趨勢曲線模型預(yù)測

1、趨勢曲線模型預(yù)測1第一節(jié) 多次式曲線模型預(yù)測法 第三章所談及的回歸分析，是在已知統(tǒng)計資料基礎(chǔ)上，利用線性或非線性回歸技術(shù)進(jìn)行模擬，利用趨勢外推進(jìn)行預(yù)測，而模型的項數(shù)均為常數(shù)項加一次項或非線性構(gòu)成。事實上，若采用多項式進(jìn)行模擬，也是一種行之有效的方法。 2一正規(guī)方程組 所謂多項式回歸，就是已知統(tǒng)計資料給出，當(dāng)預(yù)測變量y與自變量x可用一個多項式進(jìn)行模擬時，利用一元非線性回歸技術(shù)，來作出模擬并用于預(yù)測。 設(shè)實際值為（xi,yi）,為方便多項式次數(shù)測定，數(shù)據(jù)選取xixi1 = x = C，模型模擬值為(xi, ) 就有 = f(x) = a0 + a1x + a2x + amx. 顯然，這是一個m次多

2、項式，同時假定已知數(shù)據(jù)為n組：(xi,yi) i = 1,2,n. 2m3假定y與x是相關(guān)的，對應(yīng)任意的yi，都有yi 且ei = yi 由回歸分析，最佳擬合為 Q = ei2 = Q min 利用最小二乘法，對系數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，有 (Q/ak) = 0 2ei(ei)ak = 0 其中 k = 0,1,2,3,m 因為ei = yiyi = yi a0 a1x akxikamxim 所以有：(yi a0 a1x1-amxim)(-xik)= 0 得 yi xik =a0 xik +a1 xi(k+1)+amxik+m4令 5可建立m+1個方程組成的正規(guī)方程組： s0a0+s1a1+smam =

3、u0 (k = 0) s1a0+s2a1+sm+1am = u1 (k = 1) : : : : sma0+sm+1a1+.+s2mam = um (k = m)記為矩陣式： s0 s1 s2 sm a0 u0 s1 s2 s3 sm+1 a1 u2 sm sm+1 s0 s2m am um 記為S 記為 A 記為 U 則：U = SA A = S(-1) U = 1/|S| S*U有唯一解，故a0,a1,am可唯一求出，于是預(yù)測方程可以求得。 2004/11/1=6 二、案例 某地1972-1979工業(yè)產(chǎn)值統(tǒng)計資料如表，企業(yè)多項式模型，并預(yù)測1980、1981年工業(yè)產(chǎn)值年 1972 1973

4、 1974 1975 1976 1977 1978 1979序號 1 2 3 4 5 6 7 8產(chǎn)值 7.54 8.76 8.23 9.92 10.65 11.65 12.56 13.78解：（1）描點，觀察，做趨勢圖。由圖所示，用二次曲線描述合理。即預(yù)測模型可取為 y = a0+a1x+a2x27（2）由正規(guī)方程組U = SA，求A = S(-1) U Sk =Xik i = 1,2,8. K = 0,1,2,3,4. S0 = xi =8; S1 = xi =36; S2 = xi =204; S3 = xi =1296; S4 = xi =8772 8 36 204 S = 36 204

5、 1296 204 1296 8772012348 8 36 204 -1 83.09A = S(-1)U = 36 204 1296 410.74 204 1296 8772 2458.38 1.9464 -0.9013 0.0893 83.09 = -0.9107 0.5100 -0.0536 410.74 0.0893 -0.0536 0.006 2458.38 7.1602 = 0.4447 0.0480 故 預(yù)測模型 y = 7.1602 + 0.4447x + 0.0480 x2 9 1980:x = 9 y9 = 7.1602 + 0.44479 + 0.048092 = 15.

6、0505 1981:x = 10: y10 = 7.1602 + 0.444710 + 0.0480102 = 16.4072 絕對誤差 相對誤差與實際值比較:1980年為14.77 0。2809 1。9% 1981年為15.64 0。7672 -4。9%10 三、 擬合多項式的次數(shù)確定 1、作圖法 利用實際數(shù)據(jù)，選擇合適坐標(biāo)，采用圖上打點， 觀察打點曲線，并選擇一條比較合用的多項式趨勢線。 若趨勢線出現(xiàn)拐點： 由拐點定義，若出現(xiàn)一個拐點，至少應(yīng)用3次多項式擬合； 若出現(xiàn)k個拐點，至少應(yīng)用k+2次多項式擬合。 112.差分判斷法 差分定義：當(dāng)自變量呈等距分布時，即 xi = xi-1 + x

7、則 yi = yi yi-1 =f(xi)- f(xi-1) 稱為當(dāng) x 從xi-1變到xi時,yi 的一階差分。 所有更高階的差分由進(jìn)一步的差分得到: 二階差分 2yi =(yi ) =(yi yi-1) =yi - yi-1 = (yi yi-1) - (yi-1 yi-2 ) = yi -2 yi-1 + yi-2 12可類推至 yi 的k階差分 k yi =(k-1 yi ) = =差分對多項式判斷中的應(yīng)用例：含線性趨勢確定性時間序列數(shù)據(jù)（yt=2t) t 0 1 2 3 4 5 yt 0 2 4 6 8 10一階差分 2 2 2 2 2 二階差分 0 0 0 0 13 例:二次曲線

8、y = ax2 + bx + c x 0 1 2 3 4 5 yt c a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c 16a+4b+c 25a+5b+c一 階差分 a+b 3a+b 5a+b 7a+b 9a+b二階差分 2a 2a 2a 2a三階差分 0 0 0 由此可得出判據(jù) 若一批自變量為等距分布的數(shù)據(jù)，經(jīng) n次差分之后，形成常數(shù)或差分后在某一定值上下波動，則可用n次多項式擬合此批數(shù)據(jù)變動趨勢。 3. 在利用數(shù)據(jù)確定曲線時，要排除偶然發(fā)生的那一類數(shù)據(jù)。14第二節(jié) 成長曲線預(yù)測模型 一. Gompertz曲線 成長曲線主要應(yīng)用兩個原則：相似性原則與延續(xù)性原則 決定過去技術(shù)發(fā)展的因素，很大程度的

9、也將決定未來的發(fā)展，條件是不變的或變化不大的； 發(fā)展過程屬于漸進(jìn)的，影響過程的規(guī)律不發(fā)生突變； 增長曲線即生命周期與生物生長過程相似 孕育出生成長成熟老化死亡 發(fā)明定型推廣成熟老化淘汰 15 1.經(jīng)驗公式 ,有三個系數(shù)K，a, b(雙層指數(shù))取常用對數(shù)lg yt =lgK + bt lg a 2.參數(shù)k,a,b的確定（三和法） 假定有若干原始數(shù)據(jù)，取t = 1,t = 1,2,3,.3n且滿足 即：lg yt =lgK + bt lg a 16排列成表如下 t 1 2 3 n lg yt lg y1 lg y2 lg y3 lg yn n+1 n+2 n+3 2n lg yn+1 lg yn+

10、2 lg yn+3 lg y2n 2n+1 2n+2 2n+3 3n lg y2n+1 lg y2n+2 lg y2n+3 lg y3n 共有3n個數(shù)據(jù)，平均分為3組，第一組第二組第三組17第一組：求和： = nlg K + ( b1 + b2 + bn )lg a 第二組：求和： lg yt = nlg K + ( bn+1 + bn+2 + b2n )lg a 第三組：求和: lg yt = nlg K+( b2n+1 + b2n+2 + b3n )lg a -: lg yt- lg yt = bn (b+ b1 + b2 + bn )( bn - 1)lg a 4-: lg yt- lg

11、 yt = (b+ b1 + b2 + bn )( bn - 1)lg a 183.例：某廠產(chǎn)品銷售總額歷史數(shù)據(jù)：（萬元） 年份(t) 1968 1969 1970 1971 1972 1973 yt 407 418 432 447 463 485log yt 2.61 2.62 2.64 2.65 2.67 2.69年份(t) 1974 1975 1976 1977 1978 1979 yt 508 535 566 602 644 694 log yt 2.71 2.73 2.75 2.78 2.81 2.84 年份(t) 1980 1981 1982 1983 1984 1985 yt 7

12、34 826 912 1018 1148 1311log yt 2.88 2.92 2.96 3.01 3.06 3.1219上述數(shù)據(jù)的模型識別，一般采用作圖法或計算機(jī)模擬。由上述公式，可求出K = 305, a= 1.3; b = 1.1 yt = 預(yù)測1988年銷售額： t = 21, y = = 2125.7(萬元) 204.關(guān)于Gompert曲線的討論 . a 1a) 0 b 1 t0, yt Ka t , yt t- yt K細(xì)胞分裂核爆后繼無抑制上升t0, yt Ka t , yt t+ yt K21動植物生命衰減 . a 1a) 0 b 1t- yt 0t+ yt Kt0 yt

13、Ka22 以上“K”稱為最大步長值，或飽和點值如 ：家電生產(chǎn)及銷售，農(nóng)田畝產(chǎn)，機(jī)器工作效率等，耐用消費(fèi)品 Gompert曲線是雙層指數(shù)，又稱雙指數(shù)模型。23 二.Logistic曲線 該曲線為美國生物學(xué)家，人口統(tǒng)計學(xué)家 R.Pearl 博士通過利用微分方程表示生物生長速度，求解得到的公式，為Logistic增長曲線。 1.數(shù)學(xué)模型 微分方程形式為：dy/dt =k y(K - y) 其中k, Ko 常數(shù) 且0 yk, 為可分離變量一階微分方程。 解出為 yt = K/1+a e(-bt) 其中 a = e-ck （C為積分常數(shù)） b = kK 書中公式為 是變形的一種。(1/2005/4/04

14、)24當(dāng) t 時y=K,為極限參數(shù),稱飽和值.曲線為改變 a 只影響曲線位置變動而不改變形狀( a 位置參數(shù))改變 b 只影響曲線形狀而不改變位置. ( b 形狀參數(shù))此方法,80年代曾用于閉路電視發(fā)展預(yù)測，結(jié)果1990年美家庭將有63%采用,2000年89.5%,2010年97.17%,使美聯(lián)邦通訊委員會從禁止到支持. ty tt = 0n2ny0y 1y 2y 325二.參數(shù)估計解法1:三點法,取已知三點;第一點為起點t = 0 ,另兩點分別為t = n和t = 2n ,即從時間上均勻分段.設(shè)曲線序列始點選定為 y |t=0 = y0 y0= k/(1+a) 中點: y |t=n = y1

15、 , y1= k/1+a e-bn 終點: y |t=2n = y2 , y2= k/1+a e-2bn 由式,推出 a = (K-y0)/ y0 由式: y1 1+ae-bn = K 得 e-bn = (K-y0)/ay1 有 b = ln a +ln y1 ln(K- y1)/n 26將公式中解出e-bn及公式代入公式 ,得: y2 1 + (K-y1)2 / (K-y0) y12 / y0= K整理得出 K=y0 y12 + y12 y2 - 2y0 y1y2/y12 - y0 y2.6公式三式共同組成參數(shù)估計公式. 27解法2:線性回歸法,前提是假定K已知公式變形: y = K/1+a

16、 e-bt K/y = 1+a e-bt ) a e-bt = K/y - 1 取自然對數(shù) ln a bt = ln(K/y - 1)令 ln(K/y - 1)=y, ln a = a0 , b = a1則構(gòu)成線性方程 y = a0 +a1t利用一元線性回歸方法,解出y,進(jìn)而求出預(yù)測值y 解法3:為近似積分法,見書介紹解法4:為三和法28三.舉例:我國家用縫紉機(jī)市場需求量轉(zhuǎn)折點預(yù)測 19701982年統(tǒng)計資料年份: 1970 1971 1972 1973 1974 1975普及率% 5.49 6.676 7.910 9.125 10.544 12.029 1976 1977 1978 1979

17、 1980 1981 198213.694 15.363 17.282 19.459 22.980 27.054 31.227由于歐洲市場已飽和,可參考統(tǒng)計數(shù)據(jù)(飽和值K)同名 日 英 法 蘇 芬 美飽和值(%) 80 35 47.619 62.50 30.303 71.429據(jù)專家估計:中國由于廣闊的農(nóng)村市場,飽和率可達(dá)70% 29解: yt = K/1+a e-bt 且K =70% 用回歸分析1)線性化及預(yù)測方程： yt = a0 + a1t 式中 a0 = ln a, a1 = -b , yt = ln(K/yt - 1) K, yt為已知, yi 為已知 yi = 18.1174 ,

18、y = 1.39365 , yi = 30.96707 n = 13 , t = 7.0 , ti = 819, ti yi = 76.5519 2230利用線性回歸中求參數(shù)公式: a0 = y - bx = y - bt及 (1/n)xi yi - x(1/n)yi (1/n)ti yi- t(1/n)y (1/n)xi - x(1/n)xi (1/n)ti - t(1/n)ti 得 a0 = 2.453620 a = ea0 = 11.6304 a0 = -0.176662 b = -a = 0.176662相關(guān)系數(shù) nxi yi - xi yi nxi2(xi) nyi2(yi) = 0.9997 yt = 70/1+11.6304 e-0.176662t %=a1 =r = 2222312)求轉(zhuǎn)折點y= K/(1+ a e-bt )= -K-ba e-bt / (1+ a e-bt ) 2 = Kab e-bt / (1+ a e-bt ) 2d y/dx = Kb a e-bt (a e-bt - 1)/ (1+ a e-bt ) 322232令 y” = 0, a = ebt , bt = ln a t = (lna)/b即轉(zhuǎn)折點為 (ln a)/b,K/2 t = (ln a)/b = ln11.6304/0.17666213