蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué) 24 鏡象法

1、用分離變量法解拉普拉斯方程，只適用于所考慮的區(qū)域沒有自由電荷的情況。若區(qū)域內(nèi)有自由電荷，則必須解泊松方程。一種重要的特殊情形是：區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)電荷，區(qū)域的邊界是導(dǎo)體或者介質(zhì)的簡(jiǎn)單界面。上述特殊情形的泊松方程邊值問題，可以采用一種比較簡(jiǎn)潔的特殊方法來求解。這種方法就是鏡象法。2.4 鏡象法1一、鏡象法的基本思想設(shè)點(diǎn)電荷Q附近有一導(dǎo)體，在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，導(dǎo)體表面上出現(xiàn)感應(yīng)電荷。我們要計(jì)算導(dǎo)體外的電場(chǎng)，這電場(chǎng)是Q和感應(yīng)電荷共同激發(fā)的。我們?cè)O(shè)想，導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷對(duì)導(dǎo)體外空間電場(chǎng)的作用，能否用導(dǎo)體內(nèi)部某個(gè)或某幾個(gè)假想的點(diǎn)電荷來代替？如果存在這種可能性的話，作這種代換并沒有改變求解區(qū)域的

2、電荷分布，因而并不影響泊松方程。2如果這種代換所得到的電場(chǎng)同時(shí)又滿足邊界條件，則用假想的點(diǎn)電荷代替感應(yīng)電荷所得到的解，就是該問題的唯一正確的解。在我們所研究的區(qū)域之外，用一些假想的電荷代替場(chǎng)問題的邊界，假如這些電荷和場(chǎng)區(qū)域原有的電荷一起產(chǎn)生的電場(chǎng)滿足原問題的邊界條件，那么，它們的電勢(shì)疊加起來便得到我們所要求的電勢(shì)解。所以，鏡象法的基本思想就是：3二、鏡象法應(yīng)用舉例接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷Q，距離為a。求空間中的電場(chǎng)。電荷分布：一個(gè)點(diǎn)電荷。邊界面：接地?zé)o窮大導(dǎo)體。求解區(qū)域：上半空間（下半空間電勢(shì)為零）分析：例1已知電荷分布和界面電勢(shì)(等于零)，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢(shì)。Qa4

3、電荷分布和電場(chǎng)分布：點(diǎn)電荷Q使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號(hào)的感應(yīng)電荷。整個(gè)電場(chǎng)是由Q和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。由于導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，所以電場(chǎng)線垂直于導(dǎo)體表面，而且電場(chǎng)具有軸對(duì)稱性。設(shè)用來代替感應(yīng)電荷的假想電荷為Q。問題是：Q應(yīng)該放在什么位置？電量是多少？5根據(jù)電場(chǎng)的軸對(duì)稱性，Q必在對(duì)稱軸上，即在Q到板面的垂線上。設(shè)Q到板面的距離為b，以對(duì)稱軸為Z軸建立直角坐標(biāo)系，X軸和Y軸在導(dǎo)體表面上。導(dǎo)體板上方的電勢(shì)為：該式在導(dǎo)體表面應(yīng)滿足邊界條件：解：6所以，注意到上式對(duì)任意x、y都成立，所以導(dǎo)體板上方的電勢(shì)為：7Q假想電荷Q=-Q與給定電荷Q激發(fā)的總電場(chǎng)如圖所示。由對(duì)稱性看出，在原導(dǎo)體板平面上，電場(chǎng)線處處與它正交，因而

4、滿足邊界條件。假想電荷Q=-Q與給定電荷Q關(guān)于導(dǎo)體表面對(duì)稱，好象鏡面成像一樣，這就是鏡象法的由來，并稱假想電荷Q為Q的鏡象電荷。注意：鏡象電荷的位置和電量跟介質(zhì)及邊界面的形狀有關(guān)。對(duì)于其它形狀的邊界面，鏡象電荷并不等于-Q或與Q關(guān)于界面對(duì)稱。8真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心為a（aR0）處有一點(diǎn)電荷Q，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)（如圖）。例2Q解：電荷分布：一個(gè)點(diǎn)電荷。邊界面：導(dǎo)體球面。求解區(qū)域：球面外區(qū)域。已知電荷分布和界面電勢(shì)(等于零)，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢(shì)。9電荷分布和電場(chǎng)分布：點(diǎn)電荷Q使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號(hào)的感應(yīng)電荷。整個(gè)電場(chǎng)是由Q和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。由于導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，

5、所以電場(chǎng)線垂直于導(dǎo)體表面，而且電場(chǎng)具有軸對(duì)稱性。設(shè)用來代替感應(yīng)電荷的假想電荷為Q。問題是：Q應(yīng)該放在什么位置？電量是多少？+Q10根據(jù)電場(chǎng)的軸對(duì)稱性，Q必在對(duì)稱軸上，即在Q到球心的連線上。設(shè)Q到球心的距離為b，以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為Z軸建立球坐標(biāo)系，球外空間的電勢(shì)為：該式在導(dǎo)體表面應(yīng)滿足邊界條件：解：11考慮球面上任一點(diǎn)P（如圖）即對(duì)球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有只要選Q的位置，使OPQOQP即可，此時(shí)12球外任一點(diǎn)P的電勢(shì)為：13物理結(jié)果討論：根據(jù)高斯定理，收斂于球面的電通量為Q。Q為球面的總感應(yīng)電荷，它是受電荷Q的電場(chǎng)的吸引而從接地處傳至導(dǎo)體球上的。然而|Q|Q，由電荷Q發(fā)出的電場(chǎng)線只有一部分收斂于球面上，剩下的一部分發(fā)散至無窮遠(yuǎn)處。14注意：1. 鏡象法不僅可以計(jì)算導(dǎo)體邊界的情況，也可以計(jì)算絕緣介質(zhì)分界面的情況。2. 鏡象電荷的位置由邊界面的形狀決定，所以各種邊界情況下的鏡象電荷位置應(yīng)該記住，以后不必重新推導(dǎo)。3. 鏡象電荷的電量由邊界面的形狀、介質(zhì)的性質(zhì)及給定電荷的電量有關(guān)，要根據(jù)邊界條件及邊值關(guān)系確定。4. 給定電荷與鏡象電荷互為鏡象。5. 一個(gè)電荷的鏡象電荷可能不止一個(gè)。15QQ-Q-QQ設(shè)電容率分別為1和2的兩種均勻介質(zhì)，以無限大平面為界