2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題突破專(zhuān)題5 二次函數(shù)與線段和角的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題

1、2020年中考數(shù)學(xué)大題狂練之壓軸大題突破培優(yōu)練專(zhuān)題05二次函數(shù)與線段和角的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題【真題再現(xiàn)】1（2019年宿遷28題）如圖，拋物線yx2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖，連接AC，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足PAB2ACO求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖，點(diǎn)Q為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，直線AQ、BQ分別交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M、N請(qǐng)問(wèn)DM+DN是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由2（2019年鹽城27題）如圖所示，二次函數(shù)yk（x1）2+2的圖象與一次函數(shù)ykxk+

2、2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，直線AB分別與x、y軸交于C、D兩點(diǎn)，其中k0（1）求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）若OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，是否存在實(shí)數(shù)k，使得ODC2BEC，若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由13（2018年常州28題）如圖，二次函數(shù)ybx+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），P是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C不重合）（1）b，點(diǎn)B的坐標(biāo)是；（2）設(shè)直線PB與直線AC相交于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PM：MB1：2？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3

3、）連接AC、BC，判斷CAB和CBA的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由4（2019年蘇州28題）如圖，拋物線yx2+（a+1）xa與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)eqoac(,C)已知ABC的面積是6（1）求a的值；（2）求ABC外接圓圓心的坐標(biāo)；（3）如圖，P是拋物線上一點(diǎn)，Q為射線CA上一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)，Q、A是位于直線BP同側(cè)的不同兩點(diǎn)，若點(diǎn)P到x軸的距離為eqoac(,d)，QPB的面積為2d，且PAQAQB，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)25（2018年無(wú)錫28題）已知：如圖，一次函數(shù)ykx1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，m）（m0），與y軸交于點(diǎn)B點(diǎn)C在線段AB上，且BC2AC，過(guò)

4、點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D若ACCD（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）已知一開(kāi)口向下、以直線CD為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為P，若過(guò)點(diǎn)P且垂直于AP的直線與x軸的交點(diǎn)為Q（，0），求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式6（2017年蘇州28題）如圖，二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OBOC點(diǎn)D在函數(shù)圖象上，CDx軸，且CD2，直線l是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，E是拋物線的頂點(diǎn)（1）求b、c的值；（2）如圖，連接BE，線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖，動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N試

5、問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)eqoac(,Q)，使得PQN與APM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最?。咳绻嬖?，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由【專(zhuān)項(xiàng)突破】【題組一】1（2020無(wú)錫模擬）如圖，已知二次函數(shù)yax22ax+c（a0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C過(guò)點(diǎn)A的直線ykx+2k（k0）與這個(gè)二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為F，與該圖象的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)D，且DEEF（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若BDF的面積為12，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；3（3）設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為P，連接PF，PC，若CPF2DAB，求此時(shí)二次函數(shù)的表達(dá)式2（2020鎮(zhèn)江模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函

6、數(shù)yx2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PMy軸，分別交直線AB、x軸于點(diǎn)C、D，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PQAB于點(diǎn)Q，連接eqoac(,PB)，當(dāng)PBQ中有某個(gè)角的度數(shù)等于OAB度數(shù)的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)3（2020濱湖區(qū)模擬）已知二次函數(shù)yax2+4amx（m0）的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)B，與直線l：y交于點(diǎn)C，點(diǎn)A是該二次函數(shù)圖象與直線l在第二象限的交點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線的頂

7、點(diǎn)，已知AC：CO1：2，DOB45，ACD的面積為2（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)點(diǎn)，且POC45，求點(diǎn)P坐標(biāo)44（2020營(yíng)口模擬）如圖1，拋物線yx2+mx+n交x軸于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，2）（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)M在拋物線上，且eqoac(,S)AOM2eqoac(,S)BOC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)N是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，作DNx軸，交拋物線于點(diǎn)D，求線段DN長(zhǎng)度的最大值【題組二】5（2019梁溪區(qū)校級(jí)二模）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與y軸相交于點(diǎn)A（0，m），其中m0，與x軸相交于點(diǎn)B（4，0）拋物

8、線yax2+bx（a0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，它與直線l相交于另一點(diǎn)C（1）若AC：BC1：3，求a的值（用含m的代數(shù)式表示）；（2）在（1）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為F，其對(duì)稱(chēng)軸與直線l和x軸分別相交于點(diǎn)D、E，當(dāng)以F、C、D為頂點(diǎn)的三角形與BED相似時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式6（2019邗江區(qū)校級(jí)二模）如圖，拋物線yax2+3x+c（a0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OBOC4（1）求該拋物線的函數(shù)解析式（2）如圖1，連接BC，點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接OD，CDOD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)eqoac(,S)COF：eqoac(,S)CDF4：3時(shí)，求點(diǎn)

9、D的坐標(biāo)5（3）如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，連接EB，PB，PE形成的PBE中，是否存在點(diǎn)P，使PBE或PEB等于2OBE？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由7（2019靖江市校級(jí)一模）如圖，拋物線ymx216mx+48m（m0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，連接OD、BD、AC、AD，延長(zhǎng)AD交y軸于點(diǎn)E（1）若OAC為等腰直角三角形，求m的值；（2）若對(duì)任意m0，C、E兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，恰好使得ODBOAD，

10、且點(diǎn)D為線段AE的中點(diǎn)求m的值；此時(shí)對(duì)于該拋物線上任意一點(diǎn)P（x0，y0）總有n立，求實(shí)數(shù)n的最小值4my1250成8（2019姑蘇區(qū)校級(jí)二模）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（3，0）、點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D為拋物線在第一象限內(nèi)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，交y軸于點(diǎn)E，將點(diǎn)C關(guān)于線段AD作軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，連接AC（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1如果點(diǎn)C落在x軸，求點(diǎn)E坐標(biāo)；（3）如圖2，連接AC、BC，BC與AD交于點(diǎn)F，拖動(dòng)點(diǎn)D，點(diǎn)C落在第四象限，作FGAC，交x軸于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)G，若AGF90，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)6【題組三】9（2019宿豫區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線ya

11、x2+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（2，3）（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）將該拋物線向下平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)G在x軸上原拋物線上一點(diǎn)M平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)eqoac(,N)，如果AMN是以MN為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BEOP，垂足為E，點(diǎn)Q為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接QE、QD，試求QE+QD的最小值10（2019灌南縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、C（2，0），與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）M（

12、s，t）為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；連接MA、MB，若AMB不小于60，求t的取值范圍711（2019潤(rùn)州區(qū)二模）如圖，已知二次函數(shù)yax2+bx+c（a0）的圖象與直線AB相交，與x軸、y軸交于A（2，0）、B（1）求點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P在二次函數(shù)yax2+bx+c（a0）的圖象上，求二次函數(shù)yax2+bx+c（a0）的關(guān)系式（3）在（2）的條件下，在ABP內(nèi)存在點(diǎn)M，使得MA+MB+MP的值最小，則相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為12（2019洪澤區(qū)二模）如圖，拋物線yax2+bx+5經(jīng)過(guò)A（1，0）和B（

13、5，0），與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BC，BD點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（1）a，b；（2）若CPB90，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在點(diǎn)P，使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的和等于ABC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由（4）如圖，拋物線對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，設(shè)BDE的度數(shù)為a，點(diǎn)M是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，作射線AM，將AM繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a度，旋轉(zhuǎn)后的射線交直線BC與點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫(xiě)出MN的最小值（直接寫(xiě)出結(jié)果）8【題組四】13（2019高港區(qū)三模）定義：兩條長(zhǎng)度相等，且它們所在的直線互相垂直，我們稱(chēng)這兩條線段互為等垂線段如圖，直線y2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B（

14、1）若線段AB與線段BC互為等垂線段求A、B、C的坐標(biāo)（2）如圖，點(diǎn)D是反比例函數(shù)y的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E（m，1），線段DE與線段AB互為等垂線段，求m的值；（3）拋物線yax2+bx+c（a0）經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)用含a的代數(shù)式表示b點(diǎn)P為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，在拋物線上存在點(diǎn)Q，使得線段PQ與線段AB互為等垂線段，且它們互相平分，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足上述條件的a值14（2019丹陽(yáng)市一模）如圖（1），二次函數(shù)yax2bx（a0）的圖象與x軸、直線yx的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A（4，0）、B（5，5）（1）a，b，AOB；（2）連接AB，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（異于點(diǎn)A），且PBOOBA，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖

15、（2），點(diǎn)C、D是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，且CD2設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m過(guò)點(diǎn)C、D分別作x軸的垂線，與拋物線相交于點(diǎn)F、E，連接EF當(dāng)CF+DE取得最大值時(shí)，求m的值并判斷四邊形CDEF的形狀；連接AC、AD，求m為何值時(shí)，AC+AD取得最小值，并求出這個(gè)最小值15（2019建湖縣二模）如圖，二次函數(shù)yax23ax+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C直線yx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C9（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N點(diǎn)N位于x軸上方時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得AM：NM5：3？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角ANB等

16、于ACB的2倍時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)16（2019無(wú)錫二模）已知，如圖，二次函數(shù)yax2+2ax3a（a0）圖象的頂點(diǎn)為C與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），點(diǎn)C、B關(guān)于過(guò)點(diǎn)A的直線l：ykx對(duì)稱(chēng)（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及直線l的解析式；（2）求二次函數(shù)解析式；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作直線BDAC交直線l于D點(diǎn)，M、N分別為直線AC和直線l上的兩動(dòng)點(diǎn)，連接CN，NM、MD，求D的坐標(biāo)并直接寫(xiě)出CN+NM+MD的最小值【題組五】17（2019興化市二模）已知，關(guān)于x的二次函數(shù)yax22ax（a0）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于點(diǎn)O、A，關(guān)于x的一次函數(shù)yax（a0）（1）試說(shuō)明點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上；（

17、2）若兩個(gè)點(diǎn)（k，y1）、（k+2，y2）（k0，2）都在二次函數(shù)的圖象上，是否存在整數(shù)k，滿足？如果存在，請(qǐng)求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)E是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是n，且1n1，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線，與一次函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，當(dāng)0a2時(shí)，求線段EF的最大值18（2019清江浦區(qū)一模）如圖，拋物線yax2+bx+4（a0）與x軸交于點(diǎn)B（3，0）和C（4，0）與y軸交于點(diǎn)A10（1）a，b；t（2）點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)為何值時(shí)，以B、M、N為頂

18、點(diǎn)的三角形是等腰三角形？（3）點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，若BP恰好平分ABC，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)19（2019常州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：ykx+m交y軸于點(diǎn)C，與拋物線yax2+bx交于點(diǎn)A（4，0）、B（，）（1）直線l的表達(dá)式為：，拋物線的表達(dá)式為：；（2）若點(diǎn)P是二次函數(shù)yax2+bx在第四象限內(nèi)的圖象上的一點(diǎn)，且2eqoac(,S)APBeqoac(,S)AOB，求AOP的面積；（3）若點(diǎn)Q是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q到直線l的距離為d，到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的距離為d1，當(dāng)|dd1|2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)20（2019東臺(tái)市模擬）如圖，拋物線yax2+

19、bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)是D（1）求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在x軸上取點(diǎn)F，在拋物線上取點(diǎn)E，使以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）將此拋物線沿著過(guò)點(diǎn)（0，2）且垂直于y軸的直線翻折，E為所得新拋物線x軸上方一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作x軸的垂線，交x軸于G，交直線l：y徑作圓在直線l上截得弦MN，求弦MN長(zhǎng)度的最大值11x1于點(diǎn)F，以EF為直【題組六】21（2019昆山市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2+bx+c（a0）交x軸于點(diǎn)A（2，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（6，6），連接AD，BD（

20、1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點(diǎn)M為X軸上方的拋物線上一點(diǎn)，能否在點(diǎn)A左側(cè)的x軸上找到另一點(diǎn)N，使得AMN與ABD相似？若相似，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)P是直線AD上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合），過(guò)點(diǎn)P作PQy軸交直線AD于點(diǎn)Q，以PQ為直徑作E，則E在直線AD上所截得的線段長(zhǎng)度的最大值等于（直接寫(xiě)出答案）22（2019泰興市一模）如圖1，拋物線l1：y1a（x2）2與直線l2：y2am（x2）+b（a，m，b為常數(shù)，a0，m0）交于A，B兩點(diǎn)，直線l2交x軸交于點(diǎn)C點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m+2，n）（1）若a1，m3，則A的坐標(biāo)為，b，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

21、（2）已知點(diǎn)M（0，4），N（3，4），拋物線l1與線段MN有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）如圖1，求證：AB3AC；如圖2，設(shè)拋物線頂點(diǎn)為F，直線l2交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D，直線l3：y32am（x2）+d（d為常數(shù)，d0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E，若BFDpAED12（p為常數(shù)），則p的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出p的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由23（2019銅山區(qū)二模）已知，如圖，二次函數(shù)yax2+bx+c圖象交x軸于A（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，3），D是拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸DF經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)F（1，0）（1）求二次函數(shù)關(guān)系式；（2）對(duì)稱(chēng)軸DF與BC交于點(diǎn)M，點(diǎn)P為對(duì)稱(chēng)軸D

22、F上一動(dòng)點(diǎn)求APPD的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；在的條件下，把APF沿著x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（0eqoac(,t)4）時(shí)，設(shè)APF與MBF重疊部分面積記為S，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值24（2019靖江市一模）如圖1，將拋物線yax2（a0平移到頂點(diǎn)M恰好落在直線yx+3上，且拋物線過(guò)直線與y軸的交點(diǎn)A，設(shè)此時(shí)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m（m0）（1）用含m的代數(shù)式表示a；（2）如圖2，RtCBT與拋物線交于C、D、T三點(diǎn)，B90，BCx軸，CD2BDtBT2eqoac(,t)，TDC的面積為4求拋物線方程；如圖3，P為拋物線AM段上任一點(diǎn)，Q（0，4），連結(jié)QP并延長(zhǎng)交線

23、段AM于N，求的最大值13參考答案【真題再現(xiàn)】1（2019年宿遷28題）如圖，拋物線yx2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖，連接AC，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足PAB2ACO求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖，點(diǎn)Q為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，直線AQ、BQ分別交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M、N請(qǐng)問(wèn)DM+DN是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）把點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入拋物線解析式即求得b、c的值（2）點(diǎn)P可以在x軸上方或下方，需分類(lèi)討論若點(diǎn)P在x軸下方，延長(zhǎng)AP到H，使AH

24、AB構(gòu)造等腰ABH，作BH中點(diǎn)G，即有PAB2BAG2ACO，利用ACO的三角函數(shù)值，求BG、BH的長(zhǎng)，進(jìn)而求得H的坐標(biāo)，求得直線AH的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)P坐標(biāo)若點(diǎn)P在x軸上方，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，AP一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)H關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，求得直線AH的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)P坐標(biāo)（3）設(shè)點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為t，用t表示直線AQ、BN的解析式，把x1分別代入即求得點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)，再求DM、DN的長(zhǎng)，即得到DM+DN為定值【解析】（1）拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），C（0，3）解得：拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx2+2x314（2）若點(diǎn)P在x軸下方，如圖1，延長(zhǎng)AP到H，使AH

25、AB，過(guò)點(diǎn)B作BIx軸，連接BH，作BH中點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)AG交BI于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)H作HIBI于點(diǎn)I當(dāng)x2+2x30，解得：x13，x21B（3，0）A（1，0），C（0，3）OA1，OC3，ACRtAOC中，sinACO，AB4，cosACOABAH，G為BH中點(diǎn)AGBH，BGGHBAGHAG，即PAB2BAGPAB2ACOBAGACORtABG中，AGB90，sinBAGBGABBH2BGHBI+ABGABG+BAG90HBIBAGACORtBHI中，BIH90，sinHBI，cosHBIHIBH，BIBHxH3，yH，即H（，）設(shè)直線AH解析式為ykx+a解得：直線AH：yx解得：（即點(diǎn)A

26、），P（，）若點(diǎn)P在x軸上方，如圖2，15在AP上截取AHAH，則H與H關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)H（，）設(shè)直線AH解析式為ykx+a解得：直線AH：yx解得：（即點(diǎn)A），P（，）綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）（3）DM+DN為定值拋物線yx2+2x3的對(duì)稱(chēng)軸為：直線x1D（1，0），xMxN1設(shè)Q（t，t2+2t3）（3t1）設(shè)直線AQ解析式為ydx+e解得：直線AQ：y（t+3）xt3當(dāng)x1時(shí)，yMt3t32t6DM0（2t6）2t+6設(shè)直線BQ解析式為ymx+n解得：直線BQ：y（t1）x+3t3當(dāng)x1時(shí)，yNt+1+3t32t2DN0（2t2）2t+2DM+DN2t+6+（2t+2）8，為定值

27、16點(diǎn)睛：本題考查了求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程、二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用第（2）題由于不確定點(diǎn)P位置需分類(lèi)討論；（2）（3）計(jì)算量較大，應(yīng)認(rèn)真理清線段之間的關(guān)系再進(jìn)行計(jì)算2（2019年鹽城27題）如圖所示，二次函數(shù)yk（x1）2+2的圖象與一次函數(shù)ykxk+2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，直線AB分別與x、y軸交于C、D兩點(diǎn)，其中k0（1）求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）若OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，是否存在實(shí)數(shù)k，使得ODC2BEC，若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由【分析】（1

28、）將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k（x1）2+2kxk+2，即可求解；（2）分OAAB、OAOB兩種情況，求解即可；（3）求出mk2k，在AHM中，tanktanBECk+2，即可求解【解析】（1）將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k（x1）2+2kxk+2，解得：x1和2，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)橫坐標(biāo)分別為1和2；（2）OA，當(dāng)OAAB時(shí)，即：1+k25，解得：k2（舍去2）；當(dāng)OAOB時(shí)，4+（k+2）25，解得：k1或3；17故k的值為：1或2或3；（3）存在，理由：當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BHAE于點(diǎn)eqoac(,H)，將AHB的圖形放大見(jiàn)右側(cè)圖形，過(guò)點(diǎn)A作HAB的角平分線交BH于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作

29、MNAB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BKx軸于點(diǎn)K，圖中：點(diǎn)A（1，2）、點(diǎn)B（2，k+2），則AHk，HB1，設(shè)：HMmMN，則BM1m，則ANAHk，AB，NBABAN，由勾股定理得：MB2NB2+MN2，即：（1m）2m2+（k）2，解得：mk2k，在AHM中，tanktanBECk+2，解得：k，此時(shí)k+20，則2k0，故：舍去正值，故k；當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，同理可得：tan解得：k或，ktanBEC（k+2），此時(shí)k+20，k2，故舍去，故k的值為：或點(diǎn)睛：本題為二次函數(shù)綜合應(yīng)用題，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形的知識(shí)，其中（3），通過(guò)tan2求出tan，是此類(lèi)題目求解的一般方法3（2018年常州

30、28題）如圖，二次函數(shù)ybx+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），P是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C不重合）18（1）b，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，0）；（2）設(shè)直線PB與直線AC相交于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PM：MB1：2？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）連接AC、BC，判斷CAB和CBA的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由【分析】（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出b的值，代入y0求出x值，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）解法一）代入x0求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)

31、點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m+2），分B、P在直線AC的同側(cè)和異側(cè)兩種情況考慮，由點(diǎn)B、M的坐標(biāo)結(jié)合PM：MB1：2即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（解法二）代入x0求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，過(guò)點(diǎn)B作BBy軸交直線AC于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)P作PPy軸交直線AC于點(diǎn)P，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出BB的值，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得出PP的值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2x+2），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x+2），結(jié)合PP的值可得出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）（解法一）作CB

32、A的角平分線，交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F，設(shè)OEn，則CE2n，EFn，利用面積法可求出n值，進(jìn)而可得出，結(jié)合AOC90BOE可證出AOCBOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出CAOEBO，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出CBA2EBO2CAB，此題得解；（解法二）將BC沿y軸對(duì)折，交x軸于點(diǎn)B，根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出ABBCBC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，可得出CBA2CAB【解析】（1）點(diǎn)A（4，0）在二次函數(shù)ybx+2的圖象上，b4b+20，19當(dāng)y0時(shí)，有x2x+20，解得：x14，x2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）故答案為：；（，0）（2）（方法一

33、）當(dāng)x0時(shí)，yx2x+22，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）設(shè)直線AC的解析式為ykx+c（k0），將A（4，0）、C（0，2）代入ykx+c中，得：，解得：，直線AC的解析式為yx+2假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m+2）當(dāng)點(diǎn)P、B在直線AC的異側(cè)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m+3），點(diǎn)P在拋物線ym+3（mx2）2x+2上，（m）+2，整理，得：12m2+20m+9020eqoac(,2)4129320，方程無(wú)解，即不存在符合題意得點(diǎn)P；當(dāng)點(diǎn)P、B在直線AC的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m+1），點(diǎn)P在拋物線ym+1（mx2）2x+2上，（m）+2，整理，得：4m2+44m90，20解得：m1點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

34、2，m2或2，綜上所述：存在點(diǎn)P，使得PM：MB1：2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或2（方法二）當(dāng)x0時(shí)，yx2x+22，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）設(shè)直線AC的解析式為ykx+c（k0），將A（4，0）、C（0，2）代入ykx+c中，得：，解得：，直線AC的解析式為yx+2過(guò)點(diǎn)B作BBy軸交直線AC于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)P作PPy軸交直線AC于點(diǎn)P，如圖11所示點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，BBBBPP，eqoac(,PP)eqoac(,M)BBM，），PP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2x+2），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x+2），PP|x2x+2（x+2）|x2x|，解得：x12，x22，21存在點(diǎn)P，使得PM：MB

35、1：2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或2（3）（解法一）CBA2CAB，理由如下：作CBA的角平分線，交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F，如圖2所示點(diǎn)B（，0），點(diǎn)C（0，2），OB，OC2，BC設(shè)OEn，則CE2n，EFn，由面積法，可知：OBCEBCEF，即（2n）n，解得：n，AOC90BOE，AOCBOE，CAOEBO，CBA2EBO2CAB（解法二）CBA2CAB，理由如下：將BC沿y軸對(duì)折，交x軸于點(diǎn)B，如圖3所示點(diǎn)B（，0），點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（AB，0），（4），BC，ABBCBC，CABACB，CBACBB22ABBCAB+ACB，CBA2CAB（點(diǎn)睛：題考查了二次函

36、數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形的面積、勾股定理、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出b的值；（2）解法一）分B、P在直線AC的同側(cè)和異側(cè)兩種情況找出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（解法二）利用相似三角形的性質(zhì)找出PP；（3）（解法一）構(gòu)造相似三角形找出兩角的數(shù)量關(guān)系；（解法二）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的外角性質(zhì)找出CBA2CAB4.（2019年蘇州28題）如圖，拋物線yx2+（a+1）xa與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)eqoac(,C)已知ABC的面積是6（1）求a的值

37、；（2）求ABC外接圓圓心的坐標(biāo)；（3）如圖，P是拋物線上一點(diǎn)，Q為射線CA上一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)，Q、A是位于直線BP同側(cè)的不同兩點(diǎn)，若點(diǎn)P到x軸的距離為eqoac(,d)，QPB的面積為2d，且PAQAQB，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)【分析】（1）由yx2+（a+1）xa，令y0，即x2+（a+1）xa0，可求出A、B坐標(biāo)結(jié)合三角形的面積，解出a3；（2）三角形外接圓圓心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，求出兩邊垂直平分線，解交點(diǎn)可求出；（3）作PMx軸，則eqoac(,S)BAPABPM4d由eqoac(,S)PQBeqoac(,S)PAB可得A、Q到PB的距離相等，得到AQPB，求出直線PB的解析

38、式，以拋物線解析式聯(lián)立得出點(diǎn)P坐標(biāo)，由于PBQABP，可得PQAB4，利用兩點(diǎn)間距離公式，解出m值【解析】（1）yx2+（a+1）xa令y0，即x2+（a+1）xa0解得x1a，x21由圖象知：a0A（a，0），B（1，0）eqoac(,S)ABC623解得：a3，（a4舍去）（2）A（3，0），C（0，3），OAOC，線段AC的垂直平分線過(guò)原點(diǎn)，線段AC的垂直平分線解析式為：yx，由A（3，0），B（1，0），線段AB的垂直平分線為x1將x1代入yx，解得：y1ABC外接圓圓心的坐標(biāo)（1，1）（3）作PMx軸交x軸于M，則eqoac(,S)BAPABPM4deqoac(,S)PQBeqoac

39、(,S)PABA、Q到PB的距離相等，AQPB設(shè)直線PB解析式為：yx+b直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，0）所以：直線PB的解析式為yx1聯(lián)立解得：點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，5）又PAQAQB，BPAPBQ，APQB，在PBQ與BPA中，PBQABP（SAS），PQAB4設(shè)Q（m，m+3）由PQ4得：解得：m4，m8（當(dāng)m8時(shí)，PAQAQB，故應(yīng)舍去）Q坐標(biāo)為（4，1）24點(diǎn)睛：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，拋物線和直線“曲直”聯(lián)立解交點(diǎn)，利用三角形的全等和二次函數(shù)的性質(zhì)把數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合在一起，轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)求出結(jié)果5.（2018年無(wú)錫28題）已知：如圖，一次函數(shù)ykx1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，m

40、）（m0），與y軸交于點(diǎn)B點(diǎn)C在線段AB上，且BC2AC，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D若ACCD（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）已知一開(kāi)口向下、以直線CD為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為P，若過(guò)點(diǎn)P且垂直于AP的直線與x軸的交點(diǎn)為Q（，0），求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式【分析】（1）利用三角形相似和勾股定理構(gòu)造方程，求AC和m（2）由APQ90，構(gòu)造PQDAPE構(gòu)造方程求點(diǎn)P坐標(biāo)可求二次函數(shù)解析式【解析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AFx軸，過(guò)點(diǎn)B作BFCD于H，交AF于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CEAF于點(diǎn)E設(shè)ACn，則CDn點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1）CHn+1，AFm+1CHAF，BC2AC25即：整理得：nRtA

41、EC中，CE2+AE2AC25+（mn）2n2把n5+（m代入）2（）2解得m15，m23（舍去）n3把A（3，5）代入ykx1得kyx1（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AECD于點(diǎn)E設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，n），由已知n0由已知，PDx軸PQDAPE解得n17，n22（舍去）設(shè)拋物線解析式為ya（xh）2+kya（x2）2+7把A（3，5）代入ya（x2）2+726解得a拋物線解析式為：y【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查二次函數(shù)和一次函數(shù)性質(zhì)在解答過(guò)程中，應(yīng)注意利用三角形相似和勾股定理構(gòu)造方程，求出未知量2（2017年蘇州28題）如圖，二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OBOC點(diǎn)D在函數(shù)

42、圖象上，CDx軸，且CD2，直線l是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，E是拋物線的頂點(diǎn)（1）求b、c的值；（2）如圖，連接BE，線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖，動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)eqoac(,Q)，使得PQN與APM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最?。咳绻嬖?，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由【分析】（1）由條件可求得拋物線對(duì)稱(chēng)軸，則可求得b的值；由OBOC，可用c表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得c的值；（2）可設(shè)F（0，m），則可表示出F的坐標(biāo)，由B、E的坐標(biāo)可求得直線BE的

43、解析式，把F坐標(biāo)代入直線BE解析式可得到關(guān)于m的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，0），可表示出PA、PB、PN的長(zhǎng)，作QRPN，垂足為R，則可求得QR的長(zhǎng)，用n可表示出Q、R、N的坐標(biāo)，在RtQRN中，由勾股定理可得到關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時(shí)n的值，則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，【解析】（1）CDx軸，CD2，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x1OBOC，C（0，c），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），270c2+2c+c，解得c3或c0（舍去），c3；（2）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m）對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，m）由（1）可知拋物線解析式為yx22x3（x1

44、）24，E（1，4），直線BE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0），E（1，4），利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式為y2x6點(diǎn)F在BE上，m2262，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，2）；（3）存在點(diǎn)Q滿足題意設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，0），則PAn+1，PBPM3n，PNn2+2n+3作QRPN，垂足為R，eqoac(,S)PQNeqoac(,S)APM，QR1點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n1，n24n），R點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n24n），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n22n3）在RtQRN中，NQ21+（2n3）2，時(shí)，NQ取最小值1此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n+1，n24）同理，NQ21+（2n1

45、）2，時(shí)，NQ取最小值1此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上可知存在滿足題意的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為或【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、軸對(duì)稱(chēng)、三角形的面積、勾股28定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、方程思想及分類(lèi)討論思想等知識(shí)在（1）中求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是解題的關(guān)鍵，在（2）中用F點(diǎn)的坐標(biāo)表示出F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得QR的長(zhǎng)，用勾股定理得到關(guān)于n的二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別是最后一問(wèn)，難度很大【專(zhuān)項(xiàng)突破】【題組一】1（2020無(wú)錫模擬）如圖，已知二次函數(shù)yax22ax+c（a0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C過(guò)點(diǎn)A的直線ykx+2k（k0）與這個(gè)二次函數(shù)的圖象

46、的另一個(gè)交點(diǎn)為F，與該圖象的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)D，且DEEF（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若BDF的面積為12，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；（3）設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為P，連接PF，PC，若CPF2DAB，求此時(shí)二次函數(shù)的表達(dá)式【分析】（1）當(dāng)y0時(shí)，kx+2k0，解得x2，則A（2，0）；（2）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），則拋物線解析式為yax2+2ax+8a，eqoac(,S)BDFeqoac(,S)FABeqoac(,S)DAB，即可求解；（3）證明PCF為等腰三角形，故PG平分CPF，即CPF2CPG，則RtADORtPCG，即可求解【解析】（1）當(dāng)y0時(shí)，kx+2k

47、0，解得x2，則A（2，0）；（2）二次函數(shù)yax2+2ax+c（a0）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），把A（2，0）代入yax2+2ax+c得4a4a+c0，c8a，拋物線解析式為yax2+2ax+8a，DEEF，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，F(xiàn)（2，8a），把F（2，8a）代入ykx+2k得8a2k+2k，解得k2a，y2ax+4a，當(dāng)x0時(shí)，y4a，則D（0，4a），29eqoac(,S)BDFeqoac(,S)FABeqoac(,S)DAB，（4+2）8a（4+2）4a12，解得a1，拋物線解析式為yx2+2x+8；（3）如圖，連接CF交對(duì)稱(chēng)軸于G，過(guò)點(diǎn)D作DHPG交函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)

48、H，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：c8a，故拋物線的解析式表示為yax22ax8a，則點(diǎn)C（0，8a），點(diǎn)P（1，9a），DEEF，EHDEGF（AAS），故DHGFGC，即點(diǎn)F、C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，故點(diǎn)F（2，8a），CFx軸，G（1，8a），PCF為等腰三角形，PG平分CPF，即CPF2CPG，CPF2DAB，DABCPG，RtADORtPCG，解得a（舍去負(fù)值）（舍去），拋物線的解析式表示為yx2x+42（2020鎮(zhèn)江模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yx2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（1）求此拋物

49、線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PMy軸，分別交直線AB、x軸于點(diǎn)C、D，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PQAB于點(diǎn)Q，連接eqoac(,PB)，當(dāng)PBQ中有某個(gè)角的度數(shù)等于OAB度數(shù)的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)30【分析】（1）本題所求二次函數(shù)的解析式含有兩個(gè)待定字母，一般需要兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)建立方程組，現(xiàn)在可求A、B點(diǎn)坐標(biāo)，代入列方程組可解答；（2）根據(jù)ADC90，ACDBCP，可知相似存在兩種情況：當(dāng)CBP90時(shí)，如圖1，過(guò)P作PNy軸于eqoac(,N)，證明AOBBNP，列比例式可得結(jié)論；當(dāng)CP

50、B90時(shí)，如圖2，則B和P是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，可得P的縱坐標(biāo)為2，代入拋物線的解析式可得結(jié)論；（3）分兩種情況：當(dāng)PBQ2OAB時(shí)，如圖3，作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明BOEHPB，得結(jié)論；，設(shè)P（x，x2x2），則H（x，x2），列方程可得當(dāng)BPQ2OAB時(shí)，如圖4，同理作輔助線，設(shè)點(diǎn)P（t，t2t2），則H（t，t2），根據(jù)面積法表示PQ的長(zhǎng)，證明PBQEOF，可得BQ的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論【解析】（1）令x0，得yx22，則B（0，2），令y0，得0 x2，解得x4，則A（4，0），把A（4，0），B（0，2）代入yx2+bx+c（a0）中，得：解得：，拋物線的解析式為：yx2x2；（2

51、）PMy軸，ADC90，ACDBCP，以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，存在兩種情況：當(dāng)CBP90時(shí)，如圖1，過(guò)P作PNy軸于N，31設(shè)P（x，x2x2），則C（x，x2），ABO+PBNABO+OAB90，PBNOAB，AOBBNP90，AOBBNP，即，解得：x10（舍），x2，P（，5）；當(dāng)CPB90時(shí)，如圖2，則B和P是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)y2時(shí)，x2x10（舍），x2P（，2）；x22，32綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，5）或（，2）；（3）OA4，OB2，AOB90，BOA45，BQP2BOA，分兩種情況：當(dāng)PBQ2OAB時(shí)，如圖3，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，過(guò)P作PG

52、x軸于G，交直線AB于H，OEAE，OABAOE，OEB2OABPBQ，OBPG，OBEPHB，BOEHPB，由勾股定理得：ABBE，GHOB，即，BHx，2，設(shè)P（x，x2x2），則H（x，x2），PHx2（x2x2）x2+4x，33，解得：x10，x23，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3；當(dāng)BPQ2OAB時(shí)，如圖4，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，過(guò)P作PGx軸于G，交直線AB于H，過(guò)O作OFAB于F，連接AP，則BPQOEF，設(shè)點(diǎn)P（t，t2t2），則H（t，t2），PHt2（t2t2）t2+4t，OB2，OA4，AB2，OEBEAE，OF，EF，eqoac(,S)ABP2PQ4（t2+4t），PQ，OFEP

53、QB90，PBQEOF，即，BQ，34BQ2+PQ2PB2，化簡(jiǎn)得，44t2388t+8030，即：（2t11）（22t73）0，解得：t15.5（舍），t2；綜上，存在點(diǎn)eqoac(,P)，使得PBQ中有某個(gè)角的度數(shù)等于OAB度數(shù)的2倍時(shí)，其P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3或3（2020濱湖區(qū)模擬）已知二次函數(shù)yax2+4amx（m0）的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)B，與直線l：y交于點(diǎn)C，點(diǎn)A是該二次函數(shù)圖象與直線l在第二象限的交點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，已知AC：CO1：2，DOB45，ACD的面積為2（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)點(diǎn)，且POC45，求點(diǎn)P坐標(biāo)【分析】（1）先表示出拋

54、物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x2m，則利用正比例函數(shù)解析式可表示出C（2m，eqoac(,m)），利用OBD為等腰直角三角形可表示出D（2m，2m），則CDm，作AHx軸于H，如圖1，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到BHOBm，于是可表示出A（3m，m），接下來(lái)利用三角形面積公式得到mm2，解求出m得到D點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入yax2+4amx中求出對(duì)應(yīng)的a的值即可；（2）當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)上方時(shí)，如圖2，作PHOD于H，設(shè)P（4，eqoac(,t)），證明PDH為等腰直角三角形得到PHHD（t4），再證明RtPCHRtCOB得到；當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)下方時(shí)，如圖3，作CQOD于Q，設(shè)P（4，eqoac(,t)），易得CDQ

55、為等腰直角三角形，所以CQDQCD，再證明RtPOBRtCOQ得到，然后分別解關(guān)于t的方程即可得到對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；【解析】（1）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x2m，當(dāng)x2m時(shí)，yxm，則C（2m，m），35DOB45，OBD為等腰直角三角形，BDOB2m，則D（2m，2m），CDm，作AHx軸于H，如圖1，BCAH，BH，OBm，OH3m，當(dāng)x3m時(shí)，yxm，則A（3m，m），ACD的面積為2，mm2，解得m2，當(dāng)m2時(shí)，D（4，4）把m2，D（4，4）代入yax2+4amx得16a32a4，解得a，拋物線解析式為yx22x；（2）C（4，2），B（4，0），OD4，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)上方時(shí)，如圖2，作PH

56、OD于H，設(shè)P（4，t）DOBBDO45，PDHBDO45，PDH為等腰直角三角形，PHHD（t4），36POC45，PODCOB，RtPCHRtCOB，即，解得t12，P（4，12）；當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)下方時(shí)，如圖3，作CQOD于Q，設(shè)P（4，t）易得CDQ為等腰直角三角形，CQDQCD，OQ43，POC45，POBCOQ，RtPOBRtCOQ，即，解得t，P（4，），綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，12）或（4，）4（2020營(yíng)口模擬）如圖1，拋物線yx2+mx+n交x軸于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，2）（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)M在拋物線上，且eqoac(,S)AOM2eqo

57、ac(,S)BOC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)N是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，作DNx軸，交拋物線于點(diǎn)D，求線段DN長(zhǎng)度的最大值37【分析】（1）把A（2，0），C（0，2）代入拋物線的解析式求解即可；（2）由（1）知，該拋物線的解析式為yx2x+2，則易得B（1，0）然后依據(jù)eqoac(,S)AOM2eqoac(,S)BOC列方程求解即可；（3）設(shè)直線AC的解析式為ykx+t，將A（2，0），C（0，2）代入可求得直線AC的解析式，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2），（2x0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2x+2），然后列出ND與x的函數(shù)關(guān)系式，最后再利用配方法求解即可【解析】（1）A（2，0），C（0，2

58、）代入拋物線的解析式y(tǒng)x2+mx+n，得，解得，拋物線的解析式為yx2x+2（2）由（1）知，該拋物線的解析式為yx2x+2，則易得B（1，0），設(shè)M（m，n）然后依據(jù)eqoac(,S)AOM2eqoac(,S)BOC列方程可得：AO|n|2OBOC，2|m2m+2|2，m2+m0或m2+m40，解得x0或1或，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，2）或（1，2）或（，2）或（，2）（3）設(shè)直線AC的解析式為ykx+b，將A（2，0），C（0，2）代入得到，解得，直線AC的解析式為yx+2，設(shè)N（x，x+2）（2x0），則D（x，x2x+2），ND（x2x+2）（x+2）x22x（x+1）2+1，1

59、0，x1時(shí)，ND有最大值1ND的最大值為1【題組二】5（2019梁溪區(qū)校級(jí)二模）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與y軸相交于點(diǎn)A（0，m），其中m0，與x軸相交于點(diǎn)B（4，0）拋物線yax2+bx（a0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，它與直線l相交于另一點(diǎn)C（1）若AC：BC1：3，求a的值（用含m的代數(shù)式表示）；（2）在（1）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為F，其對(duì)稱(chēng)軸與直線l和x軸分別相交于點(diǎn)D、E，當(dāng)以F、C、D為頂點(diǎn)的三角形與BED相似時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式38【分析】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CHOB于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BH3，CH，求得OH1，得到C（1，），解方程組即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)待定系數(shù)法

60、，可得b與a的關(guān)系，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行線分線段成比例，可得OH的長(zhǎng)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得FCD90，根據(jù)相思三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)拋物線的開(kāi)口向上，可得a的值【解析】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CHOB于H，CHOA，BHCBOA，點(diǎn)A（0，m），點(diǎn)B（4，0），OB4，OAm，BH3，CHOH1，C（1，解得：a），；（2）拋物線yax2+bx的圖象過(guò)（4，0）點(diǎn)，16a+4b0，b4a，yax2+bxax24axa（x2）24a的對(duì)稱(chēng)軸是x2，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4a），BC：AC3：1過(guò)點(diǎn)F作FGOB，F(xiàn)G與HC交