(全國通用)2018高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章三角函數(shù)解三角形第6節(jié)正弦定理和余弦定理教師

1、第六節(jié)正弦定理和余弦定理考綱傳真掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形胸懷問題1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理abcC2R.(R為ABC外內(nèi)容sinAsinBsin接圓半徑)(1)a2sin，2sin，2sin；RAbRBcRC變形(2)abcsinAsinBsinC；形式abc(3)sinA2R，sinB2R，sinC2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_CcosAb2c2a22bc；cosBc2a2b22ca；a2b2c2cosC2ab已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩(1)已知三邊求各角；解決條邊；(2)已知兩邊和它們

2、的夾問題(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊角，求第三邊和其他兩個(gè)角和其他兩角三角形常用面積公式1Saha(ha表示邊a上的高)；2111S2absinC2acsinB2bcsinA.S1r(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)21(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在ABC中，若AB，則必有sinAsinB()(2)在ABC中，若b2c2a2，則ABC為銳角三角形()(3)在ABC中，若A60，a43，b42，則B45或135.()asinabc(4)在ABC中，sinsinsin.()AABC解析(1)正確AB?ab?sinAsinB.b2c2a2(2)錯(cuò)誤由cos

3、A0知，A為銳角，但ABC不一定是銳角三角形2bc(3)錯(cuò)誤由ba知，BA.(4)正確利用a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，可知結(jié)論正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定C由正弦定理，得asin，bsin，csin，代入獲得222，由余弦2RA2RB2RCabca2b2c2定理得cosC2ab0，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形3(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a5，c2，2cosA3，則b()A.2B.3C2D322D

4、由余弦定理得5b42b23，1解得b3或b3(舍去)，應(yīng)選D.4在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A6，a1，b3，則B_.2ab323或3由正弦定理sinAsinB，代入可求得sinB2，故B3或B3.5在ABC中，A60，AC4，BC23，則ABC的面積等于_23由題意及余弦定理得cosAb2c22216121ac24c，解得c2，所以S2bc21sin142sin6023.2bcA2利用正、余弦定理解三角形3在ABC中，BAC4，AB6，AC32，點(diǎn)D在BC邊上，ADBD，求AD的長【導(dǎo)學(xué)號：31222129】解設(shè)ABC的內(nèi)角BAC，B，C所對邊的長分別是a，b，c，

5、由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(32)2622326cos341836(36)90，所以a310.6分又由正弦定理得sinbsinBAC310，Ba31010由題設(shè)知0B4，所以cos1sin211310.9分BB1010在ABD中，因?yàn)锳DBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得ABsinB6sinB310.12分AD2B2sinBcosBcosB規(guī)律方法1.正弦定理是一個(gè)連比等式，只需知道其比值或等量關(guān)系就能夠運(yùn)用正弦定理經(jīng)過約分達(dá)到解決問題的目的2(1)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其余邊角的問題時(shí)，首先必須判

6、斷是否有解，如果有解，是一解仍是兩解，注意“大邊對大角”在判斷中的應(yīng)用變式訓(xùn)練1(1)(2017鄭州模擬)已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且(bc)(sinA30C60BsinC)(a3c)sinA，則角B45D120B的大小為()4(2)(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA5，cos5C13，a1，則b_.21abc(1)A(2)13(1)由正弦定理sinAsinBsinC及(bc)(sinBsinC)(a3c)sinA得(bc)(bc)(a3c)a，即b2c2a23ac，a2c2b23ac.又a2c2b23cosB2ac，cosB2

7、，B30.45在ABC中，cosA5，cosC13，31235412sinA5，sinC13，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC5135136365.63abasinB16521又sinAsinB，bsinA313.5判斷三角形的形狀(1)(2017東北三省四市二聯(lián))在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，知足acosAbcosB，則ABC的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2016安徽安慶二模)設(shè)角A，B，C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，則“ABC”是“ABC是鈍角三角形”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不

8、充分也不必要條件(1)D(2)A(1)因?yàn)閍cosAbcosB，由正弦定理得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC為等腰三2角形或直角三角形，應(yīng)選D.由ABC，ABC，可得C2，故三角形ABC為鈍角三角形，反之不建立故選A.規(guī)律方法1.判斷三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，經(jīng)過三角變換找出角之間的關(guān)系(2)化角為邊，經(jīng)過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)變的橋梁2不論使用哪一種方法，都不要任意約掉公因式；要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有遺漏一種形狀的可能變式訓(xùn)練2設(shè)的內(nèi)角，所對的邊分別為，若2sincossinABCABC

9、abcABC，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形B法一：由已知得2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sin(AB)0，因?yàn)锳B，所以AB.法二：由正弦定理得2acosBc，再由余弦定理得2aa2c2b222ab.2acc?ab?與三角形面積相關(guān)的問題(2015全國卷)已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B2sinAsinC.若ab，求cosB；(2)設(shè)90，且a2，求的面積BABC解(1)由題設(shè)及正弦定理可得b22ac.2分又ab，可得b2c，a2c.Ba2c2b21由余弦定理可得cos2ac4.

10、5分(2)由(1)知b22ac.7分因?yàn)锽90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，進(jìn)而可得ca2.9分1所以ABC的面積為2221.12分規(guī)律方法三角形面積公式的應(yīng)用方法：111關(guān)于面積公式S2absinC2acsinB2bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式與面積相關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)變變式訓(xùn)練3(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c.求C；3若c7，ABC的面積為2，求ABC的周長解(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，即2cosC

11、sin(AB)sinC，3分故2sinCcosCsinC.1可得cosC2，所以C3.5分(2)由已知得1sin33.2abC2又C3，所以ab6.9分由已知及余弦定理得a2b22abcosC7，故a2b213，進(jìn)而(ab)225.所以ABC的周長為57.12分思想與方法ABC中互補(bǔ)和互余1在解三角形時(shí)，應(yīng)嫻熟運(yùn)用內(nèi)角和定理：ABC，2222的情況，聯(lián)合誘導(dǎo)公式能夠減少角的種數(shù)2判斷三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角變換3在ABC中，AB?ab?sinAsinB.易錯(cuò)與防范1已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理求其余邊或角可能有一解、兩

12、解、無解在ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absinbsinAaababAb解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解在判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，免得漏解課時(shí)分層訓(xùn)練(二十二)正弦定理和余弦定理A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosCccosBasinA，則ABC的形狀為()【導(dǎo)學(xué)號：31222130】A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定B由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sinAsin2A.A(0，)

13、，sinA0，sinA1，即A2.2在ABC中，已知b40，c20，C60，則此三角形的解的情況是()【導(dǎo)學(xué)號：31222131】A有一解B有兩解C無解D有解但解的個(gè)數(shù)不確定bcC，C由正弦定理得sinBsin403bsin2C31.sinBc20角B不存在，即知足條件的三角形不存在3(2016天津高考)在ABC中，若AB13，BC3，C120，則AC()A1B2C3D4A2222由余弦定理得ABACBC2ACBCcosC，即13AC92AC3cos2120，化簡得AC3AC40，解得AC1或AC4(舍去)應(yīng)選A.4(2017重慶二次適應(yīng)性測試)在中，內(nèi)角，的對邊分別為，且ABCABCabca

14、2b2c2ab3，則ABC的面積為()33A.4B.433C.2D.2a2b2c2111B依題意得cosC2ab2，C60，因此ABC的面積等于2absinC233324，應(yīng)選B.15(2016全國卷)在ABC中，B4，BC邊上的高等于3BC，則sinA()310A.10B.10C.53105D.10a過A作ADBC于D，設(shè)BCa，由已知得AD3.B4，ADBD，BDAD5a，DC2a，ACa25a，在ABC中，由正弦定理得aa2a23，33333sinBACsin4510sinBAC10，應(yīng)選D.二、填空題6(2017郴州模擬)在中，a15，10，60，則cos_.ABCbAB6由正弦定理可

15、得1510，所以sinB33，再由ba，可得B為銳角，3sinB32所以cos1sin26.BB37(2016青島模擬)如圖3-6-1所示，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，sin222，3，則的長為_，3BACABADBD3圖3-6-1223sinBACsin(90BAD)cosBAD3，22BAD，在ABD中，有BDABAD2ABADcos222BD189232333，BD3.8已知ABC中，AB3，BC1，sinC3cosC，則ABC的面積為_.【導(dǎo)學(xué)號：31222132】3C3cosC得tanC30，所以C2由sin3.根據(jù)正弦定理可得BCAB13，即sin2，sinAsinC

16、A321所以sinA2.因?yàn)锳BBC，所以AC，所以A6，所以B2，即三角形為直角三角形，13.ABC故S2312三、解答題39在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2，c5，cosB5.【導(dǎo)學(xué)號：31222133】(1)求b的值；求sinC的值解(1)因?yàn)閎2a2c22accosB425225317，所以b17.5分5(2)因?yàn)閏os3，所以sin4，7分B5B5bc175由正弦定理，得4，sinBsinCsinC5417所以sinC17.12分10(2017云南二次統(tǒng)一檢測)的內(nèi)角，的對邊分別為，(sinABCABCabcmB,5sinA5sinC)與n(5sinB6si

17、nC，sinCsinA)垂直求sinA的值；(2)若a22，求ABC的面積S的最大值解(1)m(sinB,5sinA5sinC)與n(5sinB6sinC，sinCsinA)垂直，5sin26sinsin5sin25sin20，mnBBCCA2226sinBsinC分即sinBsinCsinA5.32226bc根據(jù)正弦定理得bca，222bca3A是ABC的內(nèi)角，sinA41cos2A5.6分由(1)知b2c2a26bc，562222bc5bca2bca.8分又a22，bc10.12bcABC的面積S2bcsinA54，ABC的面積S的最大值為4.12分B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1(2

18、016山東高考)ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c已知bc，a22b2(1sin)，則()AA3A.4B.3C.4D.6bc，BC.A又由ABC得B22.由正弦定理及222(1sin)得abAsin2A2sin2B(1sinA)，22A即sinA2sin22(1sinA)，22A即sinA2cos2(1sinA)，2A2A2AA)，即4sin2cos22cos2(1sin整理得cos2A1sinA2sin2A0，222AAsinA)0.即cos2(cosAA0A，022，cos20，cosAsinA又0A，A4.2如圖3-6-2，在中，45，D是BC邊上的點(diǎn)，5，7，3，ABCBADACDC則AB的長為_圖3-6-256在ADC中，AD5，AC7，DC3，22221cosADCADDCA