中考常考基本幾何模型16類

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)中考常考基本幾何模型16類模型是對基礎知識的深刻認識與提煉出的基本類型，注重基本知識的教學是強化模型思想意識的前提，注重模型在知識與知識中的應用，在具有實際背景中的應用等，可有效提高學生數(shù)學建模與解題能力(數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題)模型1:將軍飲馬模型如圖1，已知直線和直線外同側兩定點

2、、，在直線上求一點，使的值最小作法：作（）點關于直線的對稱點，連接與直線相交于一點，則此點為所求作的點，的值也最小 說明：這里利用點關于直線對稱的性質(zhì)，將一定直線同側兩定點問題轉化為一定直線異側兩定點問題來達到求解的目的細細分析這個基本幾何模型，會發(fā)現(xiàn)隱含有如下兩個基本結論：其一：同側兩三角形相似的問題 如圖1，若連接，交直線于點，并過點作于點，則有，如圖2所示例 如圖2-1，點為長方形邊上一點，在線段上作一點，使（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明）解：由于點、點均為定點且在定直線的同側，要在上求一點，使，所以本題符合基本模型中隱含的第一類問題，于是作點（或點）關于的對稱點點（或

3、點），連接（或），（或）與的交點即為所求作的點，如圖2-2所示其二：同側兩線段差值最大的問題 如圖3所示 ，連接(不妨假設點到直線的距離大于點到直線的距離)，設直線與直線相交于點，借助三角形的三邊關系，可證明：即：一定直線同側兩定點到這條直線上一動點的距離之差有最大值，其最大值是兩定點的距離 同側兩線段差值最大問題的變式：如圖4所示，作點關于直線的對稱點，連接 (不妨假設點到直線的距離大于點到直線的距離)，設直線與直線相交于點，借助三角形的三邊關系，可證明：即：一定直線異側兩定點到這條直線上一動點的距離之差有最大值，其最大值等于其中一定點關于這條直線對稱后的點與另一定點之間的距離例 如圖4-1

4、，在正方形中，與交于點，是的中點，點在邊上，且，為對角線上一點，則的最大值為 解：由于點、點是兩個定點，并在定直線的異側，要在上求一點，使的值最大，這顯然屬于基本模型中隱含的第二類問題中的變式形式，于是不妨作點關于的對稱點點，則的最大值就是線段的長，如圖4-2所示 四邊形是正方形，點是對角線與的交點，是的中點， ，則點在上，且是的中點，則，即練習：2015年陜西中考副題第14題；2018年陜西中考副題第25題(三線段共線問題)模型2：三垂直模型 如圖5，中，點在直線上，若過、點分別作的垂線，垂足分別為、，則；若時，則有練習：2014年陜西中考副題第14題模型3:邊定角等模型如圖6，已知及其所對

5、邊的長均為定值時，求所有符合條件的點或符合條件的三角形的最大面積作法：先作一個符合條件的特殊，再作它的外接圓O，那么在上任取一點（不與、重合），它與所構成的三角形都滿足的長及所對的角是定值的要求由圓的知識可知：所有符合題意的三角形就是上面點與所構成的三角形要它的面積最大，只要三角形邊上的高最長即可作的垂直平分線，設它與交于點，與交于點，于是的最大值就是例 如圖6-1，以正方形的一邊為邊向四邊形內(nèi)作等腰，過作于，點是的內(nèi)心，連接，若，則的最小值為 （請在圖中畫出點的運動路徑）.解：點是的內(nèi)心，連接、，如圖6-2所示，又等腰是以為邊向正方形內(nèi)作的，且，的長是確定的，位置是不確定的.若連接，由等腰三

6、角形的性質(zhì)可知：與關于所在的直線成軸對稱，且點在直線上，于是在中研究點與點的關系，就可轉化在中來研究點與點的關系，在中，為定邊，點應在以、三點確定的圓上，設圓心為，則點的運動路徑為（不含、兩點），如圖6-3所示.求的最小值就轉化為求圓外一點到圓上一點的最短距離了，于是連接、，過作于，則為的弧，則為等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，又，即圓半徑為，則，由勾股定理得：，則的最小值為. 練習：2014年陜西中考第25題、中考副題第25題；2016年陜西中考第25題第問（存在性作圖）；2017年陜西中考副題第25題.模型4:點、線平移模型如圖7所示，在直角坐標系中，當線段平移至時，若已知點坐標為，點

7、坐標為，點坐標為，則點坐標就是練習：2014年陜西中考副題第14題；第24題常用模型5:平行四邊形中，過中心的線平分平行四邊形的面積模型如圖8，中，與相交于點若過點任作一條直線，則將平分成兩部分，且這兩部分全等（面積相等）練習：2013年陜西中考第25題；2017年陜西中考第25題第問模型6：角的頂點在一圓中相切線上，則這些角中必有最大值的問題模型如圖9，直線與相切于點，是直線上任意一點，則有.練習： 2015年陜西中考第25題2015年陜西中考副題第25題模型7：共斜邊的直角三角形的所有頂點在同一圓上的問題模型如圖10，在與中，則、 、四點在同一個圓上，且圓心在的中點上，就是圓的直徑例（20

8、17陜西中考第14題）：如圖11，在四邊形中，連接，若，則四邊形的面積為 ，、四點共圓，過作于，過作于，如圖12所示，則，又=，又，則，則，則=18模型8：點到直線上的所有連線中，垂線段最短的問題模型如圖13，定點與定直線上各點的連線中，垂線段最短 例 如圖14-1，在中，點是上任意一點，連接，以、為鄰邊作，連接，則的最小值為 解：是以、為鄰邊作的平行四邊形，對角線與的交點點應平分與，而的長與位置是固定的，則點就是一個定點，又點是上任意一點，因此要最小，只要即可，如圖14-2所示，由勾股定理可得：，則，的最小值為練習： 2016年陜西中考副題第14題模型9:過圓內(nèi)一點，有最長（短）弦的問題模型

9、如圖15，在中，點是內(nèi)部異于圓心的一點，則過點所作的弦中，有最長弦直徑即過點、過圓心的弦；有最短弦即過點、且與垂直的弦例 如圖16，是的弦，點是上的一個動點，且.若點，分別是，的中點，則長的最大值是 . 解：由于點，分別是，的中點，則.要最大，則只要最大.由于是的弦，點是上的一個動點，當點運動時，就有可能過圓心，于是就變?yōu)閳A中最長的弦直徑了，如圖17所示. ，=6，最大為，則.練習：2014年陜西中考副題第16題2016年陜西中考副題第25題模型10：借三邊關系可求最值的問題模型如圖18，點為線段外一動點，且，（）.則的最大值為；的最小值為.例 如圖19，在中，是邊上的動點（不與點重合），將沿

10、所在的直線翻折，得到，連接，則長度的最小值為 解：在圖19中，由勾股定理得：；由折疊性質(zhì)知：在中，由三角形的三邊關系有：，、的長均為定值，要的長有最小值，只要有即點能落在上時，的長有最小值（這解決了求長度有最小值的可能性問題）另一方面：當所在的直線是的平分線時，將沿所在的直線翻折，得到，此時點恰好落在上即有（這解決了求長度有最小值的存在性問題），如圖20所示，長度的最小值是1練習：2014年陜西中考副題第23題2016年陜西中考副題第25題模型11:圓（內(nèi)）外一點到圓上一點的最值問題模型如圖21所示，點是的圓內(nèi)或圓外的任意一點，則過圓心點、點的直線與圓交于點，點，則線段的長就是點與圓上任意一點

11、連線的最大值；線段的長就是點與圓上任意一點連線的最小值.用幾何直觀性來分析：當過點的直線與過點直徑所在的直線所構成的夾角越小，則相對來說的長也就越大了.例 如圖22，在矩形中，點是邊的中點，點是射線上的一動點，將沿所在直線翻折得到，連接，則的最小值為 解：點是邊的中點，是沿所在直線翻折得到的，又點是射線上的一動點，點也隨著點的運動而變化，但點到定點的長是定值1，則點在以點為圓心，1為半徑的圓?。ㄔ诰匦蝺?nèi)）上，如圖23所示,從而把求的長轉化成求圓外一點到圓上一點的最短距離問題，如圖24所示，連接，則=，的最小值為練習： 2017年陜西中考第25題第問模型12:直角三角形中，三邊的函數(shù)關系問題模型

12、如圖25，中，當為定值時，對來說：當有最大（小）值時，則也有最大（?。┲?；反之，當有最大（小）值時，則也有最大（?。┲?；當為定值時，對來說：當有最大（?。┲禃r，則也有最?。ù螅┲道?如圖26，在邊長為3的正方形中，點、分別是邊、上的點，且，則的最小值為 .解：設（），則.四邊形是正方形，且，則，.由于為定值，在直角三角形中，要最小，則要最小即要最大即可.，又且，當時，有最大值，則最小為，由勾股定理可得：的最小值為.模型13:已知四邊形兩條對角線的長，求四邊形面積最大值的問題模型如圖27，四邊形中，已知、的長是確定的，要求四邊形面積的最大值，則.練習：如圖27-1，在中，點，在所在的平面內(nèi)，且，點在的上方，連接，.若，則四邊形面積的最大值為 .模型14:已知三角形兩邊之和為定值，且夾角確定，求三角形面積最大值的問題模型如圖28，已知中，點、分別是、上的兩動點，且.則有，當時，有最大面積為當時，最大面積為.練習：如圖28-1，在邊長為1的菱形中，點、分別為、上的動點，連接、.若，則面積的最大值為 .模型15:圓上一點到與圓相離直線的距離，有最值的問題模型如圖29，與直線相離，點是上的一個動點，設圓心到直線的距離為，的半徑為.則點到直線的最小距離為；最大距離為.例 如圖29-1，在矩形中，點是的中點，將繞著點逆時針旋轉，在旋轉的過程中點的對應點為點，連接、，則面積的最小