高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總(易錯(cuò)、易混、易忘)

1、育英輔導(dǎo)班內(nèi)部資料PAGE PAGE - 162 -高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯編“會(huì)而不對，對而不全”一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個(gè)問題對決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見的66個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過作針對性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自已的理想報(bào)負(fù)?！疽族e(cuò)點(diǎn)1】忽視空集是任何

2、非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。設(shè)，若，求實(shí)數(shù)a組成的集合的子集有多少個(gè)？【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。解析：集合A化簡得，由知故（）當(dāng)時(shí)，即方程無解，此時(shí)a=0符合已知條件（）當(dāng)時(shí)，即方程的解為3或5，代入得或。綜上滿足條件的a組成的集合為，故其子集共有個(gè)?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在應(yīng)用條件ABAB時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，將集合是空集的情況優(yōu)先進(jìn)行討論（2）在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的

3、這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語言（數(shù)學(xué)語言）和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如：，其中,若求r的取值范圍。將集合所表達(dá)的數(shù)學(xué)語言向自然語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點(diǎn)為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以（3，4）為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語言的應(yīng)用?！揪?】已知集合、，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。答案：或。【易錯(cuò)點(diǎn)2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。例2、已知,求的取值范圍【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求解，但極易忽略x

4、、y滿足這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。解析：由于得(x+2)2=1-1，-3x-1從而x2+y2=-3x2-16x-12=+因此當(dāng)x=-1時(shí)x2+y2有最小值1, 當(dāng)x=-時(shí)，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范圍是1, 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來理解條件對x、y的限制，顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則易知-3x-1，。此外本題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解。【練2】（05高考重慶卷）若動(dòng)點(diǎn)（x,y）在曲線上變化，則的最大值為（）（A）（B）（C）（D）答案：A【易錯(cuò)點(diǎn)3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。

5、是R上的奇函數(shù)，（1）求a的值（2）求的反函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。解析：（1）利用（或）求得a=1.（2）由即，設(shè),則由于故，而所以【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略）。（2）應(yīng)用可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值要互換?！揪?】（2004全國理）函數(shù)的反函數(shù)是（）A、 B、C、 D、 答案：B【易錯(cuò)點(diǎn)4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位例4、已知函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖象關(guān)于直線對稱，則的解析式為（）A、 B

6、、 C、 D、【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)易由與互為反函數(shù)，而認(rèn)為的反函數(shù)是則=而錯(cuò)選A。解析：由得從而再求的反函數(shù)得。正確答案：B【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)與函數(shù)并不互為反函數(shù)，他只是表示中x用x-1替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過程來看：設(shè)則，再將x、y互換即得的反函數(shù)為，故的反函數(shù)不是，因此在今后求解此題問題時(shí)一定要謹(jǐn)慎?！揪?】（2004高考福建卷）已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f-1(x)，則函數(shù)y= f-1(1-x)的圖象是（）答案：B【易錯(cuò)點(diǎn)5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。判斷函數(shù)的奇偶性?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而

7、按如下步驟求解：從而得出函數(shù)為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。解析：由函數(shù)的解析式知x滿足即函數(shù)的定義域?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，在定義域下易證即函數(shù)為奇函數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。（2）函數(shù)具有奇偶性，則是對定義域內(nèi)x的恒等式。常常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。【練5】判斷下列函數(shù)的奇偶性：答案：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。函數(shù)的反函數(shù)為，證明是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)。【思維分析】可求的表達(dá)式

8、，再證明。若注意到與具有相同的單調(diào)性和奇偶性，只需研究原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可。解析：，故為奇函數(shù)從而為奇函數(shù)。又令在和上均為增函數(shù)且為增函數(shù)，故在和上分別為增函數(shù)。故分別在和上分別為增函數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即 ?！揪?】（1）（99全國高考題）已知 ，則如下結(jié)論正確的是（）A、 是奇函數(shù)且為增函數(shù) B、 是奇函數(shù)且為減函數(shù)C、 是偶函數(shù)且

9、為增函數(shù) D、 是偶函數(shù)且為減函數(shù)答案：A（2）（2005天津卷）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（）A、 B、 C、 D、答案：A （時(shí)，單調(diào)增函數(shù)，所以.）【易錯(cuò)點(diǎn)7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。例7、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義中的的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)。解析：由于即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可。設(shè) ， 由于 故當(dāng) 時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上增函數(shù)，同理可證函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)

10、，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在和上分別為減函數(shù).【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)引起足夠重視。（2）單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于（小于）零。（3）是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中不能說在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號“”和“或”，【練7】（1） （濰坊市統(tǒng)考題）（1）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在上的單調(diào)性。（2）設(shè)在的最小值為，求的解

11、析式。答案：（1）函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。（2）（2） （2001天津）設(shè)且為R上的偶函數(shù)。（1）求a的值（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并給出證明。答案：（1）（2）函數(shù)在上為增函數(shù)（證明略）【易錯(cuò)點(diǎn)8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。例8、（2004全國高考卷）已知函數(shù)上是減函數(shù)，求a的取值范圍?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如在R上遞減，但。解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則故解得。（2）當(dāng)時(shí)，易知此時(shí)函數(shù)也在R上是減函數(shù)。（3）當(dāng)時(shí)，在R上存在一個(gè)區(qū)間在其上有，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是減

12、函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是。【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】若函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：與為增函數(shù)的關(guān)系:能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系:若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系:為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即為或。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新

13、教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。因此本題在第一步后再對和進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴(yán)密性?！揪?】（1）（2003新課程）函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）A、 B、 C、 D、答案：A（2）是否存在這樣的K值，使函數(shù)在上遞減，在上遞增？答案：。（提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，但是函數(shù)在上遞減，在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出K值后要檢驗(yàn)。）【易錯(cuò)點(diǎn)9】

14、應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。例9、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。錯(cuò)解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)2+(b+)2的最小值是8【易錯(cuò)點(diǎn)分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。解析：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-+4=(1-2ab)(1+)+4由a

15、b()2= 得：1-2ab1-=,且16，1+17原式17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號成立)(a+)2+(b+)2的最小值是?！局R(shí)歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)?！揪?】（97全國卷文22理22）甲、乙兩地相距s km , 汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km/h ,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（k

16、m/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案為:（1）（2）使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)c時(shí)，行駛速度v=；當(dāng)c時(shí)，行駛速度v=c?！疽族e(cuò)點(diǎn)10】在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識(shí)和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。例10、是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)在上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在，說明理由?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大。解析：函數(shù)是由和復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法（1）當(dāng)a1時(shí)，若使在上是增函數(shù)，則

17、在上是增函數(shù)且大于零。故有解得a1。（2）當(dāng)a1使得函數(shù)在上是增函數(shù)【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1），特別在解決涉及指、對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）?！揪?0】（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)，且試求函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間。答案：當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。（2）（2005 高考天津）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A、 B、

18、C、 D、答案：B.（記，則當(dāng)時(shí)，要使得是增函數(shù)，則需有恒成立，所以.矛盾.排除C、D當(dāng)時(shí)，要使是函數(shù)，則需有恒成立，所以.排除A）【易錯(cuò)點(diǎn)11】 用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性例11、已知求的最大值【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而利用換元的思想令將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成錯(cuò)解，解析：由已知條件有且（結(jié)合）得，而=令則原式=根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)即時(shí)，原式取得最大值?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是

19、“能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡化?！揪?1】（1）（高考變式題）設(shè)a0，000求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。答案：f(x)的最小值為2a2a，最大值為（2）

20、不等式ax的解集是(4,b)，則a_，b_。答案：（提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為）【易錯(cuò)點(diǎn)12】已知求時(shí), 易忽略n的情況例12、（2005高考北京卷）數(shù)列前n項(xiàng)和且。（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用與的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。解析：易求得。由得故得又，故該數(shù)列從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于數(shù)列與之間有如下關(guān)系：利用兩者之間的關(guān)系可以已知求。但注意只有在當(dāng)適合時(shí)兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)的形式。【練12】（2004全國理）已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項(xiàng)為 。答案：（

21、將條件右端視為數(shù)列的前n-1項(xiàng)和利用公式法解答即可）【易錯(cuò)點(diǎn)13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從1開始）例13、等差數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，。問n為何值時(shí)最大?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。解析：由題意知=此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，故即此二次函數(shù)開口向下，故由得當(dāng)時(shí)取得最大值，但由于，故若為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，最大。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)最大?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子

22、集（從1開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問題。特別的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如所對應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。此時(shí)由知數(shù)列中的點(diǎn)是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)論。此外形如前n項(xiàng)和所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和?！揪?3】（2001全國高考題）設(shè)是等差數(shù)列，是前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、B、C、 D、和均為的最大值。答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）【易錯(cuò)點(diǎn)14】解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁

23、瑣。例14、已知關(guān)于的方程和的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求的值?！舅季S分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。解析：不妨設(shè)是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程的兩根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：故從而=?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數(shù)列，若，則；對于等比數(shù)列，若，則；若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，

24、那么，成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。【練14】（2003全國理天津理）已知方程和的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則=（） A、1 B、 C、 D、答案：C【易錯(cuò)點(diǎn)15】用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比的情況例15、數(shù)列中，數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列。（ = 1 * ROMAN I）求使成立的的取值范圍；（ = 2 * ROMAN II）求數(shù)列的前項(xiàng)的和【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受阻。解：（ = 1 * ROMAN I）

25、數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由得，即（），解得（ = 2 * ROMAN II）由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，這表明數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤?！揪?5】（2005高考全國卷一第一問）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和

26、（1）求q的取值范圍。答案：【易錯(cuò)點(diǎn)16】在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位。例16、（2003北京理）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令求數(shù)列前項(xiàng)和的公式?！舅季S分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式再由數(shù)列的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。解析：（1）易求得（2）由（1）得令（）則（）用（）減去（）（注意錯(cuò)過一位再相減）得當(dāng)當(dāng)時(shí)綜上可得：當(dāng)當(dāng)時(shí)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對于數(shù)列有其中數(shù)列和分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可通過在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基

27、礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過一項(xiàng)相減的方法來求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例?！揪?6】（2005全國卷一理）已知當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和答案：時(shí)當(dāng)時(shí).【易錯(cuò)點(diǎn)17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。例17、求【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過程中，對消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得，取，就分別得到，【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】“裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)（也可三

28、個(gè)或更多）相乘，且這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般情況下剩余項(xiàng)是前后對稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項(xiàng)，即，問題會(huì)很容易解決。另外還有一些類似“裂項(xiàng)法”的題目，如：，求其前項(xiàng)和，可通過分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。【練17】（2005濟(jì)南統(tǒng)考）求和答案：【易錯(cuò)點(diǎn)18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例18、（2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20）設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.()若首項(xiàng) EQ

29、F(3,2) ，公差，求滿足的正整數(shù)k；()求所有的無窮等差數(shù)列an，使得對于一切正整數(shù)k都有成立.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.學(xué)生在解第()時(shí)極易根據(jù)條件“對于一切正整數(shù)k都有成立”這句話將k取兩個(gè)特殊值確定出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但沒有認(rèn)識(shí)到求解出的等差數(shù)列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。解：（I）當(dāng)時(shí)由，即 又.（II）設(shè)數(shù)列an的公差為d，則在中分別取k=1,2,得（1）（2）由（1）得 當(dāng)若成立,若故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)若若.綜上，共有3個(gè)滿足條件的無窮等差數(shù)列：an : an=

30、0，即0，0，0，；an : an=1，即1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上，“條件中使得對于一切正整數(shù)k都有成立.”就等價(jià)于關(guān)于k的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)為零，于是本題也可采用這程等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯(cuò)誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系?！揪?8】（1）（2000全國）已知數(shù)列,其中,且數(shù)列為等比數(shù)列.求常數(shù)p答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，再說明p值對任意自然數(shù)n都成立）【易錯(cuò)點(diǎn)19】用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)（或交

31、點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.例19、已知雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程后，易忽視對方程的種類進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。解析：聯(lián)立方程組消去y得到（1）當(dāng)時(shí)，即，方程為關(guān)于x的一次方程，此時(shí)方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)（3）當(dāng)時(shí)，方程組有兩個(gè)交點(diǎn)此時(shí)且。（4）當(dāng)時(shí)即或時(shí)方程組無解此時(shí)直線與

32、雙曲線無交點(diǎn)。綜上知當(dāng)或時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且。時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)方程組無解此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個(gè)數(shù)對應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線相交但只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過這一點(diǎn)也說明直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深體會(huì)這種數(shù)與形的統(tǒng)一。【練19】（1）（2005重慶卷）已

33、知橢圓的方程為，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為的左右頂點(diǎn)，而的左右頂點(diǎn)分別是的左右焦點(diǎn)。（1）求雙曲線的方程（2）若直線與橢圓及雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足，其中O為原點(diǎn)，求k的取值范圍。答案：（1）（2）（2）已知雙曲線C： ，過點(diǎn)P（1，1）作直線l, 使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有_條。答案：4條（可知kl存在時(shí)，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-(1-k2)-4=0, 當(dāng)4-k2=0即k=2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k2時(shí)，由=0有，有一個(gè)切點(diǎn)另：當(dāng)kl不存在時(shí)，x=1也和曲線C有一個(gè)切點(diǎn)綜上，共有4條滿足條件的

34、直線）【易錯(cuò)點(diǎn)20】易遺忘關(guān)于和齊次式的處理方法。例20、已知，求（1）；（2）的值.【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用可將（2）式分子分母除去即可。解：（1）； (2) .【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過程簡化。這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用【練20】（2004年湖北卷理科）已知的值.答案：（原式可化為，）【易錯(cuò)點(diǎn)21】解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第n項(xiàng)與數(shù)列的前n項(xiàng)和混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤解答。例21、如果能將一張厚度為0.05mm的報(bào)紙對拆,再對拆對拆50次后,報(bào)紙的厚度是多少?你相信這時(shí)報(bào)

35、紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(已知地球與月球的距離約為米)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對拆50次后,報(bào)紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第n項(xiàng),易誤理解為是比等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。解析：對拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對拆厚度構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列是以米為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。從而對拆50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第51項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得a51=0.0510-3250=5.631010,而地球和月球間的距離為41080，所以.猜測：當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變. （）若b的值使得0，由 知 , 特別地，有. 即，而(0, 2)，所以，由此猜測b的最大允許值是1. 下證 當(dāng)(0,

36、 2) ，b=1時(shí)，都有(0, 2), 。 當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即(0, 2),則當(dāng)n=k+1時(shí)，.又因?yàn)?所以(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.由、可知，對于任意的，都有(0,2).綜上所述，為保證對任意(0, 2), 都有0， ，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。數(shù)學(xué)歸

37、納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n1(或n)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在nk時(shí)命題成立，再證明nk1時(shí)命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或nn且nN）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，關(guān)鍵是nk1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解

38、題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等?！揪?4】（2005年全國卷統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）（）設(shè)函數(shù)，求的最小值；（）設(shè)正數(shù)滿足，證明答案：（）（）用數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）（2005高考遼寧）已知函數(shù)設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列滿足 （）用數(shù)學(xué)歸納法證明； （）證明【易錯(cuò)點(diǎn)35】涉及向量的有關(guān)概念、運(yùn)算律的理解與應(yīng)用。易產(chǎn)生概念性錯(cuò)誤。例35、下列命題：|=|若則，則存在唯一實(shí)數(shù)，使若，且，則設(shè)是平面內(nèi)兩向量，則對于平面內(nèi)任何一向量，都存在唯一一組實(shí)

39、數(shù)x、y，使成立。若|+|=|則=0。=0，則=或=真命題個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D3個(gè)以上【易錯(cuò)點(diǎn)分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運(yùn)算法則等是向量一章中正確應(yīng)用向量知識(shí)解決有關(guān)問題的前提，在這里學(xué)生極易將向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算等同起來，如認(rèn)為向量的數(shù)量積的運(yùn)算和實(shí)數(shù)一樣滿足交換律產(chǎn)生一些錯(cuò)誤的結(jié)論。解析：正確。根據(jù)向量模的計(jì)算判斷。錯(cuò)誤，向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足交換律,這是因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義表示和向量共線的向量，同理表示和向量共線的向量，顯然向量和向量不一定是共線向量，故不一定成立。錯(cuò)誤。應(yīng)為錯(cuò)誤。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。錯(cuò)誤。應(yīng)

40、加條件“非零向量”錯(cuò)誤。向量不滿足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義，只需向量和向量在向量方向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無數(shù)多個(gè)。錯(cuò)誤。注意平面向量的基本定理的前提有向量是不共線的向量即一組基底。正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，即四邊形為矩形。故=0。錯(cuò)誤。只需兩向量垂直即可。答案：B【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí)，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答，要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處。一般地已知，和實(shí)數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律： (交換律)（）（）（） (數(shù)乘結(jié)合律)() (分配律)說明：（1）一般

41、地，()（）（2），0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（），()【練35】（1）（2002上海春，13）若a、b、c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）c=ac+bc C.m（a+b）=ma+mb D.（ab）c=a（bc）（2）(2000江西、山西、天津理，4)設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（ab）c（ca）b=0 |a|b|0的的取值范圍.答案：，()【易錯(cuò)點(diǎn)42】向量與解析幾何的交匯例42、（03年新課程高考）已知常數(shù)a0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過原點(diǎn)O以c+i為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A（0，a

42、）以i2c為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中R.試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題綜合程度較高，一方面學(xué)生對題意的理解如對方向向量的概念的理解有誤，另一面在向量的問題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來解答，使思維陷入僵局。解析：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.i=（1，0），c=（0，a）， c+i=（，a），i2c=（1，2a）因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .消去參數(shù)，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.整理得 因?yàn)樗缘茫海╥）當(dāng)時(shí)，方程是圓

43、方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；（ii）當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，方程也表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律，在解題過程中一方面要注意在給出的向量問題情景中轉(zhuǎn)化出來另一方面也要注意應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決解析幾何問題如：線段的比值、長度、夾角特別是垂直、點(diǎn)共線等問題，提高自已應(yīng)用向量知識(shí)解決解析幾何問題的意識(shí)?！揪?2】（1）（2005全國卷

44、1）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線。（）求橢圓的離心率；（）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。答案：（1）（2）=1（2） （02年新課程高考天津卷）已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），且點(diǎn)P使，,成公差小于零的等差數(shù)列（1）點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（），記為與的夾角，求；答案：點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓tan=|y| （3）（2001高考江西、山西、天津）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2=2x與過焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn)，則等于（ ）A. B. C.3 D.3答案：B【易錯(cuò)點(diǎn)43】解析幾何與向量的

45、數(shù)量積的性質(zhì)如涉及模、夾角等的結(jié)合。例43、已知橢圓C：上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn),其中的距離的最小值為1.（1）請確定M點(diǎn)的坐標(biāo)（2）試問是否存在經(jīng)過M點(diǎn)的直線,使與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿足條件（O為原點(diǎn)）,若存在,求出的方程,若不存在請說是理由。【思維分析】此題解題關(guān)鍵是由條件知從而將條件轉(zhuǎn)化點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算再結(jié)合韋達(dá)定理解答。解析：設(shè)，由得故由于且故當(dāng)時(shí)，的最小值為此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為解得不合題意舍去。綜上所知當(dāng)是滿足題意此時(shí)M的坐標(biāo)為（1，0）。（2）由題意知條件等價(jià)于，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，與C的交點(diǎn)為，此時(shí)，設(shè)的方程為，代入橢圓方程整理得，由于點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部故恒成立，由知即，據(jù)韋達(dá)定理得，代入上式

46、得得不合題意。綜上知這樣的直線不存在。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在解題過程中要注意將在向量給出的條件轉(zhuǎn)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而與兩交點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來才自然應(yīng)用韋達(dá)定理建立起關(guān)系式。此題解答具有很強(qiáng)的示范性，請同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)、融會(huì)貫通?！揪?3】已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以右焦點(diǎn)為圓心，過另一焦點(diǎn)的圓被右準(zhǔn)線截的兩段弧長之比2:1,為此平面上一定點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程（2）若直線與橢圓交于如圖兩點(diǎn)A、B，令。求函數(shù)的值域答案：（1）（2）易錯(cuò)點(diǎn)44牢記常用的求導(dǎo)公式，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.例44、函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 。易錯(cuò)點(diǎn)分析復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)

47、數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)，即。解析： 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，分步計(jì)算中的每一步都要明確是對哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)。練習(xí)44（2003年江蘇，21）已知，n為正整數(shù)。設(shè)，證明；設(shè)，對任意，證明解析：證明：（1）（2）對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：，當(dāng)時(shí)， 是關(guān)于x的增函數(shù)因此，當(dāng)時(shí)，。即對任意，.【易錯(cuò)點(diǎn)45】求曲線的切線方程。例45、（2005高考福建卷）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（1，f（1）處的切線方程為. （）求函數(shù)的解析式；【思維分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解答。解析：（）由的圖象經(jīng)過P（0，2）

48、，知d=2，所以由在處的切線方程是，知故所求的解析式是【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步： (1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為 特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義作為解題工具，有可能出現(xiàn)在解析幾何綜合試題中，復(fù)習(xí)時(shí)要注意到這一點(diǎn).【練45】（1）（2005福建卷）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)M（1，f(x)）處的切線

49、方程為x+2y+5=0.（）求函數(shù)y=f(x)的解析式；答案：（2）（2005高考湖南卷）設(shè)，點(diǎn)P（，0）是函數(shù)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.（）用表示a，b，c；答案：故，【易錯(cuò)點(diǎn)46】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域。例46、( 2005全國卷III)已知函數(shù)，（）求的單調(diào)區(qū)間和值域；（）設(shè)，函數(shù)，若對于任意，總存在使得成立，求的取值范圍。【易錯(cuò)點(diǎn)分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間仍然要樹立起定義域優(yōu)先的意識(shí)，同時(shí)要培養(yǎng)自已的求導(dǎo)及解不等式的運(yùn)算能力第（）問要注意將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化即轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上的值域是函數(shù)的值域的子集，從而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)在區(qū)間上的值域。解析()

50、，令解得或,在，所以為單調(diào)遞減函數(shù)；在，所以為單調(diào)遞增函數(shù)；又，即的值域?yàn)?4，-3，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的值域?yàn)?4，-3.( 單調(diào)區(qū)間為閉區(qū)間也可以).（）,又，當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，有.又，即當(dāng)時(shí)，有，任給，有，存在使得，則又，所以的取值范圍是。【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】高考對導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問題的工具出現(xiàn)，側(cè)重于考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與解析幾何中的應(yīng)用，主要有以下幾個(gè)方面：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)最值問題，一直是高考長考不衰的熱點(diǎn)內(nèi)容另一方面，從數(shù)學(xué)角度反映實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值與最小值問題，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，順利地解決函數(shù)的

51、最大值與最小值問題，從而進(jìn)一步地解決實(shí)際問題用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)比用初等方法研究要方便得多，因此，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作為2006年高考命題重點(diǎn)應(yīng)引起高度注意單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間，對于函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并:函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個(gè)區(qū)間。 【練46】（1）（2005高考北京卷）已知函數(shù)f(x)=x33x29xa

52、, （I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（ = 2 * ROMAN II）若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值答案：（1）（，1），（3，）（2）7（2）(2005 全國卷III)用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大?最大容積是多少?答案：當(dāng)x=10時(shí),V有最大值V(10)=1960【易錯(cuò)點(diǎn)47】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)中，因a與b的順序顛倒而容易出錯(cuò)。例47、展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162，則x的一次項(xiàng)為 ?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】本題中若與的順

53、序顛倒，項(xiàng)隨之發(fā)生變化，導(dǎo)致出錯(cuò)。解析：椐題意有：由【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】二項(xiàng)式的展開式相同，但通項(xiàng)公式不同，對應(yīng)項(xiàng)也不相同，在遇到類似問題時(shí)，要注意區(qū)分。【練47】（濰坊高三質(zhì)量檢測）展開式中第5項(xiàng)與第12項(xiàng)系數(shù)的絕對值相等，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為 。解析：據(jù)題意有，即令得：故展開式中常數(shù)項(xiàng)為：【易錯(cuò)點(diǎn)48】二項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的概念掌握不清，容易混淆，導(dǎo)致出錯(cuò)。例48、在的展開式中，的系數(shù)為 ，二項(xiàng)式系數(shù)為 。【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在通項(xiàng)公式中，是二項(xiàng)式系數(shù)，是項(xiàng)的系數(shù)。解析：令，得，則項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，項(xiàng)的系數(shù)為。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在二項(xiàng)展開式中，利用通項(xiàng)公式求展開式中具有某些特性的項(xiàng)是

54、一類典型問題，其通常做法就是確定通項(xiàng)公式中r的取值或取值范圍，須注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系?！揪?8】（2005高考山東卷）如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（ ）（A）7 （B） （C）21 （D）答案：當(dāng)時(shí)即,根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式得時(shí)對應(yīng),即故項(xiàng)系數(shù)為.【易錯(cuò)點(diǎn)49】二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念，在求法上也有很大的差別，在次往往因?yàn)楦拍畈磺鍖?dǎo)致出錯(cuò)。例49、已知的展開式中，第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比為10：1求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)可由其二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一

55、項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，同時(shí)取得最大值，求系數(shù)的最大值項(xiàng)的位置不一定在中間，需要利用通項(xiàng)公式，根據(jù)系數(shù)值的增減性具體討論而定。解析：由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為，第三項(xiàng)的系數(shù)為，則有，設(shè)展開式中的第r項(xiàng)，第r+1項(xiàng)，第r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對值分別為，若第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大，則，解得：系數(shù)最大值為由知第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)，但當(dāng)a，b的系數(shù)不為1時(shí)，最大系數(shù)值的位置不一定在中間，可通過解不等式組來確定之?！揪?9】（2000年上海）在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為 。（結(jié)果用數(shù)值表示）解析：展開式中

56、第r+1項(xiàng)為，要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則r為奇數(shù)，且使為最大，由此得，所以項(xiàng)的系數(shù)為。【易錯(cuò)點(diǎn)50】對于排列組合問題，不能分清是否與順序有關(guān)而導(dǎo)致方法出錯(cuò)。例50、有六本不同的書按下列方式分配，問共有多少種不同的分配方式？分成1本、2本、3本三組；分給甲、乙、丙三人，其中1人1本，1 人兩本，1人3本；平均分成三組，每組2本；分給甲、乙、丙三人，每人2本?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】分成三組是與順序無關(guān)是組合問題，分給三人與順序有關(guān)，是排列問題。解析：(1)分三步：先選一本有種選法，再從余下的5本中選兩本，有種選法，最后余下的三本全選有種選法，有分步計(jì)數(shù)原理知，分配方式有：（2）由于甲、乙、丙是不同的三個(gè)人，在（

57、1）題的基礎(chǔ)上，還考慮再分配問題，分配方式共有種。（3）先分三步：則應(yīng)是種方法，但在這里容易出現(xiàn)重復(fù)。不妨記六本書為若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF）則中還有（AB，EF，CD），（CD，EF，AB）（CD，AB，EF），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共種情況，而且這些情況僅是AB，CD，EF順序不同，依次只能作為一種分法，故分配方式有種在問題（3）的基礎(chǔ)上，再分配即可，共有分配方式種?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】本題是有關(guān)分組與分配的問題，是一類極易出錯(cuò)的題型，對于詞類問題的關(guān)鍵是搞清楚是否與順序有關(guān)，分清先選后排，分類還是分步完成等，對于平

58、均分組問題更要注意順序，避免計(jì)算重復(fù)或遺漏?！揪?0】（2004年全國9）從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到三個(gè)班擔(dān)任班主任（每班一位班主任），要求這三位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方法共有（ ）210種 B、420種 C、630種 D、840種解析：首先選擇3位教師的方案有：一男兩女；計(jì)；兩男一女：計(jì)=40。其次派出3位教師的方案是=6。故不同的選派方案共有種?！疽族e(cuò)點(diǎn)51】不能正確分析幾種常見的排列問題，不能恰當(dāng)?shù)倪x擇排列的方法導(dǎo)致出錯(cuò)。例51、四個(gè)男同學(xué)和三個(gè)女同學(xué)站成一排。三個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？其中

59、甲、乙兩同學(xué)之間必須恰有3人，有多少種不同的排法？甲、乙兩人相鄰，但都與丙不相鄰，有多少種不同的排法？女同學(xué)從左往右按高矮順序排，有多少種不同的排法？（三個(gè)女生身高互不相等）【易錯(cuò)點(diǎn)分析】排列問題常見題型有相鄰問題及不相鄰問題，順序一定問題等，如果對題意理解不夠充分，往往選擇錯(cuò)誤的方法。解析：（1）3個(gè)女同學(xué)是特殊元素，我們先把她們排列好，共有種排法；由于3 個(gè)同學(xué)必須排在一起，我們可視排好的女同學(xué)為一個(gè)整體，在與男同學(xué)排隊(duì)，這時(shí)是五個(gè)元素的全排列，應(yīng)有種排法。由乘法原理，有種不同排法。（2）先將男生排好，共有種排法；再在這4個(gè)男生的中間及兩頭的5 個(gè)空中插入3個(gè)女生，有種方案。故符合條件的排

60、法共有種。（3）甲、乙2人先排好，共有種排法；再從余下的5人中選三人排在甲、乙2人中間，有種排法，這時(shí)把已排好的5人看作一個(gè)整體，與剩下的2人再排，又有種排法；這樣，總共有種不同的排法。（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有種排法，由于甲、乙要相鄰，故把甲、乙排好，有種排法；最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的空當(dāng)中，有種排法；這樣，總共有種不同的排法。（5）從七個(gè)位置中選出4個(gè)位置把男生排好，有種排法；然后再在余下得個(gè)空位置中排女生，由于女生要按高矮排列。故僅有一種排法。這樣總共有種不同的排法?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】解決有限制條件的排列問題方法是：直接法：間接法：即排除不符