新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊 1.5.1　全稱量詞與存在量詞 學(xué)案

1、1.5全稱量詞與存在量詞1.5.1全稱量詞與存在量詞核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞、存在量詞和全稱量詞命題、存在量詞命題的意義.2.掌握判斷全稱量詞命題和存在量詞命題真假的基本原則和方法.1.通過對(duì)全稱量詞與存在量詞、全稱量詞命題和存在量詞命題等概念的學(xué)習(xí),發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.通過判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假,增強(qiáng)邏輯推理的核心素養(yǎng).在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師,他的廣告詞是這樣寫的:“本人的理發(fā)技藝十分高超,譽(yù)滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉.我對(duì)各位表示熱誠歡迎!”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕,自然都是那些不給自己刮臉的人.

2、可是,有一天,這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了,他本能地抓起了剃刀,你們說他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉,他就屬于“不給自己刮臉的人”,他就要給自己刮臉,而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”,他就不該給自己刮臉.這就是著名的“羅素理發(fā)師悖論”問題.探究1:文中理發(fā)師說:“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉”.對(duì)“所有”這一詞語,你還能用其他詞語代替嗎?提示:“任意一個(gè)”“一切”“每一個(gè)”“任給”“凡是”等.探究2:上述詞語都有什么含義?提示:表示某個(gè)范圍內(nèi)的整體或全部.1.全稱量詞與全稱量詞命題問題1 觀察下面的兩個(gè)語句,思考并回答下列問題:下面的兩個(gè)語句都是命題嗎

3、?兩者之間有什么關(guān)系?P:x3;Q:對(duì)所有的xR,x3.提示:語句P無法判斷真假,不是命題;語句Q在語句P的基礎(chǔ)上增加了“所有的”,可以判斷真假,是命題.語句P是命題Q中的一部分.梳理1全稱量詞與全稱量詞命題定義短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞符號(hào)表示定義含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題一般形式對(duì)M中任意一個(gè)x,p(x)成立符號(hào)表示xM,p(x)2.存在量詞與存在量詞命題問題2-1 觀察語句:存在一個(gè)xR,使3x+1=5;至少有一個(gè)xZ,x能被2和3整除.是命題嗎?若是命題,判斷其真假.提示:是,都為真命題.問題2-2 你能寫出一些與問題2-1中具有相同意義的詞語嗎?提示

4、:某些,有的,有些.梳理2存在量詞與存在量詞命題存在量詞定義短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞符號(hào)表示存在量詞命題定義含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題一般形式存在M中的元素x,p(x)成立符號(hào)表示xM,p(x)1.下列命題是存在量詞命題的是(B)(A)任意給定實(shí)數(shù)x,x20(B)存在有理數(shù)x,使得3x-2=0(C)每一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式(D)所有的自然數(shù)都大于或等于零2.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(C)(A)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開口向上(B)存在一條直線與已知直線不平行(C)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若a-b0,則ab(D)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使等式x2-2x

5、+1=0成立解析:選項(xiàng)B,D是存在量詞命題,故應(yīng)排除;對(duì)于A,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0;(2)x1,3,0,2x+10;(3)xN,使xx;(4)xN*,使x為29的約數(shù).解析:因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),2x2-3x=0,故(1)是假命題,易知(2),(3),(4)均為真命題.答案:(1)4.若命題“任意xR,ax2-ax-20”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析:當(dāng)a=0時(shí),不等式顯然成立.當(dāng)a0時(shí),依題意知a0,=a2+8a0,解得-8a0;(2)xN,x1;(3)xZ,x30.因此命題“xR,x2+10”是真命題.(2)由于0N,而且當(dāng)x=0時(shí),01不成立.因此命題“xN,x1”是假命

6、題.(3)由于-1Z,而且當(dāng)x=-1時(shí),有(-1)31.因此命題“xZ,x30(B)xN,x1(C)xZ,x30”是假命題.對(duì)B,由于0N,所以命題“xN,x1”是假命題.對(duì)C,由于-1Z,且當(dāng)x=-1時(shí),x31成立,所以命題“xZ,x31”是真命題.對(duì)D,由于0Q,且0=0,所以命題“xQ,x0”是真命題.故選CD.全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判定的技巧(1)全稱量詞命題的真假判定要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立;但要判定全稱量詞命題是假命題,只需舉出集合M中的一個(gè)x,使得 p(x)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個(gè)反例”).(2)存在量

7、詞命題的真假判定要判定一個(gè)存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個(gè)x,使p(x)成立即可;否則,這一存在量詞命題就是假命題.由全稱量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)例3 已知命題p:xR,x2+x+2-a0,解得a74,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a|a74.變式訓(xùn)練3-1 將本例中的條件改為“xR,x2+x+2-a=0”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:因?yàn)閜為真命題,所以方程x2+x+2-a=0有實(shí)根,則=1-4(2-a)0,解得a74,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a|a74.變式訓(xùn)練3-2 將本例中的條件改為“xR,x2+x+2-a0”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:法一因?yàn)閜為

8、真命題,則函數(shù)y=x2+x+2-a的圖象恒在x軸上方,又x2+x+2-a=(x+12)2+74-a,則74-a0,故a74,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a|a0恒成立,則=1-4(2-a)0,解得a74,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a|a3,有xa恒成立,則a的取值范圍是.解析:由于對(duì)任意x3,有xa恒成立,即大于3的數(shù)恒大于a,所以a3.答案:a|a3即時(shí)訓(xùn)練3-2:“存在xx|xa,x2=1”是假命題,則a的取值范圍是.解析:依題意x2=1在集合x|xa內(nèi)無解,因此結(jié)合x2=1的解為-1和1知,這兩個(gè)元素不在集合x|xa內(nèi),故a-1.答案:a|a0成立;(2)對(duì)所有實(shí)數(shù)a,b,方程ax+b=0恰有一個(gè)解;

9、(3)有些整數(shù)既能被2整除,又能被3整除;(4)某個(gè)四邊形不是平行四邊形.解:(1)xR,x2+x+10.(2)a,bR,ax+b=0恰有一個(gè)解.(3)xZ,x既能被2整除,又能被3整除.(4)x四邊形,x不是平行四邊形.例2 判斷下列命題的真假.(1)x,y為正實(shí)數(shù),使x2+y2=0;(2)存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形;(3)在平面直角坐標(biāo)系中,任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P;(4)存在兩個(gè)無理數(shù),它們的乘積是有理數(shù).解:(1)由于x2+y2=0時(shí),x=y=0,因此不存在正實(shí)數(shù)x,y使x2+y2=0,故為假命題.(2)真命題,如梯形.(3)由有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知,它是真命題.(4)由于x=3+1,y=3-1時(shí),xy=(3+1)(3-1)=2,因此是真命題.例3 若“xx|xa,x21”是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:因?yàn)閤21,所以x1或x-1.又xx|xa,則x|xax|x1.故a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a|a1.例4 已知命題“xR,2x2+(a-1)x+120”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析:由題意可得“對(duì)xR,2x2+(a-1)x+120恒成立”是真命題,令=(a-1)2-40得-1a3.答案