工科數(shù)學(xué)分析ii.part1課外

1、稿件：8066三圓柱體垂直相交體積的計算孫玉泉 1，曦 2，1（1.航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 數(shù)學(xué)、信息與行為教育部100191;2.航空航天大學(xué) 電子信息2010 級100191 ）收稿日期：2011-09-21?；痦椖浚菏芯氛n程建設(shè)項目、學(xué)校重點(diǎn)教改項目（工科數(shù)學(xué)分析）開放式教學(xué)研究與實踐.。作者簡介：孫玉泉（1977-），男，山東安丘人，講師，主要研究方向計算數(shù)學(xué).:.（1964-），女，江蘇: xiaoyua人，教授，博導(dǎo)，主要研究方向為應(yīng)用調(diào)和分析和圖像處理.摘要：針對三個直徑相同垂直相交圓的柱體這一復(fù)雜的空間圖形，給出了求解它們所圍體積的積分表達(dá)式和體積，并比較了不同

2、坐標(biāo)系下的積分表達(dá)式，進(jìn)一步給出了直徑不同垂直相交圓的柱體所圍體積的積分表達(dá)式.：三重積分; 圓柱體相交體積; 重積分應(yīng)用號 O172.2The volume of three verticallySUN Yuquan1LIU Jiaxi2ersected cylindersXiaoyuan1(1.LMIB & School of Mathematics and System Science，Beihang University Beijing 100191) (2.School of electronic and information engineering (2010)，Beihang

3、University Beijing 100191)Abstract：This pr gives the tripleegral for computing the volume of three verticallyersected cylinders with same diameter. It also compares the coordinate systems and studies the volume of three verticallydiameters.egral express in differentersected cylinders with differentK

4、eywords：Tripleegralegral，Volume of verticallyersected cylinders，Application of multiple分析積分區(qū)域的位置關(guān)系，寫出積分表達(dá)式是三重積分計算中的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題.兩個直徑相同的圓柱相交所的體積問題已經(jīng)比較復(fù)雜1. 空間中三個相互垂直的圓柱相交的體積問題，其空間位置關(guān)系更加復(fù)雜，對分析和計算提出了更大的 . 本文就這一問題展開深入分析，給出各種不同情形積的積分公式，并比較了不同坐標(biāo)形式下的積分計算難易程度，進(jìn)一步說明三重積分應(yīng)用的一般思路和方法.1. 直徑相同垂直相交的三個圓柱體體積的計算以圓柱相交的中心為坐標(biāo)原

5、點(diǎn)，三圓柱的中心軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系（圖 1），不妨設(shè)圓柱的半徑為 1，則求體積關(guān)鍵問題是分析三個變量的變化范圍，寫出積分表達(dá)式.根據(jù)對稱性知，整體體積是第一卦限內(nèi)體積的八倍，因此僅需計算第一卦限內(nèi)的體積即可.這樣可以縮小變量的變化范圍，使得分析和計算更加簡單.使用先一后二法2分析積分區(qū)域，首先將區(qū)域向 xoy 平面投影，則投影區(qū)域為圖 1 直徑相同垂直相交的三個圓柱體 圓在第一象限內(nèi)的部分.在確定了x,y 的取值范圍后，考慮 z 的變化范圍. 顯然對于給定的（x,y），z 的最小值取 0，而最大值分別取z 1 x2在兩個圓柱面上，即 或1z 1 y 2 較小的那個上面, 而 z , z 的2

6、12大小由 x，y 的大小決定.于是在 xoy 平面內(nèi)作直線 y=x（圖 2），在圖中陰影部分 D ，xy有 xy，這一部所對應(yīng)的體積為:a2 x21 x2a 2 a dx0dy0dz).2在直角坐標(biāo)系下的這個積分難以計算，嘗試使用柱坐標(biāo)進(jìn)行計算. 先考慮三個圓柱半徑相同時柱坐標(biāo)表示 (圖 4)，其中取值為0, ， r 取值為0,1 ，下面分析 z4的取值.圖 2 xOy 平面內(nèi)投影關(guān)系1 x2dxdy0dz ,Dxy從直線 y=x 與圓周交點(diǎn)作關(guān)于 x 軸的垂線，即將圖形分為兩個 x 型區(qū)域，則得2x12(dx dy 22dz)0000022 1 .2根據(jù)對稱性，在 xy 部分的積分相同，圖

7、 4 直徑相同時的柱坐標(biāo)如圖 oC 與 x 軸夾角即為 ，oP 長度即為 r. 過 oC，作垂直于 xoy 平面的平面 oABC，與沿y 軸方向的圓柱體側(cè)面交線為弧 AB. 過 P 點(diǎn)作 P 關(guān)于 x 軸的垂線交 x 軸于 Q，再過 PQ，作垂直于 xoy 平面的平面 PQRS，與沿 y 軸方向的圓柱側(cè)面交于 RS.四邊形 PQRS 為矩形，且 S 點(diǎn)在弧 AB因此整體的體積為16 8 2 .該問題的關(guān)鍵是在完成向 xoy 平面的投影后，分析兩個水平放置圓柱的空間位置關(guān)系，并求出其表達(dá)式，從而確定 z 的取值范圍，正確寫出積分表達(dá)式.2. 垂直相交的三個圓柱中兩個直徑相同時所圍體積的計算首先假

8、設(shè)水平放置的兩個直徑相同，第上.所以 z=PS=QR.所以積分為：1r2 cos2 1drV 16(ddz) .4000三個直徑不同，為 x 2 y 2 a 2 (a1).下當(dāng) a1 時，因為 取值范圍不變，z 的分析方法不變，所以只需改變 r 的積分區(qū)間即可.只對 r 在0,a上積分（圖 5），結(jié)果即為a1 時的體積.面分情況進(jìn)行.1） 若 a1(圖 3)，圖 3 直徑不相同圓柱根據(jù)對稱性只需要求第一卦限內(nèi)的部分，使用前面的分析方法，此時投影區(qū)域變?yōu)榘霃綖?a 的圓在第一象限內(nèi)的部分，其積分表達(dá)式為：圖 5 直徑不相同時的柱坐標(biāo)所以體積為2 ax1 x 2V 16(dx dydz21r 2

9、cos2 aV 16(0 ddrdz) .4000002) a 2 時(圖 6)， 2 ax1 x2a2 x21 x2116(dx dydz dxdydz)22000a002柱坐標(biāo)系下積分公式4x a2 11 x2a1r 2 cos2 116( dxdydz dr ddz)1a00000arccos3. 三個直徑各不相同的垂直相交圓柱體體積的計算不妨設(shè)三個圓柱的方程分別為:x2 z2 1,y2 z 2 a2 , x2 y2 b2 ,圖 6a 2 時在 xoy 內(nèi)投影垂直于xoy 平面的圓柱體側(cè)面與另外兩個圓柱體圍城的圖形不相交，問題等價于求解兩個半徑為 1 的圓柱體圍成的體積，積分區(qū)域為邊長為

10、 1 的正方形，即圖中陰影部分,所以積分為：其中 1ab ，即 z 軸方向的圓柱半徑最大，y 軸方向的圓柱半徑最小.1)若 b 足夠大，另兩個圓柱相交的區(qū)域就會完全被包含在 z 軸方向的圓柱中(圖 9).161x21xV 16 dxdydz .30003) 1 a 2 時(圖 7)，圖 9 b 足夠大時第一象限內(nèi)的圖形此時體積等價于兩個直徑不同的圓柱相交的體積，積分為1a 2 1 x2111 x dy dx2a y dy)228( dx22000a 1 x因為積分區(qū)域為四分之一圓(圖 10)，圖 7 1 a 2 時第一象卦限內(nèi)圖形考慮垂直于xoy 平面的圓柱體與另外兩個圓柱體圍城的圖形是否相交

11、.沿 z 軸方向的圓柱側(cè)面與另外兩個圓柱相交，此時積分區(qū)域為下圖中陰影部分（圖 8）.圖 10b 足夠大時的柱坐標(biāo)其極坐標(biāo)表示為：1b2 r 2 cos2 dr .8d200cosb22 cos1 8(b2 cos2 arcsin)d22b01 a 2 時 xoy 平面內(nèi)投影圖 82) 若b2 a2 1:圖形將更為復(fù)雜(圖 11),直角坐標(biāo)系下的積分公式為：4. 結(jié)論本文深入分析了空間中三個垂直相交的圓柱體所圍成的體積問題，對于這一系列復(fù)雜，分別給出了計算的積分表達(dá)式.隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計算具體的積分值已經(jīng)變得越來越簡單，但是分析問題給出計算機(jī)能夠處理的表達(dá)式確變得更加重要. 通過這些體積問題的分析，說明了使用三重積分計算體積時的基本的思路和方法，也進(jìn)一步說明了微積分的重要應(yīng)用價值.參考文獻(xiàn)：圖 11 b2 a2 1時第一象限內(nèi)的圖形黃域為沿 y 軸方向的圓柱表面，藍(lán)1，於冊M. 2 版.2004：240-260.，金路.數(shù)學(xué)分