萬變不離其宗2017高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修四五專題一三角函數(shù)Word版含解析

1、專題一三角函數(shù)一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)1角的有關(guān)概念從運(yùn)動(dòng)的角度看,角可分為正角、負(fù)角和零角從終邊位置來看,角可分為象限角與軸線角若與是終邊相同的角,則用表示為2k,kZ2弧度制定義：把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,正角的弧度數(shù)是正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是零(2)角度制和弧度制的互化：rad,1rad180180rad,1180112(3)扇形的弧長公式：l|r,扇形的面積公式：S2lr2|r3任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么定義y叫做的正切,記作tany叫做的正弦,記作sinx叫做的余弦,記作cosx三

2、角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21sin(2)商數(shù)關(guān)系：tancos5六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2k(kZ)22正弦sinsin_sinsincos_cos余弦coscoscos_cossinsin_正切tantantantan_函數(shù)名不變口訣符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限6.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)ysinxycosxytanx圖象x|xR且xk定義域RR2,kZ值域1,1周期性2奇偶性奇函數(shù)2k2,2k單調(diào)性2(kZ)為增；2k32,2k2(kZ)為減對(duì)稱中心(k,0)(kZ)對(duì)稱軸

3、xk(kZ)27yAsin(x)的有關(guān)概念1,12偶函數(shù)2k,2k(kZ)為減；2k,2k(kZ)為增(k2,0)(kZ)xk(kZ)R奇函數(shù)k2，k2(kZ)為增k(2,0)(kZ)無yAsin(x振幅周期頻率相位初相)(A0,0),x0,21)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)ATfT2x8.用五點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖用五點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí),要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),如下表所示：32x22x03222yAsin(x)0A0A0二、題之本：思想方法技巧1要注意銳角與第一象限角的區(qū)別,銳角的集合僅是第一象限角的集合的一個(gè)真子集,即銳角是第一象限角,但第一象限角不一定是銳角2在同一個(gè)式

4、子中,采用的度量制必須一致,不可混用如2k30(kZ),k3602(kZ)的寫法都是不正確的3一般情況下,在弧度制下計(jì)算扇形的弧長和面積比在角度制下計(jì)算更方便、簡捷,若含有參數(shù),則要注意對(duì)4已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)可利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值可能情況進(jìn)行分類討論5牢記各象限三角函數(shù)值的符號(hào),在計(jì)算或化簡三角函數(shù)關(guān)系時(shí),要注意對(duì)角的范圍以及三角函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行討論62k表示與終邊相同的角,其大小為與的偶數(shù)倍(而不是整數(shù)倍)的和,是的整數(shù)倍時(shí),要分類討論如：(1)sin(2k)sin；sin（k為偶數(shù)），(2)sin(k)(1)ksin.sin（k為奇數(shù)）在解簡單的三角不等式時(shí),利用單位圓及三

5、角函數(shù)線是一個(gè)小技巧7誘導(dǎo)公式用角度制和弧度制表示都可,運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意函數(shù)名稱是否要改變以及正負(fù)號(hào)的選8取已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值,求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值,這類問題用同角三角函數(shù)的9基本關(guān)系式求解,一般分為三種情況：(1)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值和這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置都是已知的,此類情況只有一組解(2)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是已知的,但這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置沒有給出,解答這類問題,首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置,然后分不同的情況求解(3)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的,此類情況須對(duì)字母進(jìn)行討論,并注意適當(dāng)選取分類標(biāo)準(zhǔn),一般有兩

6、組解10計(jì)算、化簡三角函數(shù)式常用技巧減少不同名的三角函數(shù),或化切為弦,或化弦為切,如涉及sin,cos的齊次分式問題,常采用分子分母同除以cosn(nN*),這樣可以將被求式化為關(guān)于tan的式子巧用“1進(jìn)”行變形,如1sin2cos2tan45等平方關(guān)系式需開方時(shí),應(yīng)慎重考慮符號(hào)的選取(4)理解sincos,sincos的內(nèi)在聯(lián)系,利用(sincos)212sincos,可知一求二常見結(jié)論：(sincos)21sin2;sin4cos4cos2；sin4cos412sin2cos2；sin2cos41sin2cos2；tan12；tansin2tan12tan.tan211三角函數(shù)的定義域、值

7、域三角函數(shù)的定義域的求法三角函數(shù)的定義域是研究其他一切性質(zhì)的前提,求三角函數(shù)的定義域事實(shí)上就是解最簡單的三角不等式(組)一般可用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線來確定三角不等式的解列三角不等式時(shí),要考慮全面,避免遺漏,既要考慮分式的分母不能為零；偶次方根的被開方數(shù)不小于零；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零及底數(shù)大于零且不等于1,又要考慮三角函數(shù)本身的定義域(如正切函數(shù)等)(2)三角函數(shù)值域的求法三角函數(shù)的值域問題,大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)值域問題,常用的方法為：化為代數(shù)函數(shù)的值域,也可以通過三角恒等變形化為求yAsin(x)B的值域；或化為關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)式,再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為二次

8、函數(shù)在限定區(qū)間上的值域12判斷三角函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性,應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對(duì)稱性,注意偶函數(shù)的和、差、積、商仍為偶函數(shù)；復(fù)合函數(shù)在復(fù)合過程中,對(duì)每個(gè)函數(shù)而言,“同奇才奇、一偶則偶”一般情況下,需先對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡,再判斷其奇偶性13求三角函數(shù)的周期求三角函數(shù)的周期,通常應(yīng)將函數(shù)式化為只有一個(gè)函數(shù)名,且角度唯一,最高次數(shù)為一次的形式,然后借助于常見三角函數(shù)的周期來求(2)三角函數(shù)的最小正周期的求法有：由定義出發(fā)去探求；公式法：化成yAsin(x),或yAtan(x)等類型后,用基本結(jié)論T2|或T來確定；根據(jù)圖象來判斷|ysin4xcos4x,ysin2xcos4x的最小正周期都是。21

9、4三角函數(shù)的單調(diào)性(1)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定,一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式,然后通過同解變形或利用數(shù)形結(jié)合方法求解關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法,參見“2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值”(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小,必須先看兩角是否同屬于這一函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),不屬于的,可先化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)若不是同名三角函數(shù),則應(yīng)考慮化為同名三角函數(shù)或用差值法(例如與0比較,與1比較等)求解15五點(diǎn)法作函數(shù)圖象及函數(shù)圖象變換問題(1)當(dāng)明確了函數(shù)圖象基本特征后,“描點(diǎn)法”是作函數(shù)圖象的快捷方式“五點(diǎn)法”作圖的優(yōu)點(diǎn)是用簡單的計(jì)算、列表、描點(diǎn)替代圖形變換,不易出錯(cuò),且圖形簡潔(

10、2)在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換時(shí),提倡“先平移,后伸縮”,而“先伸縮,后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中,所以也必須熟練掌握,但要注意：先伸縮后平移時(shí)要把x前面的系數(shù)提取出來16根據(jù)yAsin(x),xR的圖象求解析式的步驟：首先確定振幅和周期,從而得到A與.1)A為離開平衡位置的最大距離,即最大值與最小值的差的一半2)由周期得到：函數(shù)圖象在其對(duì)稱軸處取得最大值或最小值,且相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為函數(shù)的半個(gè)周期；函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對(duì)稱中心,相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離也是函數(shù)的半個(gè)周期；一條對(duì)稱軸與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心間的距離為函數(shù)的1個(gè)周期4(借助圖象很好理解記憶)求的值時(shí)最好選用最值點(diǎn)求峰點(diǎn)：x

11、2k；谷點(diǎn)：x2k.22也可用零點(diǎn)求,但要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn),還是降零點(diǎn)升零點(diǎn)(圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))：x2k；降零點(diǎn)(圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))：x2k(以上kZ)17.f(x)=Asin（x）（A0，0）的圖象關(guān)于直線x=t對(duì)稱f(t)=A；f(x)=Asin（x）0，的圖象關(guān)于點(diǎn)（t,0）對(duì)稱f(t)=0；（A0）18三角函數(shù)模型的三種模式在現(xiàn)實(shí)生活中,許多變化的現(xiàn)象都具有周期性,因此,可以用三角函數(shù)模型來描述如：氣象方面有溫度的變化,天文學(xué)方面有白晝時(shí)間的變化,物理學(xué)方面有各種各樣的振動(dòng)波,生理方面有人的情緒、智力、體力變化等研究這些應(yīng)用問題,主要有以下三種模式：給定呈周期變化規(guī)律的三

12、角函數(shù)模型,根據(jù)所給模型,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),解決一些實(shí)際問題；給定呈周期變化的圖象,利用待定系數(shù)法求出函數(shù),再解決其他問題；搜集一個(gè)實(shí)際問題的調(diào)查數(shù)據(jù),根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,通過擬合函數(shù)圖象,求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)式,進(jìn)一步用函數(shù)性質(zhì)來解決相應(yīng)的實(shí)際問題19三角函數(shù)應(yīng)用問題解題流程三角函數(shù)應(yīng)用題通常涉及生產(chǎn)、生活、軍事、天文、地理和物理等實(shí)際問題,利用三角函數(shù)的周期性、有界性等,可以解決很多問題,其解題流程大致是：審讀題目,理解題意設(shè)角,建立三角函數(shù)模型分析三角函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題其中根據(jù)實(shí)際問題的背景材料,建立三角函數(shù)關(guān)系,是解決問題的關(guān)鍵在解決實(shí)際問題時(shí),要具體問題具體分析,充分

13、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,靈活運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)三、題之變：課本典例改編1.原題（必修4第十頁A組第五題）改編1下列說法中正確的是()A第一象限角一定不是負(fù)角B831是第四象限角C鈍角一定是第二象限角D終邊與始邊均相同的角一定相等【答案】C.【解析】33036030,所以330是第一象限角,所以A錯(cuò)誤；831(3)360249,所以831是第三象限角,所以B錯(cuò)誤；0角,360角終邊與始邊均相同,但它們不相等,所以D錯(cuò)誤改編2已知為第二象限角,那么是（）3A.第一或第二象限角B.第一或四象限角C.第二或四象限角D.第一、二或第四象限角【答案】D.【解析】k36090k360180,kz,k120

14、30k12060,kz3（1）當(dāng)k3nnz時(shí),n36030n360180,nz,此時(shí)為第一象限角；33（2）當(dāng)k3n1nz時(shí),n360150n360180,為第二象限3nz此時(shí)3角；（3）當(dāng)k3n2nz時(shí),360270n360300,為第四象限角.選n此時(shí)33D.改編3設(shè)角屬于第二象限,且coscos,則角屬于（）222A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】C.2.原題（必修4第十頁B組第二題）改編時(shí)鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A.1414773B3C.18D18【答案】B.【解析】顯然分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里,順時(shí)針轉(zhuǎn)過了兩周又一周的13,用弧度制

15、表114.故選B.示就是42333.原題（必修4第十九頁例6）改編（1）已知sin1,且為第二象限角,求tan；（2）3已知sin=m(m0,m1),求tan.4.原題（必修4第十九頁例7）改編若asincos1,bsincos1,則ab的值是（）A.0B.1C.-1D.2【答案】B.【解析】由已知有：asin1cos,bsin1cos；兩式相乘得：absin21cos1cos1co2s2sinab1sin20又sin0ab15.原題（必修4第二十二頁習(xí)題1.2B組第二題）改編1sin2x1sin2x為化簡sin2x1sin2x1（）A.2tanxC.2tanxB.2tanxD.不能確定【答案

16、】C.2tan2xxk4,k4【解析】C.原式=32tan2xxk,k446.原題（必修4第二十二頁B組第三題）改編已知tan2sincos；2,計(jì)算：（1）2cossin（2）sin2sincos2cos2【解析】（1）原式2tan13；（2）原式sin2sincos2cos2tan24sin2cos2tan2tan24tan2157.原題（必修4第二十三頁探究）改編1化簡12sin(2)cos(2)得()A.sin2cos2B.cos2sin2C.sin2cos2cos2sin2D.【答案】C.改編2設(shè)函數(shù)f(x)asin(x)bcos(x)4(其中a、b、為非零實(shí)數(shù)),若f(2001)5

17、,則f(2010)的值是()A.5B.3C.8D.不能確定【答案】B.【解析】f(2001)asin(2001)bcos(2001)4asin()bcos()asinbcos45,asinbcos1,f(2010)asin(2010)bcos(2010)4asinbcos41438.原題（必修4第二十七頁例4）改編已知角x終邊上的一點(diǎn)P（-4,3）,則cosxsinx2的值為.9cosxsinx22cosxsinxsinxsinx【解析】2,可知9sinxtanx,根據(jù)三角函數(shù)的定義cosxsincosxx22tanxy3,所以原式=-tanx3x449.原題（必修4第四十一頁練習(xí)題6）改編函

18、數(shù)ylog1cosx的單調(diào)遞增區(qū)間324為.【答案】36k,36kkz4410.原題（必修4第五十三頁例1）改編設(shè)0,函數(shù)ysinx的圖象向右平移43個(gè)單位3后與原圖象重合,則的最小值是()243A.3B.3C.2D3【答案】C.4【解析】函數(shù)ysinx3的圖象向右平移3個(gè)單位所得的函數(shù)解析式為ysinx44,又因?yàn)楹瘮?shù)ysinx的圖象向右平移43sinx33個(gè)單位后333與原圖象重合,43332k?2k(kZ),0,的最小值為2,故選C.原題（必修4第五十六頁練習(xí)題3）改編ysinx2的振幅為_,頻率和初11.4相分別為_,_.【解析】21412.原題（必修4第五十八頁例4）改編某正弦交流電的電壓（單位V）隨時(shí)間t（單位：s）變化的函數(shù)關(guān)系是v1202sin(100t),t0,).6（1）求該正弦交流電電壓的周期、頻率、振幅；（2）當(dāng)t