平面幾何難題及解答

1、平面幾何經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，。是半圓的圓心, 求證：CD = GF.C、E 是圓上的兩點， CDXAB , EFXAB , EGXCO.2、已知:求證:如圖，P是正方形 ABCD PBC是正三角形.內(nèi)一點，/ PAD=Z PDAX1/ A3、如圖，已知四邊形 ABCD、AiBiCiDi都是正方形,CCi、DDi的中點.求證：四邊形 A2B2c2D2是正方形.（初二）C24、已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AD = BC, M、N分別是 的延長線交MN于E、F.ABAAi求證：/ DEN = Z F.I、已知： ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），。為外心，（I）求證：AH=2OM

2、;B（2）若/ BAC = 600,求證：AH=AO.（初二）2、設(shè)MN是圓O外一直線，過及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.A引圓的A求證：AP = AQ.（初二）3、如果上題把直線 MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE ,4、于 P、Q.求證：AP = AQ.（初二） 如圖，分別以 ABC的AC和 CBFG，點P是EF的中點. 求證：點P到邊AB的距離等于I、2、如圖，四邊形 ABCD為正方形, 求證：CE=CF.（初二）如圖，四邊形 ABCD為正方形, 求證：AE=AF.（初二）D2ADlBC丈CDC、BC為一邊，在 ABC

3、的外側(cè)作正而留PAB的一半.（初二）DE / AC ,DE / AC ,3、設(shè)P是正方形ABCD 一邊BC比求證：PA=PF.（初二）4、如圖，PC切圓。于CB、D,求證：AB = DC題（三）AE = AC E且 CE=CA,PFAP , CF 平分D相交于ADCE.AC為圓的直徑，PEF為圓的害陟:BC=AD.（初三）1、已知： ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點， PA = 3P - 一一PB = 一B4,AF求：/ APB的度數(shù).（初二）2、設(shè)P是平行四邊形 ABCD內(nèi)部的一點，且/ PBA = Z PDA . 求證：/ PAB = /PCB.（初二）3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求

4、證： AB - CD + AD - BC=AC - BD .4、平行四邊形 ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點, AE = CF.求證：/ DPA=/DPC.（初二）經(jīng)典難題（五）ADBCDCADAE 與 CF1、設(shè)P是邊長為1的正 ABC內(nèi)任一點,2、Be CL=PA+PB+PC,求證：V* WLV2.已知：P是邊長為1的正方形 ABCD內(nèi)的一點，求 PA+PB+PC的最小面AP3、P為正方形 ABCD內(nèi)的一點，并且 PA= aPB=2a, PC=3a,求質(zhì)立風(fēng)邊長.4、如圖， ABC 中，/ ABC =/ACB = 800, / EBA = 200,求/ BED 的度數(shù).經(jīng)典難題

5、解答：經(jīng)典難題（一）DD、E分別是AB、ACCBCBDCDCA = 300,.如下圖做 GHXAB,連接EO。由于GOFE四點共圓，所以/ GFH = / OEG, 即 GHFs OGE,可得 型=00 = 20,又 CO=EO,所以 CD=GF 得證。GF GH CD.如下圖做 DGC使與 ADP全等，可得 PDG為等邊,從而可得B DGCA APDA CGP,得出 PC=AD=DC,和/ DCG= / PCG= 150 所以/ DCP=300 ,從而得出 PBC是正三角形.如下圖連接BG和AB分別找其中點F,E.連接GF與A2E并延長相交于Q點, 連接EB并延長交GQ于H點，連接FB并延長

6、交4Q于G點，由 A2E=2AB=3BG= FB2 , EB= AB=會 BC=F C ,又 / GFQ+/ Q=900 和/ GEB2+/Q=90所以/ GEB2=/GFQ 又/ B2FC2=/A2EB2 ,可得 B2FC2A A2EB2 ,所以 A2B2=B2c2 ,又/ GFQ+/ HB2F=900 和/ GFQ=/ EB2A2 ,從而可得/ A2B2 C2=900 ,同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形 A 2B 2C2D2是正方形。4.如下圖連接AC并取其中點 Q 連接Q陰口 QM所以可得ZQMF= ZF, / QNM= / DEN 和/ QMN= Z QNM ,從而得出/ DE

7、N = / F。經(jīng)典難題(二)1.(1)延長 AD到 F 連 BF,彳O OG. AF,又/ F= Z ACB= / BHD ,可得BH=BF,從而可得 HD=DF ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接 OB OC既得/BOC=1200,從而可得/ BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得證。.作 OF! CD OG- BE,連接 OP, OA, OF, AF, OG, AG, OQ。,ADACCD2FDFD由于=,ABAEBE2BGBG由此可得 ADFABG ,從而可得/ AFC= / AGE。又因為PFOA與QGOA四點共圓，

8、可得/ AFC= / AOP和/ AGE= / AOQ ,/ AOP= / AOQ ,從而可得 AP=AQ。.過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG CI, FH可得PQ=EG+ FH 。2由 EGAA AIC ,可得 EG=AI ,由 BFHA CBI ,可得 FH=BI。AI + BI AB從而可得 PQ= , 從而得證。22經(jīng)典難題(三).順時針旋轉(zhuǎn)ADE ,到 ABG ,連接CG.由于 / ABG= / ADE=90 0+450=1350從而可得B, G, D在一條直線上，可得 AGB0CGB。推出AE=AG=AC=GC ,可得 AGC為等邊三角形。/AGB=30 0,既得/ EAC

9、=300,從而可得/ A EC=750。又/ EFC=Z DFA=450+300=750.可證：CE=CF。.連接BD乍CHh DE,可得四邊形 CGDH是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ,可得/ CEH=300,所以/ CAE=/CEA=/AED=150,又/ FAE=900+450+150=1500,從而可知道/ F=150,從而得出AE=AF。.作FGL CD FE BE,可以得出 GFEC為正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。XZ一一ctan/BAP=tan / EPF= - =，可得 YZ=XY-X 2+XZ ,Y Y- X + Z即 Z(

10、Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出 ABPA PEF ,得到PA= PF ,得證經(jīng)典難題（四）.順時針旋轉(zhuǎn)MBP 600，連接PQ ,則 PBQ是正三角形?？傻?PQC是直角三角形。所以/ APB=150 0。.作過P點平行于AD的直線，并選一點 E,使AE/ DC BE/ PC. 可以得出/ ABP=/ADP= / AEP,可得：AEBP共圓（一邊所對兩角相等）?？傻? BAP= Z BEP= Z BCP,得證。.在 BD取一點 E,使/BCE=/ACD,既得 BECsADC,可得：膽=，即 AD?BC=BE?AGBC AC又/ ACB= / DCE,可得 ABC s DEC ,既

11、得-AB = -DE-,即 AB?CD=DE ?AC ,AC DC由 + 可得：AB ?CD+AD ?BC=AC（BE+DE尸 AC - BD ,得證。.過 D作 AQLAE , AGXCF ,由 SVADE =-SYABCD = SVDFC ,可得：2也PQ =也PQ,由 AE=FC。22可得DQ=DG ,可得/ DPA=Z DPC （角平分線逆定理）。經(jīng)典難題（五）. （1）順時針旋轉(zhuǎn)BPC 600 ,可得 PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一條直線上,即如下圖：可得最小(2)過P點作BC的平行線交AB,AC亍點D, F。由于/

12、APD / ATP= / ADP, TOC o 1-5 h z 推出ADAP又 BP+DPBP和 PF+FOPC又DF=AF由可得：最大 L2 ;由（1）和（2）既得：聲WLV2 。.順時針旋轉(zhuǎn)BPC 600 ,可得 PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一條直線上, 即如下圖：可得最小 PA+PB+PC=AF。既得AF=4+ 2 32= W，i) 22.6+ .2 =。2.順時針旋轉(zhuǎn)ABP 900 ,可得如下圖：既得正方形邊長L = )(2+ g2+ (/)2ga =)5+ 2獨中。.在 AB上找一點 F,使/BCF=600 , 連接EF,