中考數(shù)學二輪專題復習教案：專題一“最值問題”之專題復習-平面幾何中的最值問題

1、第 頁共4頁專題復習一一平面幾何中的最值問題I在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問題，有時它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問題.如果把最值問題和生活中的經(jīng)濟問題聯(lián)系起來，可以達到最經(jīng)濟、最節(jié)約和最高效率.在平面幾何問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量(如線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù))的最大值或最小值問題，稱為最值問題。最值問題的解決方法通常有兩種：應用幾何性質(zhì)：三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點間線段最短；連結直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；定圓中的所有弦中，直徑最長。運用代數(shù)證法：運用配方法求二次三項式的最值；運用一元二

2、次方程根的判別式。例1、A、B兩點在直線l的同側，在直線L上取一點P，使PA+PB最小。例2、已知AB是半圓的直徑，如果這個半圓是一塊鐵皮，ABDC是內(nèi)接半圓的梯形，試問怎樣剪這個梯形，才能使梯形ABDC的周長最大？分析：本例是求半圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長，可設半圓半徑為R.由于ABCD，必有AC=BD.若設CD=2y,AC=x，那么只須求梯形ABDC的半周長u=x+y+R的最大值即可.例3、如上右圖是半圓與矩形結合而成的窗戶，如果窗戶的周長為8米(m),怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好？例4、已知P點是半圓上一個動點，試問P在什么位置時，PA+PB最大？分析因為P點是半圓上的動點，當

3、P近于A或B時，顯然PA+PB漸小，在極限狀況(P與A重合時)等于AB.因此，猜想P在半圓弧中點時，PA+PB取最大值.例5、如圖，在直角厶ABC中，AD是斜邊上的高，M,N分別是ABD，ACD的內(nèi)心，直線MN交AB，AC于K,L.求證：S22S.ABCAKL例6、如圖.已知在正三角形ABC內(nèi)(包括邊上)有兩點P,Q.求證：PQWAB.證明：設過P,Q的直線與AB,AC分別交于P,Q,連結PC,顯然，PQWPQ.11111因為ZAQ1P1+ZP1Q1C=180，所以ZAQ1P】和ZPQC中至少有一個直角或鈍角.若ZAQP90：，則PQWPQWAPNAb；11若ZpQC90。，貝9PQWP；Q；

4、WPC.同理,ZAP1C和ZBPC中也至少有一個直角或鈍角，不妨設ZBP1C90,貝VPCWBC=AB.對于P,Q、兩點的其它位置也可作類似的討論，因此，PQWAB.1例7、設厶ABC是邊長為6的正三角形，過頂點A引直線1,頂點B,C到1的距離設為d,d，求d+d的最大值.1212解如圖，延長BA到B，使AB=AB,連BC則過頂點A的直線1或者與BC相交，或者與BC相交.以下分兩種情況討論.-Cd1+d3)-AD=SZD+仏亦=Sc*36,所以1373才is7|6只有當1丄BC時，取等號.V臨g盈療若1與BC相交于D,則1-(dL+da)*AD=SiBLA+iACD=ABDA+Ja】+dac呂

5、乎=6ys.上式只有1丄BC時，等號成立.綜合:、Gm+如的最大值為例8、如圖.已知直角AOB中，直角頂點0在單位圓心上，斜邊與單位圓相切，延長A0,所以等號從而AE二EAE二AC9A空士-竺単子八町占即AB22.若1與BC相交于D,則當AO=B0時，AB有最小值2.從而11Scd=2AC#BD=2C1+0AX1+B0：)11=齊1十直O(jiān)十EO十EO(i+2jgEO5O*EO乙222222.1(g+-：所以，當AO=OB時，四邊形ABCD面積的最小值為專題復習一一幾何的定值與最值|幾何中的定值問題，是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關系不變的一類問題

6、，解幾何定值問題的基本方法是：分清問題的定量及變量，運用特殊位置、極端位置，直接計算等方法，先探求出定值，再給出證明.幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量（如線段長度、角度大小、圖形面積）等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：特殊位置與極端位置法；幾何定理（公理）法；數(shù)形結合法等.注：幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競賽中，由冷點變?yōu)闊狳c.這是由于這類問題具有很強的探索性（目標不明確），解題時需要運用動態(tài)思維、數(shù)形結合、特殊與一般相結合、邏輯推理與合情想象相結合等思想方法.【例題就解】【例1】如圖，已知AB=10,P是線段AB上任意一點，在AB的同側分

7、別以AP和PB為邊作等邊AAPC和等邊BPD，則CD長度的最小值為.思路點撥如圖，作CC丄AB于C,DD丄AB于D，DQ丄CC，CD2=DQ2+CQ2,DQ=1AB一2常數(shù)，當CQ越小，CD越小，本例也可設AP=x，則PB=10-x，從代數(shù)角度探求CD的最小值.注：從特殊位置與極端位置的研究中易得到啟示，常能找到解題突破口，特殊位置與極端位置是指：（1）中點處、垂直位置關系等；（2）端點處、臨界位置等.【例2】如圖，圓的半徑等于正三角形ABC的高，此圓在沿底邊AB滾動，切點為T,圓交AC、BC于M、N,則對于所有可能的圓的位置而言，A.為的度數(shù)（）從60到90變動C.保持30。不變D.保持60

8、。不變思路點撥先考慮當圓心在正三角形的頂點C時，其弧的度數(shù)，再證明一般情形，從而作出判斷.注：幾何定值與最值問題，一般都是置于動態(tài)背景下，動與靜是相對的，我們可以研究問題中的變量，考慮當變化的元素運動到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時，研究的量取得定值與最值.【例3】如圖，已知平行四邊形ABCD,AB=a,BC=b（ab）,P為AB邊上的一動點，直線DP交CB的延長線于Q,求AP+BQ的最小值.思路點撥設AP=x，把AP、BQ分別用x的代數(shù)式表示，運用不等式a2+b22ab（當且【例4】如圖，已知等邊ABC內(nèi)接于圓，在劣弧AB上取異于A、B的點M,設直線AC與BM相交于K,直線CB與AM相交

9、于點N,證明：線段AK和BN的乘積與M點的選擇無關.思路點撥即要證AKBN是一個定值，在圖形中ABC的邊長是一個定值，說明AKBN與AB有關，從圖知ABAB皿與厶ANB的公共邊，作一個大膽的猜想，AKBN=AB2，從而我們的證明目標更加明確注：只要探求出定值，那么解題目標明確，定值問題就轉化為一般的幾何證明問題【例5】已知AXYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形(ZZ=90)，它的三個頂點分別在等腰RtAABC(ZC=90)的三邊上，求ABC直角邊長的最大可能值.思路點撥頂點Z在斜邊上或直角邊CA(或CB)上，當頂點Z在斜邊AB上時，取xy的中點，通過幾何不等關系求出直角邊的最大值，當頂點乙在(AC或CB)上時，設C