二輪復習之函數(shù)的連續(xù)及其應用(基礎篇)

1、二輪復習之函數(shù)的連續(xù)及其應用（基礎篇）適用學科適用區(qū)域高中數(shù)學人教版適用年級課時時長（分鐘）高三60知識點1、深刻理解函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)的概念;2、函數(shù)f(x)在點x0不連續(xù)，就是f(x)的圖像在點x=x0處是間斷的1、使學生深刻掌握函數(shù)連續(xù)性的概念和連續(xù)函數(shù)的概念；2.熟練連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)并能加以應用；教學目標2、知道所有初等函數(shù)都是在其定義域上的連續(xù)函數(shù)，并能加以證明；3、理解函數(shù)在某區(qū)間上一致連續(xù)的概念，并能清楚地認識到函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)與這一區(qū)間上一致連續(xù)的聯(lián)系與區(qū)別。教學重點教學難點本章重點是函數(shù)連續(xù)性的概念和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；是一致連續(xù)性的概念與有關(guān)證明教學過程一、高考解

2、讀函數(shù)的連續(xù)性是新增加的內(nèi)容之一它把高中的極限知識與大學知識緊密聯(lián)在一起在高考中，必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去，因而一定成為高考的又一個熱點本節(jié)內(nèi)容重點闡述這一塊知識的知識結(jié)構(gòu)體系二、復習預習我們前面學習了數(shù)列極限和函數(shù)極限、數(shù)列可以看成是一種特殊的函數(shù)，不同的是函數(shù)的定義域往往是連續(xù)的.而數(shù)列的定義域是自然數(shù)集，是一個一個離散的點.而在我們?nèi)粘Ｉ钪?，也會碰到這種情況.比如溫度計的水銀柱高度會隨著溫度的改變而連續(xù)地上升或下降，這是一種連續(xù)變化的情況；再比如郵寄信件的郵費，隨郵件質(zhì)量的增加而作階梯式的增加(打個比方：20克以內(nèi)是8毛錢郵票，21克30克是1元，31克40克是1.2元)等等.

3、這就要求我們?nèi)パ芯亢瘮?shù)的連續(xù)與不連續(xù)問題三、知識講解考點1深刻理解函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)的概念等式limf(x)=f(x0)的涵義是xx0(1)f(x0)在x=x0處有定義，即f(x0)存在；(2)limf(x)存在，這里隱含著f(x)在點x=x0附近有定義；xx0(3)f(x)在點x0處的極限值等于這一點的函數(shù)值，即limf(x)=f(x0)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，反映在圖像上是f(x)的圖像xx0在點x=x0處是不間斷的考點21、函數(shù)f(x)在點x0不連續(xù)，就是f(x)的圖像在點x=x0處是間斷的其情形(1)limf(x)存在；f(x0)存在，但limf(x)f(x0);xx0 xx0

4、(2)limf(x)存在，但f(x0)不存在(3)limf(x)不存在xx0 xx02、由連續(xù)函數(shù)的定義，可以得到計算函數(shù)極限的一種方法如果函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，點x0是定義區(qū)間內(nèi)的一點，那么求xx0時函數(shù)f(x)的極限，只要求出f(x)在點x0處的函數(shù)值f(x0)就可以了，即limf(x)=f(x0)xx0四、例題精析例題1若f(x)=1x1在點x=0處連續(xù)，則f(0)等于()31x1A32B23C1D0【規(guī)范解答】解析f(x)(1x1)(1x1)3(1x)31x12(1x1)3(1x)231x13x11(31x)231x11x11113f(0)112答案A【總結(jié)與思考】函數(shù)連

5、續(xù)性的定義的考查問題例題2limx2ln(2x)=_x14arctanx【規(guī)范解答】解析利用函數(shù)的連續(xù)性，即limf(x)f(x),0 xx0 x2sin(2x)12sin(21)1limx14arctan14arctan1答案1【總結(jié)與思考】函數(shù)連續(xù)性與極限的綜合考察問題例題3已知函數(shù)f(x)=x24,x2(1)求f(x)的定義域，并作出函數(shù)的圖像；(2)求f(x)的不連續(xù)點x0;(3)對f(x)補充定義，使其是R上的連續(xù)函數(shù)【規(guī)范解答】解(1)當x+20時，有x2因此，函數(shù)的定義域是(,2)(2,+)當x2時，f(x)=x24=x2,x2其圖像如上圖(2)由定義域知，函數(shù)f(x)的不連續(xù)點

6、是x0=2(3)因為當x2時，f(x)=x2,所以limf(x)lim(x2)=4x2x2x24因此，將f(x)的表達式改寫為f(x)=x2(x2)4(x2)則函數(shù)f(x)在R上是連續(xù)函數(shù)【總結(jié)與思考】函數(shù)的連續(xù)性，尤其是在某定點處的連續(xù)性在函數(shù)圖像上有最直觀的反映因而畫函數(shù)圖像去直觀反映題目中的連續(xù)性問題也就成為一種最重要的方法對分式化簡變形，注意等價性，觀察圖像進行解答11x例題4已知f(x)=x(x0)abx(x0)(1)求f(x);(2)求常數(shù)a的值，使f(x)在區(qū)間(,+)內(nèi)處處連續(xù)1x1【規(guī)范解答】解(1)f(x)=x(x0)abx(x0)(2)要使f(x)在(,+)內(nèi)處處連續(xù)，只

7、要f(x)在x=0連續(xù)，x0 x(11x)x011xlimf(x)=limx0 x011x=xx11limlim2limf(x)=lim(a+bx)=a,x0 x02因為要f(x)在x=0處連續(xù)，只要limf(x)=limf(x)=limf(x)=f(0),所以a=1x0 x0 x0【總結(jié)與思考】對分式化簡變形，注意等價性例題5求證方程x=asinx+b(a0,b0)至少有一個正根，且它不大于a+b【規(guī)范解答】證明設f(x)=asinx+bx,則f(0)=b0,f(a+b)=asin(a+b)+b(a+b)=asin(a+b)10,又f(x)在(0,a+b內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，所以存在一個x0(0,a

8、+b，使f(x0)=0,即x0是方程f(x)=0的根，也就是方程x=asinx+b的根因此，方程x=asinx+b至少存在一個正根，且它不大于a+b【總結(jié)與思考】要判定方程f(x)=0是否有實根即判定對應的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的圖像是否與x軸有交點，因此根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，只要找到圖像上的兩點，滿足一點在x軸上方，另一點在x軸下方即可本題主要考查這種解題方法解答本題的閃光點要找到合適的兩點，使函數(shù)值其一為負，另一為正課程小結(jié)1深刻理解函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)的概念等式limf(x)=f(x0)的涵義是xx0(1)f(x0)在x=x0處有定義，即f(x0)存在；(2)limf(x)存在，這里隱含著f(x)在點x=x0附近有定義；xx0(3)f(x)在點x0處的極限值等于這一點的函數(shù)值，即limf(x)=f(x0)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，反映在圖像上是f(x)的圖像xx0在點x=x0處是不間斷的2函數(shù)f(x)在點x0不連續(xù)，就是f(x)的圖像在點x=x0處是間斷的其情形(1)limf(x)存在；f(x0)存在，但limf(x)f(x0);xx0 xx0(2)limf(x)存在，但f(x0)不存在(3