類型一 二次函數(shù)公共點(diǎn)問題【含答案】

1、類型一二次函數(shù)公共點(diǎn)問題【典例1】平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，頂點(diǎn)不在第一象限，線段上有一點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，（1）用含的式子表示；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求在時(shí)的取值范圍（用含的式子表示）（1）；（2）或；（3）當(dāng)時(shí)，有【分析】（1）把代入：，即可得到答案；（2）先求解拋物線的對(duì)稱軸，記對(duì)稱軸與的交點(diǎn)為，確定頂點(diǎn)的位置，分情況利用，求解，從而可得答案；（3）分情況討論，先求解的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解 結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案【詳解】解：（1）把代入：， （2） 拋物線為： 拋物線的對(duì)稱軸為：

2、 頂點(diǎn)不在第一象限，頂點(diǎn)在第四象限，如圖，設(shè) 記對(duì)稱軸與的交點(diǎn)為，則 ， 當(dāng)同理可得： 綜上：或（3） 當(dāng)，設(shè)為： 解得： 為 消去得： 由根與系數(shù)的關(guān)系得： 解得： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有 當(dāng)，同理可得為： 同理消去得： 解得： 此時(shí)，頂點(diǎn)在第一象限，舍去，綜上：當(dāng)時(shí)，有本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵【典例2】如圖1，拋物線y=ax2+bx+3（a0）與x軸交于A（-3，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D

3、（1）求解拋物線解析式；（2）連接AD，CD，BC，將OBC沿著x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左平移，得到，點(diǎn)O、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，設(shè)平移時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)停止移動(dòng)記與四邊形AOCD的重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與時(shí)間t的函數(shù)解析式；（3）如圖2，過拋物線上任意一點(diǎn)M（m，n）向直線l：作垂線，垂足為E，試問在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得ME-MF=？若存在，請(qǐng)求F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可；（2）分0t1、三種情況解答即可；（3）設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，t)、點(diǎn)M（m，n），則

4、有、進(jìn)而求得ME，然后分別通過線段的和差和勾股定理求得MF的長(zhǎng)，然后得到等式、化簡(jiǎn)、對(duì)比即可求得t即可【詳解】解：（1）將A（-3，0）和B（1，0）代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+3中，可得：，解得：拋物線解析式為y=-x2-2x+3；（2）y=-x2-2x+3= 拋物細(xì)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,4）A(-3,0)在直線AD上設(shè)拋物線解析式為y=kx+b則有 ，解得：直線AD的解析式為y=2x+6,當(dāng)在AD上時(shí)，令y=3，即3=2x+6，解得x=-如圖所示，當(dāng)0t1時(shí)，OC=OC=3,OB=OB=1,OB=1-tOC/OCOM,即，解得：OM=3(1-t)S= SOBC- SOMB= 當(dāng)時(shí)，完全

5、在四邊形AOCD內(nèi)，當(dāng)時(shí)，如圖所示，過G點(diǎn)作GH，設(shè)HG=x，GH/AB,HGK=KAO，直線AD的解析式為y=2x+6, , ,KO=2AOOC= CK+AOS=SOBC- SCGK= 綜上：；（3）假設(shè)存在，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，t)、點(diǎn)M（m，n）而=-，即本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的解析式、解直角三角形、勾股定理、分類討論思想和存在性問題，其中掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵【典例3】如圖，拋物線yx2+2x+c與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B，且OAOB，點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M，N為拋物線上兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的

6、左側(cè)），且到對(duì)稱軸的距離分別為3個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)M，N之間（含點(diǎn)M，N）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ的取值范圍【分析】（1）先求出點(diǎn)B，點(diǎn)A坐標(biāo)，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出點(diǎn)M，點(diǎn)N坐標(biāo)，即可求解解：（1）拋物線yx2+2x+c與y軸正半軸分別交于點(diǎn)B，點(diǎn)B（0，c），OAOBc，點(diǎn)A（c，0），0c2+2c+c，c3或0（舍去），拋物線解析式為：yx2+2x+3，yx2+2x+3（x1）2+4，頂點(diǎn)G為（1，4）；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，對(duì)稱軸為直線x1，點(diǎn)M，N為拋物線上兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且到對(duì)稱軸的距離分別為3個(gè)單位長(zhǎng)度

7、和5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或4，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為6，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，5）或（4，5），點(diǎn)N坐標(biāo)（6，21），點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)M，N之間（含點(diǎn)M，N）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，21yQ4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵【典例4】如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）為線段上任意一點(diǎn)，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)變換下，若（如圖）求證：當(dāng)點(diǎn)在（1）所求的

8、拋物線上時(shí)，求線段的長(zhǎng)（1）；（2）（，0）；（3）見解析；=或=【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C在拋物線上和已知對(duì)稱軸的條件可求出解析式；（2）根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)B及已知點(diǎn)C的坐標(biāo)，證明ABC是等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出直線EF與x軸的夾角為45，因此設(shè)直線EF的解析式為y=x+b，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），推出點(diǎn)F（m，6-m），直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式為0得到關(guān)于m的方程，解方程得點(diǎn)M的坐標(biāo)注意有兩種情況，均需討論（3）過點(diǎn)P作PGx軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EHx軸于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），由及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明EHMMGP，

9、得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m-1，5-m），再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式證明，注意分兩種情況，均需討論；把E（m-1，5-m）代入拋物線解析式，解出m的值，進(jìn)而求出CM的長(zhǎng)【詳解】（1）點(diǎn)在拋物線上，得到，又對(duì)稱軸，解得，二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如下圖：拋物線的解析式為，對(duì)稱軸為，點(diǎn)A（2，0），頂點(diǎn)B（2，4），AB=AC=4，ABC是等腰直角三角形，1=45；將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到MEF，F(xiàn)M=CM，2=1=45，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)F（m，6-m），又2=45，直線EF與x軸的夾角為45，設(shè)直線EF的解析式為y=x+b，把點(diǎn)F（m，6-m）代入得：6-m=m+b，解得：b=6-2

10、m，直線EF的解析式為y=x+6-2m，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，整理得：，=b2-4ac=0，解得m=，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如下圖：由圖可知，直線EF與x軸的夾角仍是45，因此直線與拋物線不可能只有一個(gè)交點(diǎn)綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）（3）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如下圖，過點(diǎn)P作PGx軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EHx軸于點(diǎn)H， ，由（2）知BCA=45，PG=GC=1，點(diǎn)G（5，0），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到MEF，EM=PM， HEM+EMH=GMP+EMH =90，HEM=GMP，在EHM和MGP中，EHMMGP（AAS），EH=MG=5-m，HM=PG=1，點(diǎn)H（m-1，0），點(diǎn)E