人教A版高中數學必修五3.4基本不等式第1課時課件

1、3.4 基本不等式第1課時 基本不等式的推導及其證明 如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客. 你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？合作探究 這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 設直角三角形的兩條直角邊長為a、b, 那么正方形的邊長為 . 將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形. zxxk 由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有

2、結論1：證明： 作差比較 a2+b2-2ab=(a-b)2 當ab時，(a-b)20 得 a2+b22ab 當a=b時，(a-b)2=0 得 a2+b2=2ab 特別地，如果a0,b0,我們用 、 分別代替上面結論中的a、b，可得證明同前面結論1結論2基本不等式的幾何意義 在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD. 你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？ 易證tADtDB，那么 D2AB即D.由于CD不大于圓的半徑 所以 其中當且僅當點C 與圓心重合，即ab時，等號成立.的幾何意義是“半徑不小于半弦” zxxk因此，基本

3、不等式 如果把 看作是正數a、b的等差中項，把 看作是正數a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項. 基本不等式 代數意義 為a、b的算術平均數， 為幾何平均數，那么兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數. 基本不等式的推廣： 若 則 叫做n個正數的算術平均數， 叫做n個正數的幾何平均數.n個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數. 例1. 求證證明：當且僅當a= 即a=1時，等號成立.當且僅當 = 即a=b時，等號成立.證明：由于x、y都是正數，根據基本不等式得例2.已知x、y 都是正數，求證： （xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.（xy）（x

4、2y2）（x3y3）x3y3.三式相乘得當且僅當x=y時等號成立.例3 設a0,b0,且a+b=1,求證：證明一(分析法)(4a+1)(4b+1) 916ab+4a+4b+19 證明二(綜合法)從而 + 例4.若x0，y0，且x+y=2，求x2+y2的最小值解：x2+y22xy， 2(x2+y2)(x+y)2x+y=2，x2+y22即x2+y2的最小值為2,當且僅當x=y=1時取得最小值.1.基本不等式的推導及其意義2.利用基本不等式證明簡單不等式課堂小結 2.甲、乙兩車從A地沿同一路線到達B地，甲車一半時間的速度為a，另一半時間的速度為b；乙車用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若ab，則兩車到達B地的情況是( ) (A)甲車先到達B地 (B)乙車先到達B地 (C)同時到達 (D)不能判定 1.“a0且b0”是“ ”成立的( ) (A)充分而非必要條件 (B)必要而非充分條件 (C)充要條件 (D)既非充分又非必要條件 AA小試牛刀3.已知a、b、c都是正數，求證（ab）（bc）（ca）abc證明：由于a、b、c都是正數，根據基本