2022屆福建省莆田一中（莆田市）高三畢業(yè)班三模數(shù)學試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 16 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 頁2022屆福建省莆田市高三畢業(yè)班三模數(shù)學試題一、單選題1設集合，則（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】由題意得，則.故選：B.2若復數(shù)，則（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算即可得解.【詳解】故選：C3芝諾是古希臘著名的哲學家，他曾提出一個著名的悖論，史稱芝諾悖論芝諾悖論的大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)母傎愔?，他的速度為烏龜?shù)氖?，烏龜在他前?00米爬

2、，他在后面追，但他不可能追上烏龜原因是在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點，當阿喀琉斯追了100米時，烏龜已經(jīng)向前爬了10米于是一個新的起點產(chǎn)生了；阿喀琉斯必須繼續(xù)追，而當他追完烏龜爬的這10米時，烏龜又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追這1米就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠追不上烏龜”試問在阿略琉斯與烏龜?shù)母傎愔?，當阿喀琉斯與烏龜相距0.001米時，烏龜共爬行了（）A11.111米B11.11米C19.99米D111.1米【答案】A【分析】由題意可知，烏龜每次爬行的距離構成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列

3、的前n項和公式即可求出總距離.【詳解】由題意可知，烏龜每次爬行的距離構成等比數(shù)列,且所以烏龜?shù)呐佬芯嚯x(米).故選：A4已知某校有教職工560人，其中女職工240人，現(xiàn)按性別用分層抽樣的方法從該校教職工中抽取28人，則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差是（）A2B4C6D8【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的抽取比例計算方法，分別求出抽取人數(shù)中的男女職工人數(shù)即可求解.【詳解】抽取的女職工人數(shù)為：人抽取的男職工人數(shù)為：人則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差為：人故選：B.5“”是“”的（）A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用同角的三角函數(shù)的平

4、方關系及二倍角公式可得，再除以可得關于的方程，求解即可判斷.【詳解】由題，則，即，所以，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：B6已知，則（）ABCD【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性以及中間值進行比較即可.【詳解】 ， 故選：C.7拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點已知拋物線，一條平行于x軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線E上的點B反射后，與拋物線E交于點C，若的面積是10，則()AB1CD2【答案】D【分析】根據(jù)ABx軸知B點縱坐標為2p，代入拋物線方程可求B點橫坐

5、標，利用B和F求出直線BC的方程，代入拋物線方程消去y可得根與系數(shù)關系，根據(jù)拋物線焦點弦長公式可求BC長度，利用點到直線距離公式可求A到直線BC的距離d，根據(jù)即可求出p【詳解】由題知拋物線焦點為，ABx軸，將y=2p代入得x=2p，則B為(2p，2p)，由題可知B、F、C三點共線，BC方程為：，即，代入拋物線方程消去y得，設方程兩根為，則，則，又到BC：的距離為：，由得故選：D8已知函數(shù)的最小值是4則（）A3B4C5D6【答案】A【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值即可，這里需要用到的二階導數(shù)【詳解】由題，所以單調遞增，又，所以，故為最小值點，即，解得，故選：A二、多選題9下列說法正確的是（）

6、A展開式中的常數(shù)項為B展開式中的各項系數(shù)之和為1C展開式中的系數(shù)為40D展開式中的二項式系數(shù)之和為32【答案】ACD【分析】根據(jù)多項式的乘法可知A正確，利用賦值法判斷B，根據(jù)二項展開式通項公式判斷C，根據(jù)二項式系數(shù)和判斷D.【詳解】對于選項A，常數(shù)項應為，則A正確；對于選項B，令，得，即展開式中的各項系數(shù)之和為-1，則B錯誤；對于選項C，展開式的通項公式為，令，得，則，即展開式中的系數(shù)為40，則C正確；對于選項D，展開式中的二項式系數(shù)之和為，故D正確.故選：ACD10將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，若的圖象關于直線對稱，則的取值可能為（

7、）ABCD【答案】AD【分析】根據(jù)圖象的變換規(guī)律求出的解析式，進而求出對稱軸，即可得到的取值情況.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象關于直線對稱 又 當時，；當時，；當時，；故選：AD.11已知函數(shù)，函數(shù)，則下列結論正確的是（）A若有3個不同的零點，則a的取值范圍是B若有4個不同的零點，則a的取值范圍是C若有4個不同的零點，則D若有4個不同的零點，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，將問題轉化為函數(shù)與圖像交點個數(shù)問題，進而數(shù)形結合求解即可得答案.【詳解】解：令得，即所以零點個數(shù)為函數(shù)與圖像交點個數(shù)，故，作出函

8、數(shù)圖像如圖，由圖可知，有3個不同的零點，則a的取值范圍是，故A選項錯誤；有4個不同的零點，則a的取值范圍是，故B選項正確；有4個不同的零點，此時關于直線對稱，所以，故C選項正確；由C選項可知，所以，由于有4個不同的零點，a的取值范圍是，故，所以，故D選項正確.故選：BCD12已知正四面體的棱長為點E，F(xiàn)滿足，用過A，E，F(xiàn)三點的平面截正四面體的外接球O，當時，截面的面積可能為（）ABCD【答案】CD【分析】作出當時的圖象，問題轉化為截面AEF從平面ARS轉動到平面ACD的過程中截球所截得圓面的面積范圍，利用球的截面的性質得出圓面的半徑平方的范圍即可求解.【詳解】如圖1,在棱BC上取點R，在棱B

9、D上取點S，使得，取CD的中點G，連接AR，AS，RS，BG，AG，記RSBG=M，連接AM. 過點A作AH平面BCD，垂足為H，則H為BCD的中心，正四面體ABCD外接球的球心在AH上，AO為球的半徑.由題中數(shù)據(jù)可得.設球的半徑為R，則，解得.當時，截面AEF從平面ARS轉動到平面ACD，要求截面的面積只需考慮球心到截面的距離的取值范圍即可.由題意可知CD/RS且CD平面ABG，如圖2，過點作，垂足為N，則ON平面ARS.因為，所以，即球心到截面的距離，則截面圓的半徑，故所求截面的面積.故選：CD三、填空題13已知向量，若，則_【答案】或或【分析】根據(jù)向量的坐標運算及向量垂直的數(shù)量積表示求解

10、即可.【詳解】，解得或.故答案為：或.14在正方體中，分別是棱，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是_【答案】【分析】異面直線與所成角轉化為直線與所成角即可求出答案.【詳解】如圖連接，取中點為點,連接，且四邊形為平行四邊形 同理異面直線與所成角即為直線與所成角設正方體的棱長為，則，在中， 故答案為： .15五一期間，某個家庭（一共四個大人，三個小孩）一起去旅游，在某景點站成一排拍照留念，則小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的概率是_【答案】【分析】根據(jù)全排列求出7人總的排法種數(shù)，再利用插空法求出小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的排法種數(shù)，根據(jù)古典概型求解.【詳解】7個人全排列

11、有種排法，利用插空法，其中小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的排法有種，所以小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的概率.故答案為：16已知雙曲線的右焦點為F圓與雙曲線C的漸近線在第一象限交于點P，直線與雙曲線C交于點Q，且，則雙曲線C的離心率為_【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及余弦定理可求解.【詳解】如下圖所示，設雙曲線的右焦點為，設直線的傾斜角為，則，由題意可知，則，則雙曲線的定義有，從而，所以在中，由余弦定理有.故答案為：四、解答題17在，這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答設等差數(shù)列的前n項和為，且,(1)求的最小值；(2)若數(shù)列滿足_，求數(shù)列的前10項和【答

12、案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）結合等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求得，利用二次函數(shù)的性質即可求解；（2）選，判斷，進而求解；選，利用裂項相消法即可求解；選，利用分組求和法即可求解.【詳解】(1)由題，所以，則，所以當時，的最小值為.(2)設數(shù)列的前項和為，選，由（1），令，即,所以，所以；選，由（1），所以；選，由（1），所以18在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c已知(1)求B的值；(2)若，且，求的面積【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)，再由兩角和的正弦公式化簡求出即可得解；（2）由已知求出，再由正弦定理可得，聯(lián)立已知求出，利用三角形面積公式求

13、解.【詳解】(1)，,，又，即，又.(2)因為，且，所以，則.由正弦定理可得，即，化簡得，又，聯(lián)立可解得故ABC的面積為.19如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，且E，F(xiàn)分別為棱的中點，(1)證明：平面(2)求平面與平面的夾角的余弦值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】建立空間直角坐標系，再分別求出相關平面的法向量及，再運用向量的共線及向量的夾角公式可求解.【詳解】(1)矩形對角線的交點記為，可知,又因為,可知,同理可得，,且底面，所以底面，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，從而有設平面的法向量為，則有，可取，所以，所以平面.(2)記平面、平面的法向量分別為、.由（1）中的數(shù)據(jù)，同理可得平面

14、、平面的法向量分別為、，根據(jù)法向量的方向，可知平面與平面的夾角的余弦值即為.20點外賣現(xiàn)已成為上班族解決午餐問題的一種流行趨勢某配餐店為擴大品牌能響力，決定對新顧客實行讓利促銷促銷活動規(guī)定：凡點餐的新顧客均可獲贈10元，15元或者20元代金券一張，中獎率分別為、和，每人限點一餐且100%中獎現(xiàn)有A公司甲、乙、丙、丁、戊五位員工決定點餐試吃(1)求這五人中至多一人抽到10元代金券的概率；(2)這五人中抽到15元，20元代金券的人數(shù)分別用a，b表示，記，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望【答案】(1)；(2)分布列見解析，期望為.【分析】(1)設“這5人中恰有i人抽到10元代金券”為事件，由互斥事件的

15、概率求和公式求解“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率即可；(2)由題意可知可取，求得相應的概率值，列出分布列，最后求解數(shù)學期望即可.【詳解】(1)設“這5人中恰有i人抽到10元代金券”為事件，易知“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率：.(2)由題意可知的可能取值為，故的分布列為：012346故21已知橢圓的離心率為，點在橢圓C上(1)求橢圓C的標準方程(2)若直線l與橢圓C相切于點D，且與直線交于點E試問在x軸上是否存在定點P，使得點P在以線段為直徑的圓上？若存在，求出P點的坐標；若不存在請說明理由【答案】(1)(2)存在，.【分析】(1)由題意，列出方程可直接求解;(2)先得到切線方

16、程，從而可得點的坐標，再寫出圓的方程后代入點的坐標可求解.【詳解】(1)由題意得，所以橢圓C的標準方程為.(2)由題意，可知橢圓的切線方程的斜率一定存在，設切線方程的切點為，切線方程為，下面證明：聯(lián)立，消得，又，則，所以，所以，及直線與橢圓只有一個公共點，直線與橢圓相切，所以橢圓上切點為的切線方程為.切線方程與聯(lián)立得，則線段為直徑的圓的方程為，設，則，化簡整理得，由題意可知，此式恒成立，故當滿足題意.此時.故存在定點P，使得點P在以線段為直徑的圓上.22已知函數(shù)(1)討論的單調性(2)若，證明：對任意的，都有【答案】(1)單調性討論見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導，根據(jù)a的符號分類討論即可；（2）