QR分解及其應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)矩陣分析與應(yīng)用專題報(bào)告QR分解及應(yīng)用學(xué)生姓名：盧楠、胡河群、朱浩2015年11月25日目錄 TOC o 1-3 h z u 1 引言 矩陣分解是指將一個(gè)矩陣表示為結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單或具有特殊性質(zhì)的若干矩陣之積或之和，大體上可以分為滿秩分解、QR分解和奇異值分解。矩陣分解在矩陣分析中占有很重要的地位，常用來(lái)解決各種復(fù)雜的問(wèn)題。而QR分解是工程中應(yīng)用最為廣泛的一類矩陣分解。QR分解是目前求一般矩陣全部特征值的最有效并廣泛應(yīng)用的方法，一般矩陣先經(jīng)過(guò)正交相似變換成為Hessenberg矩

2、陣，然后再應(yīng)用QR分解求特征值和特征向量。它是將矩陣分解成一個(gè)正交矩陣Q與上三角矩陣R，所以稱為QR分解。 參數(shù)估計(jì)是在已知系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)時(shí)，用系統(tǒng)的輸入與輸出數(shù)據(jù)計(jì)算系統(tǒng)模型參數(shù)的過(guò)程。它在系統(tǒng)辨識(shí)和無(wú)線通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。18世紀(jì)末德國(guó)數(shù)學(xué)家C.F.高斯首先提出參數(shù)估計(jì)的方法，他用最小二乘法計(jì)算天體運(yùn)行的軌道。20世紀(jì)60年代，隨著電子計(jì)算機(jī)的普及，參數(shù)估計(jì)有了迅猛的發(fā)展。參數(shù)估計(jì)有很多方法，如矩估計(jì)、極大似然法、一致最小方差無(wú)偏估計(jì)、最小風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)、同變估計(jì)、最小二乘法、貝葉斯估計(jì)、極小極大熵法等。其中最基本的是最小二乘法和極大似然法。 本文將重點(diǎn)介紹QR分解及其在參數(shù)估計(jì)和通信系統(tǒng)中的

3、應(yīng)用。 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter (Next) Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap h * MERGEFORMAT MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 2 Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 2 h * M

4、ERGEFORMAT 2 QR分解2.1QR分解的性質(zhì)定理2.1.1（QR分解）若，且，則存在列正交矩陣 和上三角矩陣 使得 。當(dāng)時(shí)，是正交矩陣。如果 是非奇異的 矩陣，則 的所有對(duì)角線元素均為正，并且在這種情況下 和 二者是唯一的。若 是復(fù)矩陣，則 和 取復(fù)值。 注意到 ,因此可以得出結(jié)論： 是 的下三角 因子。由于這個(gè)原因，在關(guān)于估計(jì)的文獻(xiàn)中，矩陣 常稱為平方根濾波器（算子）。 下面的引理稱為矩陣分解引理，它在矩陣的QR分解的應(yīng)用中是一個(gè)很有結(jié)果。 引理2.2.1 若 和 是任意兩個(gè) 矩陣，則 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h

5、 * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè) 酉矩陣 ，使得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn

6、c * Arabic * MERGEFORMAT 2) 證明 充分性證明：若 ，并且 是酉矩陣，則 。 必要性證明：令 和 的奇異值分解分別為 式中， 和 均為 酉矩陣； 和 都是 酉矩陣；而 矩陣 和 分別包含了矩陣 和 的非負(fù)奇異值。由于 若 ,則有 和 。定義矩陣 易知 這就證明了引理的必要條件 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 10。 2. MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section (Next) SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec h * MERGEFORMAT 2

7、 QR分解算法2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解矩陣 的QR分解可以利用Gram-Schmidt正交化方法實(shí)現(xiàn)。Gram-Schmidt正交化方法原本是一種由n個(gè)向量 構(gòu)造互相正交且范數(shù)為1的向量 的方法。將向量 標(biāo)準(zhǔn)正交化的結(jié)果取作 ，即 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MER

8、GEFORMAT 1)然后，從 中除去與 平行的向量，再進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化，并將結(jié)果取作 ，則有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)進(jìn)而，又從 除去與 和 平行的兩個(gè)分量，再進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化，并使用該結(jié)果作 ，即有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFOR

9、MAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)如此繼續(xù)，則對(duì)于 有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. S

10、EQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)容易驗(yàn)證， 是標(biāo)準(zhǔn)正交基，即滿足 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)其中， 為Kronecker 函數(shù)。如果令 矩陣 的列向量 ，則以 為列向量的矩陣 與 之間有下列關(guān)系： MACROBUTTON MTP

11、laceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)又由于 組成標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以 將 與 重寫在同一矩陣，應(yīng)用以上Gram-Schmidt正交化的方法叫做經(jīng)典Gram-Schmidt正交化法 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 6。2.2.2 Householder QR分解Householder變換可以

12、實(shí)現(xiàn)任意 矩陣 的QR分解，其原理是使用變維向量的Householder變換，使得該向量除第一個(gè)元素外，其他元素皆為0。根據(jù)Householder變換的相關(guān)知識(shí)，欲使一個(gè) 維向量 的第1個(gè)元素后面的所有元素變?yōu)?，則 維的Householder向量應(yīng)取 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFOR

13、MAT 7)式中 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 8) 假定 矩陣 的列分塊形式為 首先令 ，并取 ，則按照式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (2.2.7)和式

14、 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (2.2.8)，可以計(jì)算得到 。此時(shí)， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 9)變換后，矩陣 的第1列 的第一個(gè)元素等于 ，而該列的

15、其他元素全部為0。 第二步針對(duì)矩陣 的第2列 ，令 和 又可按照式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (2.2.7)和式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (2.2.8)求出（m-1）維向量 。此時(shí)，取 ，又可得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c

16、* Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 10)變換后，矩陣 的第1列與 的第1列相同，而第2列 的第一個(gè)元素等于 ，第二個(gè)元素等于 ，而該列的其他元素全部為0。 類似地，又可針對(duì)矩陣 的第3列設(shè)計(jì)Householder變換矩陣 ，使得 的第一、二個(gè)元素保持不變，其他元素組成的m-2維向量 變換為除第一個(gè)元素外的全部元素變?yōu)?。 假定矩陣 經(jīng)過(guò)k-1次Householder變換后，已變成 ，即 并且其前k-1列具有以下變換結(jié)果: 因此，第k

17、次Householder變換的目的就是保持前k-1列不變，實(shí)現(xiàn) 列第k列的下述變換： 這相當(dāng)于對(duì)矩陣 進(jìn)行Householder變換 時(shí)取 n次Householder變換后，即可實(shí)現(xiàn)QR分解。2.2.3 采用Givens旋轉(zhuǎn)的QR分解 Givens旋轉(zhuǎn)也可以用來(lái)計(jì)算QR分解。這里以 矩陣為例，說(shuō)明Givens QR分解的思想： 其中， 表示用Givens旋轉(zhuǎn)進(jìn)行變化你的元素。 從上述說(shuō)明中易得出結(jié)論：如果令 代表約化過(guò)程中的第j次Givens旋轉(zhuǎn)，則 是上三角矩陣，其中 ，而t是總的旋轉(zhuǎn)次數(shù)。3 QR分解在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用 MACROBUTTON MTEditEquationSection2

18、Equation Chapter (Next) Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap h * MERGEFORMAT 31 基于 分解的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題現(xiàn)在以系統(tǒng)辨識(shí)為例，說(shuō)明如何利用矩陣的 分解進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的遞推估計(jì)。令系統(tǒng)在 時(shí)刻的輸入為 ，系統(tǒng)輸出的觀測(cè)值由卷積方程 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. S

19、EQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)給出，其中， 表示離散卷積， 代表 時(shí)刻的觀測(cè)誤差，且 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)若將 的所有觀測(cè)數(shù)據(jù)組成一向量，則 M

20、ACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)式中， ， ， 。系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題的提法是：已知系統(tǒng)輸入 和輸出觀測(cè)值 ，其中， ，估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)向量 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 7。在時(shí)變系統(tǒng)的辨識(shí)中，則要求在已估計(jì) 時(shí)刻的系統(tǒng)參數(shù)向量 的情況下，使用增加的 值，通過(guò)簡(jiǎn)

21、單的運(yùn)算，遞推出 時(shí)刻的系統(tǒng)參數(shù)向量 。 時(shí)刻的系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為最小二乘問(wèn)題 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)求解，并且其解由“法方程” MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (

22、SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)確定。式中， 代表系統(tǒng)輸入 的協(xié)方差矩陣， 。 直接求解式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.5)的方法叫做協(xié)方差方法。例如，先計(jì)算協(xié)方差矩陣 的 分解 ,然后利用回帶法解三角矩陣 直接得到 。然而，由于 的條件數(shù)是 的條件數(shù)的平方，因此，直接計(jì)算

23、式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.5)的得到的解有可能是嚴(yán)重病態(tài)的（即條件數(shù)很大），即使 本身的條件數(shù)并不大，不是嚴(yán)重病態(tài)的。 在系統(tǒng)參數(shù)向量 的自適應(yīng)遞推辨識(shí)中，標(biāo)準(zhǔn)的遞推最小二乘 法和 分解法都是針對(duì)協(xié)方差矩陣 進(jìn)行更新的。雖然 分解（其中， 為上三角矩陣， 為對(duì)角矩陣）在數(shù)值上比較穩(wěn)定，但是這些遞推辨識(shí)方法也同樣存在條件數(shù)變大的毛病。相比之下， 的 分解可以保持原問(wèn)題的條件數(shù)不變。不妨令 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT

24、SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)式中， 是 正交矩陣， 是 上三角矩陣，而 為 維零矩陣。由于正交變換可以保持被變換向量的 長(zhǎng)度或范數(shù)不變，所以式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.4)的最小二乘問(wèn)題可等價(jià)寫作 MACROB

25、UTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 7)或 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic

26、* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 8)式中 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 9)且 為 向量， 為 向量，它們可以從 直接分塊得到。 一旦獲得了 ，即可由 得到 。解此方程需要 次計(jì)算，并且最小殘差值等于 。

27、 假定增加了兩個(gè)已知數(shù)值 和 ，我們來(lái)討論如何更新系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)，即使用已估計(jì)的參數(shù)向量 和簡(jiǎn)單的運(yùn)算，得到 時(shí)刻的新估計(jì) 。為了減少過(guò)去數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，對(duì)數(shù)據(jù) 和 采取指數(shù)加權(quán)，即 時(shí)刻的數(shù)據(jù)矩陣和觀測(cè)數(shù)據(jù)向量分別取作 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 10)式中，

28、稱為遺忘因子，且 。于是，可以寫出式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.4)在 時(shí)刻的形式為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 11)乍一看，上式似乎沒(méi)有什

29、么特別吸引人之處，其實(shí)不然。這是因?yàn)?，如同下面的引理所述，?GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.11)的極小化變量等價(jià)為下述式的極小化變量，而后者非常適合于遞推更新。引理3.1.2r若 ， ，其中， 是正交矩陣， 是上三角矩陣，則式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.11)的極小化變量等同于下式的極小化變量： MACROBUTTON MTPlaceR

30、ef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 12)證明見(jiàn)。如果將式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.12)的極小化變量記作 ，則以上討論可總結(jié)為 的自適應(yīng)遞推估計(jì)算法如下。算法1（系統(tǒng)參數(shù)的自適應(yīng)估計(jì)算法

31、）步驟1 對(duì)矩陣 進(jìn)行 分解，得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 13)式中， 是 正交矩陣， 為 上三角矩陣，且 是 零矩陣。步驟二 進(jìn)行分塊運(yùn)算 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (

32、 SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 14)其中， 為 向量， 為 向量。步驟三 切結(jié)三角矩陣方程 得到 。3. MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section (Next) SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec h * MERGEFORMAT 2基于 變換的快速時(shí)變參數(shù)估計(jì)考察 矩陣 的 分解，即 MACROBUT

33、TON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)顯然，只需要進(jìn)行 次 變換即可。換言之，為了得到上述 分解，應(yīng)該選擇 為 個(gè) 變換矩陣之積，即 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * A

34、rabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)式中 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)是對(duì)矩陣 第 列向量 進(jìn)行的 變換矩陣，

35、其參數(shù)選擇方法為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)其中 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ M

36、TSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)并且 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)遞推的 分解算法如下：基于 分解的自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)算法一般由兩個(gè)分開(kāi)的過(guò)程組成：（1）遞推更新 分

37、解 中的上三角矩陣 ；（2）用回代法求解三角矩陣方程。由于直接的回代需要 次運(yùn)算（ 為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度）。因此，即便 變換再快速，整個(gè)自適應(yīng)算法也至少需要 次運(yùn)算。文獻(xiàn)將上述快速 分解算法和求解三角矩陣方程的回代法綜合起來(lái)考慮，提出了只具有 復(fù)雜度的快速自適應(yīng)算法。3. MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section (Next) SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec h * MERGEFORMAT 3基于 旋轉(zhuǎn)的時(shí)變參數(shù)估計(jì)現(xiàn)在考慮另外一種遞推方法，遞推求解 的變化量 ，而不是直接遞推求 本身。換句話說(shuō)，令

38、 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)問(wèn)題是如何更新 。假定正交矩陣 為已知，它滿足 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFO

39、RMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)由式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.11)，式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.1)和式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum

40、* Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.2)易知， 是下式的極小化變量： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)此式又可化簡(jiǎn)為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT

41、 ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)式中， 。因此， 可以從三角矩陣方程 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic *

42、 MERGEFORMAT 5)解出，其中， 滿足 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)為了求出滿足式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.2)的 ，可以使用

43、 平面旋轉(zhuǎn)進(jìn)行清零，將式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.2)中的行向量 的全部元素變成零。由于 必須左乘式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.6)，所以對(duì)增廣的矩陣 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * ME

44、RGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 7)執(zhí)行所需要的清零。綜合以上分析，在每一步遞推更新中需要的步驟如下 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 5：（1）計(jì)算預(yù)測(cè)誤差 ；（2）形成式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.7)中的 矩陣；（3）利用一系列 旋轉(zhuǎn)將上述矩陣最底一行的左邊 個(gè)元素掃除為零；（4）解上三角矩陣方程 G

45、OTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.5)得到 。利用 旋轉(zhuǎn)求解方程 的遞推最小二乘算法的程序見(jiàn)文獻(xiàn)。該算法中，同時(shí)對(duì)矩陣 和向量 應(yīng)用旋轉(zhuǎn)，因此無(wú)需存儲(chǔ)正交矩陣 。4 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter (Next) Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap h * MERGEFORMAT QR

46、分解在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用4.1 基于QR分解的穩(wěn)健干擾對(duì)齊算法 考慮K用戶MIMO干擾信道，每個(gè)發(fā)送端的天線數(shù)為 ，每個(gè)接收端的天線數(shù)為 ，每個(gè)用戶對(duì)應(yīng)的自由度為 ，此處的自由度代表每個(gè)用戶能使用的獨(dú)立數(shù)據(jù)流個(gè)數(shù)。為了讓系統(tǒng)自由度達(dá)到最大值，即 ，那么每個(gè)發(fā)送端所提供的信號(hào)空間的維數(shù)應(yīng)該相等，故此處不妨設(shè) ，并假設(shè)在同一時(shí)刻同一頻率上的各個(gè)發(fā)送接收對(duì)之間的信道是平坦衰落的，且信道系數(shù)獨(dú)立同分布。在一個(gè)特定的時(shí)頻資源上，接收端 的接收信號(hào)可以表示為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap

47、 c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)其中維數(shù)為 的 和 分別是發(fā)送端 和 到接收端 的信道矩陣。 和 分別是發(fā)送端 和 對(duì)應(yīng)接收端 和 的預(yù)編碼矩陣，且滿足 ， 。維數(shù)為 的 是接收端 的下行數(shù)據(jù)矢量信號(hào)，且滿足功率約束 。維數(shù)為 的 是均值為0，方差為1的加性高斯白噪聲噪聲，且 。 干擾對(duì)齊往往要求完美的 ，但在實(shí)際通信系統(tǒng)中，發(fā)送端得到 常常是有誤差的。為了構(gòu)建穩(wěn)健的干擾對(duì)齊算法，此處引入信道誤差變量 ， 表示真實(shí)的信道

48、矩陣， 表示具有誤差的信道矩陣，并且假設(shè)的元素服從均值為0，方差為 的循環(huán)對(duì)稱復(fù)高斯分布（GSCG），即滿足 。故式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.1.1)變?yōu)?MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * A

49、rabic * MERGEFORMAT 2)此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的聯(lián)合接收信號(hào)可以表示為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)對(duì)得到的誤差聯(lián)合信道矩陣 進(jìn)行QR分解有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFOR

50、MAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)其中，Q是維數(shù)為 的酉矩陣，R是維數(shù)為 的上三角矩陣。因?yàn)镼是酉矩陣，根據(jù)矩陣?yán)碚摽芍猂和 有相同的統(tǒng)計(jì)特性，所以定義R為系統(tǒng)的誤差等效聯(lián)合信道矩陣。 根據(jù)式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.1.4)，式 GOTOBUTTON ZEqnN

51、um * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.1.3)可以改寫為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)這是考慮聯(lián)合接收，對(duì)式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF Z

52、EqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.1.5)的聯(lián)合信號(hào)接收信號(hào)進(jìn)行左乘 的預(yù)處理，得到如下的聯(lián)合接收信號(hào)： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6) 因?yàn)?是酉矩陣，于是 和 有相同的統(tǒng)計(jì)特性，同理 和 有相同的統(tǒng)計(jì)特性。通過(guò)式 GOTOB

53、UTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.1.6)，在接收端 經(jīng)過(guò)干擾抑制矩陣 處理后，接收端 的接收信號(hào)為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 7) 通過(guò)穩(wěn)健干擾對(duì)齊算法得到最優(yōu)

54、干擾對(duì)齊矩陣 和 ，具體算法流程總結(jié)為 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 8：初始化 ，這里可以隨機(jī)選擇均值為0，方差為1的矩陣 。計(jì)算出，并且單位化 計(jì)算出，并且單位化 重復(fù)步驟（2）和（3），直到收斂。4. MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section (Next) SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec h * MERGEFORMAT 2基于 分解的 置信傳播檢測(cè)器在一個(gè) 個(gè)發(fā)射天線和 個(gè)接收天線的 系統(tǒng)中， 是 傳輸信號(hào)向量。系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以寫為 MACROBUTTO

55、N MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)其中， 是 接收信號(hào)向量， 是 噪聲向量， 的元素是零均值、方差 的獨(dú)立同分布（i.i.d）復(fù)高斯隨機(jī)變量。 是 的 信道矩陣， 。由 分解， 信道矩陣 可以寫為 ,其中 是 酉矩陣， 是 非零矩陣， 是 上三角矩陣 MACROBUTTON MTPlaceRef

56、 * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)由于 , 是非零矩陣， 。式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.2.1)可以寫為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ M

57、TEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)這樣， 相比于由 得出的全連接的偶圖就是一個(gè)包含更少的邊數(shù)和環(huán)數(shù)的的偶圖。如下圖所示。圖中， , 。在第一次迭代前，全部 初始化為0，其中 且 。在第 次迭代時(shí)，每一個(gè) 可以由最大對(duì)數(shù)近似得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)其中， 和 是 中的第 比特和第 比特對(duì)應(yīng)的 中的第 比特和第 比特， 表示第 次迭代時(shí)第 節(jié)點(diǎn)發(fā)出、第 節(jié)點(diǎn)檢測(cè)的消息。計(jì)算出 后，有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * M