高中數(shù)學必修 第四章 數(shù) 列 第2課時　等差數(shù)列前n項和的性質及應用（步步高）

1、第2課時等差數(shù)列前n項和的性質及應用學習目標1.進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，了解等差數(shù)列前n項和的一些性質.2.掌握等差數(shù)列前n項和的最值問題知識點一等差數(shù)列前n項和的性質1若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)也是等差數(shù)列，且公差為eq f(d,2).2設等差數(shù)列an的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2mSm，S3mS2m，仍構成等差數(shù)列，且公差為m2d.3若等差數(shù)列an的項數(shù)為2n，則S2nn(anan1)，S偶S奇nd，eq f(S偶,S奇)eq f(an1,an).4若等差數(shù)列an的項數(shù)為2n1，則S2n1(

2、2n1)an1，S偶S奇an1，eq f(S偶,S奇)eq f(n,n1).思考在性質3中，an和an1分別是哪兩項？在性質4中，an1是哪一項？答案中間兩項，中間項知識點二等差數(shù)列an的前n項和公式的函數(shù)特征1公式Snna1eq f(nn1d,2)可化成關于n的表達式：Sneq f(d,2)n2eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,2)n.當d0時，Sn關于n的表達式是一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)式，即點(n，Sn)在其相應的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n項和公式是關于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線yeq f(d,2)x2eq blc(rc)(avs4alco1(a1f

3、(d,2)x上橫坐標為正整數(shù)的一系列孤立的點2等差數(shù)列前n項和的最值(1)在等差數(shù)列an中，當a10，d0時，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式組eq blcrc (avs4alco1(an0，,an10)確定；當a10時，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式組eq blcrc (avs4alco1(an0，,an10)確定(2)Sneq f(d,2)n2eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,2)n，若d0，則從二次函數(shù)的角度看：當d0時，Sn有最小值；當d0，由eq blcrc (avs4alco1(an2n270，,an12n1270)得eq blcrc (a

4、vs4alco1(n13f(1,2)，,n12f(1,2).)又因為nN*，所以當n13時，Sn有最大值為169.方法三因為S8S18，所以a9a10a180.由等差數(shù)列的性質得a13a140.因為a10，所以d0，a140，d0，則Sn存在最大值，即所有非負項之和若a10，則Sn存在最小值，即所有非正項之和(2)求等差數(shù)列前n項和Sn最值的方法尋找正、負項的分界點，可利用等差數(shù)列性質或利用eq blcrc (avs4alco1(an0，,an10)或eq blcrc (avs4alco1(an0，,an10)來尋找運用二次函數(shù)求最值跟蹤訓練2在等差數(shù)列an中，a1018，前5項的和S515.

5、(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列an的前n項和的最小值，并指出何時取最小值解(1)設等差數(shù)列的公差為d，因為在等差數(shù)列an中，a1018，S515，所以eq blcrc (avs4alco1(a19d18，,5a1f(5,2)4d15，)解得a19，d3，所以an3n12，nN*.(2)因為a19，d3，an3n12，所以Sneq f(na1an,2)eq f(1,2)(3n221n)eq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(nf(7,2)2eq f(147,8)，所以當n3或4時，前n項的和Sn取得最小值S3S418.三、求數(shù)列|an|的前n項和例3數(shù)列an的前n項

6、和Sn100nn2(nN*)(1)判斷an是不是等差數(shù)列，若是，求其首項、公差；(2)設bn|an|，求數(shù)列bn的前n項和解(1)當n2時，anSnSn1(100nn2)100(n1)(n1)21012n.a1S110011299，適合上式，an1012n(nN*)又an1an2為常數(shù)，數(shù)列an是首項為99，公差為2的等差數(shù)列(2)令an1012n0，得n50.5，nN*，n50(nN*)當1n50時，an0，此時bn|an|an，數(shù)列bn的前n項和Sn100nn2.當n51時，an0，得n0；當n18，nN*時，an0，數(shù)列an的前17項和最大(2)當n17，nN*時，|a1|a2|an|a

7、1a2anna1eq f(nn1,2)deq f(3,2)n2eq f(103,2)n.當n18，nN*時，|a1|a2|an|a1a2a17a18a19an2(a1a2a17)(a1a2an)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)172f(103,2)17)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n2f(103,2)n)eq f(3,2)n2eq f(103,2)n884.Sneq blcrc (avs4alco1(f(3,2)n2f(103,2)n，n17，nN*，,f(3,2)n2f(103,2)n884，n18，nN*.)等差數(shù)列前n項和公式的實際應用典

8、例某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，共需1 150萬元，購買當天先付150萬元，按約定以后每月的這一天都交付50萬元，并加付所有欠款利息，月利率為1%，若交付150萬元后的一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第10個月應付多少錢？全部付清后，買這40套住房實際花了多少錢？解因購房時付150萬元，則欠款1 000萬元，依題意分20次付款，則每次付款的數(shù)額依次構成數(shù)列an，則a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，所以an501 00050(n1)1%60eq f(1,2)

9、(n1)(1n20，nN*)所以an是以60為首項，eq f(1,2)為公差的等差數(shù)列所以a10609eq f(1,2)55.5，a206019eq f(1,2)50.5.所以S20eq f(1,2)(a1a20)2010(6050.5)1 105.所以實際共付1 1051501 255(萬元)素養(yǎng)提升(1)本題屬于與等差數(shù)列前n項和有關的應用題，其關鍵在于構造合適的等差數(shù)列(2)遇到與正整數(shù)有關的應用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關知識解決相關的問題，是數(shù)學建模的核心素養(yǎng)的體觀1已知數(shù)列an滿足an262n，則使其前n項和Sn取最大值的n的值為()A11或12 B12

10、C13 D12或13答案D解析an262n，anan12(n2，nN*)，數(shù)列an為等差數(shù)列又a124，d2，Sn24neq f(nn1,2)(2)n225neq blc(rc)(avs4alco1(nf(25,2)2eq f(625,4).nN*，當n12或13時，Sn最大2一個等差數(shù)列共有10項，其偶數(shù)項之和是15，奇數(shù)項之和是12.5，則它的首項與公差分別是()A0.5,0.5 B0.5,1C0.5,2 D1,0.5答案A解析由于項數(shù)為10，故S偶S奇1512.55d，d0.5，由1512.510a1eq f(109,2)0.5，得a10.5.3(多選)設an是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且S5S8，則下列結論正確的是()AdS5DS6與S7均為Sn的最大值答案ABD解析S5S8，a60，a70，a80.d0.S6與S7均為Sn的最大值S9S5a6a7a8a92(a7a8)0.S90，則使得其前n項和Sn取得最小值的正整數(shù)n的值是_答案6或7解析公差d0，|a5|a9|，a5a9，即a5a90.由等差數(shù)列的性質，得2a7a5a90，解得a70.故數(shù)列的前6項均為負數(shù)，第7項為0，從第8項開始為正Sn取得最小值時的n為6或7.5已知等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為3227，則公差d_.答案5解析