a p +a p )22 i 21i2i2 i 20212i222ii=1i=1令：叫。dT 一 1%da虹12-2 q - (a + a - p + a - p ) = 0

14、1i10111i 122ii=1-2 q - (a + ai=1 p + a p ) p = 01i122i1i-2E q - (a + a - p + a - p ) pi=1=0111i122i2i（4）解方程組（4）即可將參數a10, a. a12 求出.同理可求出參數a?。, a?, a 22.即商品A1與氣的需求曲線為:q (p , p ) = a + a p + a p TOC o 1-5 h z 1210111122q (p , p ) = a + a p + a p1220211222則銷售額為：Q = p q + p q22=a p + a p + (a+ a ) p p +

15、 a p 2 + a10120212211211122IdQdp 1 dQ dp2因此銷售額最大的問題也就轉化為求二元二次函數極值問題了，同樣，令:=a + (a + a ) p + 2a p = 0（5）1012212111=a + (a+ a ) p + 2a p = 02012211222解方程組（5）即可得最優(yōu)價格， .124.2 “交叉價格彈性”需求曲線根據交叉價格彈性定義及表3數據，先求出商品氣的交叉價格彈性E12及氣，為此,81i記：1i匕+1 九，8 p1iq1i,1 - qq1i尊，&2ip p2i+1*，I = 1,2, n 1p2iq q2i 112-，I = 1,2,

16、n 1q2i令：。1i q81i2i&2, i = 1，2n 182i TOC o 1-5 h z 律W吉云氣，氣廣土云氣 =1i=1由于商品A , A的需求情況不僅互相影響，且會自我影響，因此,A , A的需求函數應 1212表示為：E - (p - p ) E - (p - p )q (p，p ) = q - 1 + 1111 + 122 J（6）1121pp12E - (p - p ) E - (p - p )q ( p，p ) = q - 1 + 222 + 2411J2122pp21因此銷售額：Q = p - q (p，p ) + p - q (p，p )11122212=p1+p2

17、E -(p p )工 E -(p-q - 1 + H11 + 121E - (p - p 兒 E - (p - p )_222+欲求最大銷售額Q ，則又轉化為求二元二次函數最值問題了.因此，通過解方程組: max斜0Q即可解得最優(yōu)價格，2.dpI 24.3實際問題求解以市場上互為替代品的兩種奶酪為例，有以下銷售記錄:時間單位12345678p1（元/噸）11321141112011451172118011631152p2（元/噸）17861809182519051878184318101790q1（噸）2169802155922206242171862105502078882107782126

18、83q2（噸）3882738277371673508536733381493882939223方法一：（使用最小二乘法擬合數據）q (p，p ) = a + a - p + a - p選取線性函數： 七1 210111122q (p，p ) = a + a - p + a - p21220211222T = Xq - q (p , p )2 =Yq - (a + a - p + a - p )2 TOC o 1-5 h z 1i 11i2i1i 10111i 122ii=1i=1T =Xq -q (p ,p )2 =Xq -(a+ a -p + a -p )22i21i2i2i 20212i2

19、22ii=1i=1根據表格解方程組(4 )(可用數學軟件求解).求得：a = 42003, a = -220, a = 26, a = 66407, a = 24, a =-31101112202122將參數代回(5)式，根據多元函數最值問題求法求得使銷售額。=p - q + p - q最 1122大的兩種商品價格為：二1190, =1957方法二(使用交叉價格彈性) 根據表格數據可得：b = (-0.49,2.6,-0.36,2.2,0.68,-0.78,-0.82)b1 = (-1.8,1.6,-2.5,2.0,5.7,-1.3,1.7)E =b = 0.42,E =b = 0.76 TO

20、C o 1-5 h z i=1i=1這兩種商品的自價格彈性亦可通過以往記錄求得，這里給出已求得的E =-1.1, E =-2.31122則0：按(6)式可得AA2的需求曲線：q (p , p ) = q 1 - i W - p + 0.42 (p2 p2) 1121pp121.1 -(p p ) 0.42-(p p) q (p , p ) = q 1 2+1 2122pp21其中：p = 1151,p = 1831,q = 214035,q = 37661使用多元函數最值求法即可求出使銷售額最大的最優(yōu)價格： = 1236, = 19775模型推廣 價格問題往往復雜多變,各種商品互相影響在所難免

21、.如原材料市場的商品,某一商品價格 變動,將會使下游商品發(fā)生連帶的價格變動及銷量變化設有n種商品A ,A ,A .A，它們的需求情況因價格變動而互相影響，不妨設第j個時 123 n間單位商品A的價格為p，銷量為q J = 12，n j = i，2，mijj5.1多商品的線性回歸模型為獲得商品i的需求函數，選取線性函數：q = a + a -p + a -p H a -p = a +a -p，i = 1,2, ni i 0 il 1i 22in n i 0ik ki=1注意到q = q (p ,p，p )，即q是p ,p，p的函數.i i 12 ni 12 nT =q -q (p ,p ,.*

22、)2iij i 1 j2 jnjt記：i =1記：v=乙q - (a + a - p + a - p + a - p )2,i = 1,2，nij i 0i11 ji 22 jin njj=1dT _0 0 dai 0（8）dT _0 i0 dai1燈-0i0 dain解方程組（8）則可得出參數a ,a，a .i0 i1 in需要注意的是，使用最小二乘法求解時必須要有至少n +1個時間單位的數據，否則無法求解.綜上所得：Q = p - q = p - q + p - q +.p - qii 1122nni=1dQ = 0dp1絲-0(9)dp2解方程組（9）即可得多商品最優(yōu)價格 ,，. .n5.2多商品的“交叉價格彈性”需求曲線與雙商品情況類似，根據往年銷售記錄即可使用數理統(tǒng)計方法求出商品，相對于商品J 的交叉價格彈性(當-j時為自價格彈性)：匕及價格、銷量的數學期望：片與q .則可得需求曲線為:5 E - （p p ） q （p ,p，p ） = q -1+ Ui-,i = 1,2,n12nipj=1i至此，最大銷售額Q，通過解方程組（9）即可.max6模型的評價與應用文