北京四中中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理-知識(shí)講解（提高）

1、PAGE 第PAGE 頁(yè)碼11頁(yè)/總NUMPAGES 總頁(yè)數(shù)11頁(yè)Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.中考總復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理（提高）撰稿：趙煒 審稿：杜少波【考綱要求】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；4.加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問(wèn)題以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（即：）.【要點(diǎn)

2、詮釋】勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來(lái)人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法.用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是:圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變;根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.3.勾股定理的應(yīng)用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：

3、已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊,在中，則，;知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系;可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 【要點(diǎn)詮釋】勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，為

4、三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊；勾股定理的逆定理在用問(wèn)題描述時(shí)，不能說(shuō)成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形.3.勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾股數(shù);記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等;用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）知識(shí)點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：勾股定理

5、是直角三角形的性質(zhì)定理，能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問(wèn)題在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解；而其逆定理是判定定理，能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論2.聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān). 在

6、解決一些實(shí)際問(wèn)題或具體的幾何問(wèn)題中，是密不可分的一個(gè)整體通常既要通過(guò)逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問(wèn)題的解決.【典型例題】類型一、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用【高清課堂：勾股定理及其逆定理 例2】1我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是_ 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形的特征得出線段之間的關(guān)系，進(jìn)而利用勾股定理求出各邊之間的關(guān)系，從而得

7、出答案【答案與解析】圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，CG=NG，CF=DG=NF，S1=（CG+DG） 2=CG 2+DG 2+2CGDG，=GF 2+2CGDG，S2=GF 2，S3=（NG-NF） 2=NG 2+NF 2-2NGNF，S1+S2+S3=10=GF 2+2CGDG+GF 2+NG 2+NF 2-2NGNF，=3GF 2，S2=【總結(jié)升華】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出S1+S2+S3=10=GF 2+2CGDG+GF 2+NG 2+NF 2-2NGNF=3GF 2是解決問(wèn)題的關(guān)鍵【變式】若ABC三邊a、b、c 滿足

8、abc338=10a+24b+26c，ABC是直角三角形嗎？為什么？【答案】abc338=10a+24b+26cabc33810a24b26c =0（a10a+25）（b24b+144）（c26c+169）=0即 a=5，b=12，c=13又ab=c=169，ABC是直角三角形.2（2012北京）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，BAC=90，CED=45，DCE=30，DE=，BE=2求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積【思路點(diǎn)撥】此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形【答案與解析】過(guò)點(diǎn)D作DHAC，CED=45，DHEC，DE=，EH=DH，EH

9、2+DH2=ED2，EH2=1，EH=DH=1，又DCE=30，DC=2，HC=，AEB=45，BAC=90，BE=2，AB=AE=2，AC=2+1+=3+，S四邊形ABCD=2（3+）+1（3+）=【總結(jié)升華】此題主要考查了解直角三角形和三角形面積求法，根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形進(jìn)而得出直角邊的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵舉一反三： 【變式】如圖，ABC中，有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng)若AB=AC=5，BC=6，則AP+BP+CP的最小值為（）A. 8 B. 8.8 C. 9.8 D. 10【答案】C.類型二、勾股定理及其逆定理與其他知識(shí)的結(jié)合應(yīng)用?！靖咔逭n堂：勾股定理及其逆定理 例7】3.王偉準(zhǔn)備用一段長(zhǎng)30米的籬

10、笆圍成一個(gè)三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔已知第一條邊長(zhǎng)為a米，由于受地勢(shì)限制，第二條邊長(zhǎng)只能是第一條邊長(zhǎng)的2倍多2米（1）請(qǐng)用a表示第三條邊長(zhǎng)；（2）問(wèn)第一條邊長(zhǎng)可以為7米嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出a的取值范圍；（3）能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長(zhǎng)均為整數(shù)？若能，說(shuō)明你的圍法；若不能，說(shuō)明理由【思路點(diǎn)撥】（1）本題需先表示出第二條邊長(zhǎng)，即可得出第三條邊長(zhǎng)（2）本題需先求出三邊的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式組，即可求出a的取值范圍（3）本題需先求出a的值，然后即可得出三角形的三邊長(zhǎng)【答案與解析】（1）第二條邊長(zhǎng)為2a+2，第三條邊長(zhǎng)為30-a-（2a+2）=28-3a（2）當(dāng)a

11、=7時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為7，16，7由于7+716，所以不能構(gòu)成三角形，即第一條邊長(zhǎng)不能為7米由可解得.即a的取值范圍是（3）在（2）的條件下，注意到a為整數(shù)，所以a只能取5或6當(dāng)a=5時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13由52+122=132知，恰好能構(gòu)成直角三角形；當(dāng)a=6時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)分別為6，14，10由62+102142知，此時(shí)不能構(gòu)成直角三角形；綜上所述，能圍成滿足條件的小圈，它們的三邊長(zhǎng)分別為5米，12米，13米【總結(jié)升華】本題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，在解題時(shí)要能根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，列出不等式組是本題的關(guān)鍵4.（2011黑龍江大慶）如圖，ABCD是一張邊AB長(zhǎng)為2，

12、邊AD長(zhǎng)為1的矩形紙片，沿過(guò)點(diǎn)B的折痕將A角翻折，使得點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)A處，折痕交邊AD于點(diǎn)E（1）求DAE的大??；（2）求ABE的面積【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出RtABERtABE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出DAE的度數(shù)；（2）設(shè)AE=x，則ED=1x，AE=x，在RtADE中，利用sinDAE=可求出x的值，在根據(jù)RtABE中，AB=AB，利用三角形的面積公式即可求解【答案與解析】（1）ABE是ABE翻折而成，RtABERtABE，在RtABC中，AB=2，BC=1得，BAC=30，又BAE=90，DAE=60；（2）解法1：設(shè)AE=x，則ED=1-x，AE=x，

13、在RtADE中，sinDAE=，即=，得x=4-2，在RtABE中，AE=42，AB=AB=2，SABE=2（42）=4-2；解法2：在RtABC中，AB=2，BC=1，得AC=，AD=2-，設(shè)AE=x，則ED=1-x，AE=x，在RtADE中，AD2+DE2=AE2，即（2-）2+（1x）2=x2，得x=4-2，在RtABE中，AE=4-2，AB=AB=2，SABE=2（4-2）=4-2【總結(jié)升華】本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到勾股定理及矩形的性質(zhì)，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖，在A

14、BC中，已知C=90，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c是在ABC內(nèi)部的矩形，它們的一個(gè)頂點(diǎn)在AB上，一組對(duì)邊分別在AC上或與AC平行，另一組對(duì)邊分別在BC上或與BC平行若各矩形在AC上的邊長(zhǎng)相等，矩形a的一邊長(zhǎng)是72cm，則這樣的矩形a、b、c的個(gè)數(shù)是（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D.5 .如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN30，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)

15、間為多少秒？ 【思路點(diǎn)撥】（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m， 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計(jì)算其長(zhǎng)度.（2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響過(guò)程中所行駛的路程.因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開(kāi)始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校.【答案與解析】作ABMN，垂足為B 在 RtABP中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80 （直角三角形中，30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半） 點(diǎn) A到直線MN的距離小于100m， 這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響. 如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛

16、到點(diǎn)C處時(shí)學(xué)校開(kāi)始受到影響，那么AC100(m)， 由勾股定理得： BC210028023600， BC60m 同理，假設(shè)拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處時(shí)學(xué)校開(kāi)始不受影響，那么AD100(m)，BD60(m)， CD120(m). 拖拉機(jī)行駛的速度為 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s 答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒 .【總結(jié)升華】勾股定理是求線段長(zhǎng)度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過(guò)作垂線的方法，構(gòu)造直角三角形，以便利用勾股定理.6如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2動(dòng)點(diǎn)M

17、、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到DA的延長(zhǎng)線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)連接FM、FN，當(dāng)F、N、M不在同一直線時(shí)，可得FMN，過(guò)FMN三邊的中點(diǎn)作PWQ設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒試解答下列問(wèn)題：（1）說(shuō)明FMNQWP；（2）設(shè)0 x4（即M從D到A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段）試問(wèn)x為何值時(shí)，PWQ為直角三角形？當(dāng)x在何范圍時(shí)，PQW不為直角三角形？（3）問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，線段MN最短？求此時(shí)MN的值 【思路點(diǎn)撥】解決圖形運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中圖形的位置或形狀不確定，常會(huì)用到分類思想.【答案與解析】（1）由

18、題意可知P、W、Q分別是FMN三邊的中點(diǎn)，PW是FMN的中位線，即PWMNFMNQWP（2）由題意可得 DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，由勾股定理分別得 =，=+=+當(dāng)=+時(shí)，+=+解得 ;當(dāng)=+時(shí)，+=+此方程無(wú)實(shí)數(shù)根;=+時(shí)，=+解得 （不合題意，舍去），;綜上，當(dāng)或時(shí)，PQW為直角三角形；當(dāng)0 x或x4時(shí)，PQW不為直角三角形.（3）當(dāng)0 x4，即M從D到A運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最小，等于2；當(dāng)4x6時(shí)，=+=+=當(dāng)x=5時(shí)，取得最小值2，當(dāng)x=5時(shí)，線段MN最短，MN=【總結(jié)升華】題涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，難度較大，綜合性較強(qiáng)，利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)知識(shí)舉一反三：【變式】在教材中，我們通過(guò)數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用完全相同的四個(gè)直角三角形采用拼圖的方式驗(yàn)證了勾股定理的正確性 問(wèn)題1：以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形，探究S1+S2與S3的關(guān)系（