年高考數(shù)學(xué)(文)高頻考點(diǎn)揭秘與仿真測(cè)試 (三十六)

1、PAGE 第PAGE 頁(yè)碼12頁(yè)/總NUMPAGES 總頁(yè)數(shù)12頁(yè)Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.專題51 不等式 基本不等式1 【考點(diǎn)講解】一、具本目標(biāo)：基本不等式： .（1） 了解基本不等式的證明過(guò)程.（2） 會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題.考點(diǎn)剖析：利用基本不等式求函數(shù)的最值.備考重點(diǎn)：含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題.基本不等式是不等式中的重要內(nèi)容，也是歷年高考重點(diǎn)考查之一，它的應(yīng)用范圍幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，且?？汲Ｐ?，但是它在高考中卻不外乎大小判斷、求取值范圍以及最值等幾

2、方面的應(yīng)用二、知識(shí)概述：基本不等式1.如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.推論：（）.2.如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.推論： （，）；.【方法提示】1.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等2.基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對(duì)兩個(gè)正

3、數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過(guò)解不等式進(jìn)行求解注意：形如yxeq f(a,x)(a0)的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解 3.（1）在利用均值定理求最值時(shí)，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件“一正”是說(shuō)每個(gè)項(xiàng)都必須為正值，“二定”是說(shuō)各個(gè)項(xiàng)的和(或積)必須為定值“三相等”是說(shuō)各項(xiàng)的值相等時(shí)，等號(hào)成立（2)多次使用均值不等式解決同一問(wèn)題時(shí)，要保持每次等號(hào)成立條件的一致性和不等號(hào)方向的一致性4.利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的一般步驟為：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最

4、大值或最小值問(wèn)題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.4.利用均值不等式求最值要靈活運(yùn)用兩個(gè)公式，（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2） ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；首先要注意公式的使用范圍，其次還要注意等號(hào)成立的條件；另外有時(shí)也考查利用“等轉(zhuǎn)不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.常見題型：1.利用基本不等式證明：已知、都是正數(shù)，求證： 2.利用基本不等式求最值：（1）已知求函數(shù)的最小值；拼湊成兩正數(shù)之和,使其積為定值,運(yùn)用均值不等式可求出最小值.【解析】（1）由.,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),函數(shù)取得最小值.（2）已知,求函數(shù)的最大值.【解析】由得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),函數(shù)取得最大值.【真題

5、分析】1.【2017山東，文】若直線過(guò)點(diǎn)（1,2）,則2a+b的最小值為 .【解析】本題考點(diǎn)是基本不等式的具體應(yīng)用.由直線過(guò)點(diǎn)（1,2）可得,所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【答案】2.【2017天津，理12文13】若，則的最小值為_.【答案】3.【2019優(yōu)選題】若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是_【解析】本題考點(diǎn)是基本不等式的運(yùn)用.(1)方法一由x3y5xy可得eq f(1,5y)eq f(3,5x)1，3x4y(3x4y)(eq f(1,5y)eq f(3,5x)eq f(9,5)eq f(4,5)eq f(3x,5y)eq f(12y,5x)eq f(13,5)eq f(12

6、,5)5.當(dāng)且僅當(dāng)eq f(3x,5y)eq f(12y,5x)，即x1，yeq f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy得xeq f(3y,5y1)，x0，y0，yeq f(1,5)，3x4yeq f(9y,5y1)4yeq f(13yf(1,5)f(9,5)f(4,5)4y,5y1)4yeq f(13,5)eq f(9,5)eq f(f(1,5),yf(1,5)4(yeq f(1,5)eq f(13,5)2eq r(f(36,25)5，當(dāng)且僅當(dāng)yeq f(1,2)時(shí)等號(hào)成立，(3x4y)min5.【答案】54.【優(yōu)選題】已知x，y(0，)，2x3(eq f(1,

7、2)y，若eq f(1,x)eq f(m,y)(m0)的最小值為3，則m_.【答案】5.【2015高考四川，理9】如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【解析】本題考點(diǎn)是二次函數(shù)與基本不等式的綜合應(yīng)用.時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為.據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，拋物線的開口向上，根據(jù)題意可得即.由且得.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，據(jù)題意得，即.由且得，故應(yīng)舍去.要使得取得最大值，應(yīng)有.所以，所以最大值為18.選B.【答案】B6.【2016優(yōu)選題】已知直線axbyc10(b，c0)經(jīng)過(guò)圓x2y22y50的圓心，則eq f(4,b)eq f(1,c)的最小值是() A9 B8

8、 C4 D2【答案】A7.【2016優(yōu)選題】設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，其前n項(xiàng)和是Sn，若a1d1，則eq f(Sn8,an)的最小值是_【解析】本題考點(diǎn)是數(shù)列與基本不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題.因數(shù)數(shù)列an為等差數(shù)列，所以通項(xiàng)與和分別為：ana1(n1)dn，Sneq f(n1n,2)，eq f(Sn8,an)eq f(f(n1n,2)8,n)eq f(1,2)(neq f(16,n)1)eq f(1,2)(2eq r(nf(16,n)1)eq f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)n4時(shí)取等號(hào)eq f(Sn8,an)的最小值是eq f(9,2). 【答案】eq f(9,2)8.【2017優(yōu)選題】 若直線（）始終平

9、分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為 .【解析】本題考點(diǎn)是圓與基本不等式的綜合應(yīng)用.直線平分圓周，則直線過(guò)圓心，所以有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）.【答案】【2017優(yōu)選題】 若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【答案】10.已知x,y均為正數(shù),且xy,求證:. 【解析】本題考點(diǎn)是基本不等式的具體應(yīng)用，注意拚湊法的應(yīng)用.因?yàn)閤0,y0,xy0, = , 所以 【模擬考場(chǎng)】1.已知，且，則的最小值為( )A. 8 B. 9 C. 12 D. 16【答案】B2.設(shè)，若的最小值為（ ）A. B.8 C. D.【答案】D3. 已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是（ ）A B C D【解析】由已知得：，所以.注意

10、，因?yàn)?，所以不能取等?hào).選D.【答案】D4.下列函數(shù)中，最小值為2的是（ ）A. B. C. D. 【解析】當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由于無(wú)解，所以； ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以選D. 【答案】D5.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C6. 已知，則的最小值為 ( )A. 4 B. 8 C. 9 D. 6【解析】=,當(dāng)且僅當(dāng)成立時(shí)，等號(hào)成立，即。選B.【答案】B7.設(shè)，則的最小值為（ ）A. 4 B. 9 C. 7 D. 13【答案】B8.設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)eq f(xy,z)取得最大值時(shí)，eq

11、f(2,x)eq f(1,y)eq f(2,z)的最大值是()A0 B1 C.eq f(9,4) D3【解析】eq f(xy,z)eq f(xy,x23xy4y2)eq f(1,f(x,y)f(4y,x)3)eq f(1,43)1，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z2y2，eq f(2,x)eq f(1,y)eq f(2,z)eq f(1,y2)eq f(2,y)，當(dāng)且僅當(dāng)y1時(shí)等號(hào)成立，故所求的最大值為1.【答案】B9.若直線mx+ny+2=0（m0，n0）截得圓的弦長(zhǎng)為2，則 的最小值為（ ）A. 4 B. 6 C. 12 D. 16【解析】圓心坐標(biāo)為，半徑為1，又直線截圓得弦長(zhǎng)為2，所以直線過(guò)圓心，即， ，所