函數(shù)周期性問題（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)必備考試技能高分領(lǐng)先方案

1、第PAGE 頁(yè)碼9頁(yè)/總NUMPAGES 總頁(yè)數(shù)9頁(yè)Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.專題05 函數(shù)周期性問題一、結(jié)論已知定義在上的函數(shù),若對(duì)任意,總存在非零常數(shù),使得,則稱是周期函數(shù),為其一個(gè)周期.除周期函數(shù)的定義外,還有一些常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下:(1)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期(2)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期.(3)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期.(4)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期.(5)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期

2、.(6)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期.二、典型例題1（2021全國(guó)高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（ ）ABCD【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，所以，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.解法二：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；所以；又函數(shù)為奇函數(shù)，所以其關(guān)于對(duì)稱；通過圖象平移伸縮變換，可以得到關(guān)于對(duì)稱，進(jìn)而關(guān)于對(duì)稱；可得：；綜合（1）（2）可得；利用結(jié)論的周期為,故本題中的周期為利用可得【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，對(duì)稱性的綜合問題，其

3、中求解周期的常用結(jié)論需直接記憶，可直接使用，本文中的6個(gè)周期結(jié)論直接記憶，可快速求周期.對(duì)稱性問題：軸對(duì)稱問題：關(guān)于對(duì)稱，可得到如下結(jié)論中任意一個(gè)：；點(diǎn)對(duì)稱問題：關(guān)于對(duì)稱，可得到如下結(jié)論中任意一個(gè)：；2（2021全國(guó)高考真題（理）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，則（ ）ABCD【答案】D【解析】令，由得：，由得：，因?yàn)?，所以，令，由得：，所以因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，得：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以圖象關(guān)于對(duì)稱；，所以關(guān)于對(duì)稱，得：；綜合（1）（2）得到：得到所以，再利用令代入：故選：D【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，對(duì)稱性的綜合問題，其中求解周期的常用結(jié)論需直接記

4、憶，可直接使用，本文中的6個(gè)周期結(jié)論直接記憶，可快速求周期.三、針對(duì)訓(xùn)練 舉一反三1（2008湖北高考真題（文）已知在R上是奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，則A-2B2C-98D98【答案】A【詳解】，是以4為周期的周期函數(shù)，由于為奇函數(shù)，而，即.故選：A2（2021全國(guó)模擬預(yù)測(cè)（文）已知定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，有成立，當(dāng)時(shí)，則（ ）ABCD【答案】C【詳解】依題意對(duì)，有成立，令，則，所以，故，所以是周期為的周期函數(shù)，故.故選：C3（2021江西三模（理）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，且當(dāng)時(shí)，若，則（ ）ABCD【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，故函?shù)的周期為4，則；而，

5、所以由可得；而，解得.故選：C.4（2021四川石室中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A10B11C12D13【答案】D【詳解】解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以因?yàn)椋?，得，即，所以又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)根據(jù)周期性及奇函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)在上的圖象，如圖由圖可知，函數(shù)在上有零點(diǎn)-4，-3.5，-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13個(gè)零點(diǎn)故選：D5（2021廣西玉林模擬預(yù)測(cè)（文）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)，則下面結(jié)論正確的是（ ）ABCD【答案】A【詳解】由，知是周期函數(shù)，且周期為6

6、，又，易知在內(nèi)單調(diào)遞增，所以.故選：A6（2021黑龍江佳木斯一中三模（理）已知為奇函數(shù)且對(duì)任意，若當(dāng)時(shí)，則（ ）AB0C1D2【答案】C【詳解】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即，因?yàn)閷?duì)任意，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以，則.故選：C.7（2021浙江瑞安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A2B3C4D5【答案】B【詳解】由可得關(guān)于對(duì)稱，由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以的周期為4， 把函數(shù)的零點(diǎn)問題即的解，即函數(shù)和的圖像交點(diǎn)問題，根據(jù)的性質(zhì)可得如圖所得圖形，結(jié)合的圖像，由圖像可得共有3個(gè)交點(diǎn)，故共有3個(gè)零點(diǎn)，故選：B.8（2021陜西模擬預(yù)測(cè)（文）已知定義在上的奇函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，則（ ）A3BCD5【答案】A【詳解】由條件可知，且，即，即，那么，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，.故選：A9（2021全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的偶函數(shù)，且，若，則_【答案】【詳解】由可得，又，所以由可得，故，故的一個(gè)周期為8，則故答案為：.10（2021陜西二模（