2021中考數(shù)學專題05 瓜豆原理中最值問題

1、專題瓜豆原理中動點軌跡直線型最值問題【專題說明】動點軌跡問題是中考的重要壓軸點.受學生解析幾何知識的局限和思維能力的束縛,該壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎,致使該壓軸點成為學生在中考中失分的一個黑洞.掌握該壓軸點的基本圖形,構(gòu)建問題解決的一般思路,是中考專題復習的一個重要途徑.本文就動點軌跡問題的基本圖形作一詳述.動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型.【知識精講】動點軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。（1）當動點軌跡確定時可直接運用垂線段最短求最值（2）當動點軌跡不易確定是直線時，可通過以下三種方法進行確定觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等位置時是否存在動點與定直線的端點連接后

2、的角度不變，若存在該動點的軌跡為直線。當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線。當一個點的坐標以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線。如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？AQBPC【分析】當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線BAQPNMC【引例】如圖，APQ是等腰直角三角形，PAQ=90且AP=AQ，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？ABPQC【

3、分析】當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段Q2ABCQ1【模型總結(jié)】必要條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）結(jié)論：時P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于PAQ（當PAQ90，PAQ等于MN與BC夾角）ANQMBPCP、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQeqoac(,（由)ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）ANMBC【精典例題】1、如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上

4、一點，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，連接CG，則CG的最小值為ADFGBEC2、如圖，等腰eqoac(,Rt)ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQOP交BC于點Q，M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為（）4B2C1A22D23、如圖，矩形ABCD中，AB4，BC6，點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且SPABSPCD，則PCPD的最小值為_4、如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點P，且滿足PC=PA若點P沿AB方向從點A運動到

5、點B，則點E運動的路徑長為_5、如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是直線AB上一點將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60得到線段DE，連結(jié)BE（1）若點D在AB邊上（不與A，B重合）請依題意補全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當AE的長最小時，求CD的長【精典例題】1、如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，連接CG，則CG的最小值為ADFGBEC【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段

6、，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在G位置，最終G點在G位置（G不一定在CD邊），GG即為G12212點運動軌跡ADG2G1BECCG最小值即當CGGG的時候取到，作CHGG于點H，CH即為所求的最1212過點E作EFCH于點F，則HF=GE=1，CF=CE，22所以CH=5，因此CG的最小值為小值根據(jù)模型可知：GG與AB夾角為60，故GGEG12121131522ADHG2G1FBEC2、如圖，等腰eqoac(,Rt)ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQOP交BC于點Q，M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為（）4B2C1A2

7、2D2【答案】C【詳解】連接OC，作PEAB于E，MHAB于H，QFAB于F，如圖，ACB為到等腰直角三角形，AC=BC=2AB=2，A=B=45，2O為AB的中點，OCAB，OC平分ACB，OC=OA=OB=1，OCB=45，POQ=90，COA=90，AOP=COQ，在eqoac(,Rt)AOPeqoac(,和)COQ中AOCOAOCQ，AOPCOQPE=2eqoac(,Rt)AOPCOQ，AP=CQ，eqoac(,易得)APE和BFQ都為等腰直角三角形，22AP=CQ，QF=BQ，222PE+QF=222BC=（CQ+BQ）=2=1，222MH=1M點為PQ的中點，MH為梯形PEFQ的中

8、位線，1（PE+QF）=，22即點M到AB的距離為而CO=1，12，點M的運動路線為ABC的中位線，當點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長=12故選CAB=1，3、如圖，矩形ABCD中，AB4，BC6，點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且SPABSPCD，則PCPD的最小值為_【答案】213【詳解】ABCD為矩形，ABDC又SPABSPCD點P到AB的距離與到CD的距離相等，即點P線段AD垂直平分線MN上，連接AC，交MN與點P，此時PCPD的值最小，且PCPDACAB2BC2426252213故答案為：2134、如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在

9、的直線與線段AB垂直相交于點P，且滿足PC=PA若點P沿AB方向從點A運動到點B，則點E運動的路徑長為_【答案】62【詳解】解：如圖，由題意可知點C運動的路徑為線段AC，點E運動的路徑為EE，由平移的性質(zhì)可知AC=EE，在eqoac(,Rt)ABC中，易知AB=BC=6，ABC=90，EE=AC=6262=62，故答案為：625、如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是直線AB上一點將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60得到線段DE，連結(jié)BE（1）若點D在AB邊上（不與A，B重合）請依題意補全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當AE的長最小時，求CD的長【答案】（1）見解析；（2）27【詳解】解：（

10、1）補全圖形如圖1所示，AD=BE，理由如下：ABC是等邊三角形，AB=BC=AC，A=B=60，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ACB=DCE=60，CD=CE，ACD=BCE，ACDBCE（SAS），AD=BE（2）如圖2，過點A作AFEB交EB延長線于點FACDBCE，CBE=A=60，點E的運動軌跡是直線BE，根據(jù)垂線段最短可知：當點E與F重合時，AE的值最小，此時CD=CE=CF，ACB=CBE=60，ACEF，AFBE，AFAC，在eqoac(,Rt)ACF中，=2AC2AF2=4223CF=27，CD=CF=27.專題瓜豆原理中動點軌跡圓或圓弧型最值問題【專題說明】動點的軌跡為定圓時，可利用：“

11、一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。確定動點軌跡為圓或者圓弧型的方法:（1）動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或者圓弧。（2）當某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓，具體運用如下;見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形見定角，找對邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形【知識精講】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？AQPO【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點

12、軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2PQAMO【小結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AOQ點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQAP且AQ=AP考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？QAPO【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓接下來確定圓心與半徑考慮APAQ，可得Q

13、點軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO即可確定圓M位置，任意時刻均有APOAQMMQPAO如圖，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？QPAO【分析】考慮APAQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1即可確定圓M位置，任意時刻均有APOAQM，且相似比為2MQPAO【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”此類問題的必要條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動點、從動

14、點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）QQMPPAOAO【結(jié)論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：PAQ=OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當于旋轉(zhuǎn)+伸縮古人云：種瓜得瓜，種豆得豆“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”【精典例題】1、如圖，在RtABC中，C90，AC4，BC3，點O是AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點，則MN的最小值和最大值之和是（）A5B6C7D82、如圖，在矩形紙片ABCD中，AB2

15、，AD3，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將AEF沿EF所在直線翻折，得到AEF，則AC的長的最小值是()2B3A13C131D1013、如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，ABC90，ACB30，BC2eqoac(,，)ADC與ABC關(guān)于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DECF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為()A1BCD24、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將EBF沿EF所在直線折疊得到EBF，連接BD，則BD的最小值是_5、如圖，eqoac(,Rt)ABC中，ABBC，AB6，BC4，P是ABC

16、內(nèi)部的一個動點，且滿足PABPBA90，則線段CP長的最小值為_.6、如圖，點D在半圓O上，半徑OB5，AD4，點C在弧BD上移動，連接AC，作DHAC，垂足為H，連接BH，點C在移動的過程中，BH的最小值是_7、如圖，過拋物線于點C，已知點A的橫坐標為上一點A作軸的平行線，交拋物線于另一點B，交軸（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；（2）在AB上任取一點P，連結(jié)OP，作點C關(guān)于直線OP的對稱點D；連結(jié)BD，求BD的最小值；當點D落在拋物線的對稱軸上，且在軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達式【精典例題】1、如圖，在RtABC中，C90，AC4，BC3，點O是AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N

17、分別是BC與半圓弧上的動點，則MN的最小值和最大值之和是（）A5B6C7D8OB2【答案】B【詳解】如圖，設O與AC相切于點D，連接OD，作OPBC垂足為P交O于F，此時垂線段OP最短，PF最小值為OPOF，AC4，BC3，AB5OPB90，OPAC點O是AB的三等分點，10OPOB25，33ACAB3OP83，O與AC相切于點D，ODAC，ODMN最小值為OPOF8MN最大值10ODBC，OA1，BCAB3OD1，51，33如圖，當N在AB邊上時，M與B重合時，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，131，33513+=6,33MN長的最大值與最小值的和是6故選B2、如圖，在矩形紙片ABCD中，A

18、B2，AD3，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將AEF沿EF所在直線翻折，得到AEF，則AC的長的最小值是()2B3A13【答案】DC131D101【詳解】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當點A在線段CE上時，AC的長取最小值，如圖所示，根據(jù)折疊可知：AEAE1AB121在RtBCE中，BEAB1，BC3，B90，2CEBE2BC210，AC的最小值CEAE101故選D3、如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，ABC90，ACB30，BC2eqoac(,，)ADC與ABC關(guān)于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DECF，BE、DF相交于點P，則CP的最小

19、值為()A1BCD2【答案】D【詳解】連接AD，因為ACB30，所以BCD60，因為CBCD，所以CBD是等邊三角形，所以BDDC.因為DECF，EDBFCD60，eqoac(,所以)EDBFCD，所以EBDFDC，因為FDCBDF60，所以EBDBDF60，所以BPD120，所以點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，eqoac(,直角)ABC中，ACB30，BC2，所以AB2，AC4，所以AP2.當點A，P，C在一條直線上時，CP有最小值，CP的最小值是ACAP422.故選D.4、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將EBF沿EF所在直線折疊

20、得到EBF，連接BD，則BD的最小值是_【答案】2102.【詳解】如圖所示點B在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當D、B、E共線時，BD的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，EBFeqoac(,EB)F，B=EBF，EB=EBE是AB邊的中點，AB=4，AE=EB=2AD=6，DE6222210，BD=2102故答案為21025、如圖，eqoac(,Rt)ABC中，ABBC，AB6，BC4，P是ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足PABPBA90，則線段CP長的最小值為_.【答案】2：【詳解】PAB+PBA=90APB=90點P在以AB為直徑的弧上（Peqoac(,在)ABC內(nèi)）設以AB為直徑的圓心為點O，如圖接

21、OC，交O于點P，此時的PC最短AB=6，OB=3BC=4OCOB2BC232425PC=5-3=26、如圖，點D在半圓O上，半徑OB5，AD4，點C在弧BD上移動，連接AC，作DHAC，垂足為H，連接BH，點C在移動的過程中，BH的最小值是_如圖，設AD的中點為點E，則EAED1【答案】2222【詳解】1AD4222由題意得，點H的運動軌跡在以點E為圓心，EA為半徑的圓上由點與圓的位置關(guān)系得：連接BE，與圓E交于點H，則此時BH取得最小值，EH2連接BDAB為半圓O的直徑ADB90BDAB2AD2(55)242221BEBD2ED2(221)222222BHBEEH2222故答案為：2222

22、7、如圖，過拋物線于點C，已知點A的橫坐標為上一點A作軸的平行線，交拋物線于另一點B，交軸（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；（2）在AB上任取一點P，連結(jié)OP，作點C關(guān)于直線OP的對稱點D；連結(jié)BD，求BD的最小值；當點D落在拋物線的對稱軸上，且在軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達式【答案】(1)x=4；B（10，5）（2）y=x+【詳解】（1）由題意A（2，5），對稱軸x=4，A、B關(guān)于對稱軸對稱，B（10，5）（2）如圖1中，由題意點D在以O為圓心OC為半徑的圓上，當O、D、B共線時，BD的最小值=OBOD=如圖2中，圖2當點D在對稱軸上時，在eqoac(,Rt)ODE中，OD=OC=5，O

23、E=4，DE=3，點D的坐標為（4，3）設PC=PD=x，在eqoac(,Rt)PDK中，x2=（4x）2+22，x=，P（，5），直線PD的解析式為y=x+專題瓜豆原理中動點軌跡不確定型最值問題【專題說明】動點軌跡非圓或直線時，基本上將此線段轉(zhuǎn)化為一個三角形中，（1）利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求最值。（2）在轉(zhuǎn)化較難進行時，可借助直角三角形斜邊上的中線及中位線或構(gòu)建全等圖形進一步轉(zhuǎn)化求最值?！局R精講】所謂“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當主動點軌跡是其他圖形時

24、，從動點軌跡必然也是【精典例題】1、如圖，在反比例函數(shù)y2的圖像上有一個動點A，連接AO并延長交圖像的x另一支于點B，在第一象限內(nèi)有一點C，滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在函數(shù)yk的圖像上運動，若tanCAB=2，則k的值為（）xyACOxBA2B4C6D8【模型】一、借助直角三角形斜邊上的中線1、如圖，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）A6BCD【模型】二、借助三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊1、如圖，已知等邊三角形ABC邊長為23，兩頂點A、B分別在平

25、面直角坐標系的x軸負半軸、軸的正半軸上滑動，點C在第四象限，連接OC，則線段OC長的最小值是（）A31B33C3D32、如圖，MON=90，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4，BC=2.運動過程中點D到點O的最大距離是_3、如圖，在ABC中，ACB90，CAB30，AB6，以線段AB為邊向外作等邊ABD，點E是線段AB的中點，連結(jié)CE并延長交線段AD于點F.(1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；(2)求平行四邊形BCFD的面積；(3)如圖，分別作射線CM，CN，如圖中ABD的兩個頂點A，B分別在射線

26、CN，CM上滑動，在這個變化的過程中，求出線段CD的最大長度.4、如圖，在RtABC中，ACB90，將ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到ABC,M是BC的中點，N是AB的中點，連接MN，若BC4,ABC60，則線段MN的最大值為（）A4B8C43D6【模型】三、借助構(gòu)建全等圖形1、如圖，在ABC中，ACB90，A30，AB5，點P是AC上的動點，連接BP，以BP為邊作等邊BPQ，連接CQ，則點P在運動過程中，線段CQ長度的最小值是_2、如圖，邊長為12的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連結(jié)MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連結(jié)HN則在點M運動過程中，線段HN長度的最小

27、值是（）A6B3C2D15【模型】四、借助中位線1、如圖，在等腰直角ABC中，斜邊AB的長度為8，以AC為直徑作圓，點P為半圓上的動點，連接BP，取BP的中點M，則CM的最小值為（）A35B253C102D3252、如圖，拋物線y19x21與x軸交于A，B兩點，D是以點C0,4為圓心，1為半徑的圓上的動點，E是線段AD的中點，連接OE,BD，則線段OE的最小值是（）A2B3225CD32【精典例題】1、如圖，在反比例函數(shù)y2的圖像上有一個動點A，連接AO并延長交圖像的x另一支于點B，在第一象限內(nèi)有一點C，滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在函數(shù)yk的圖像上運動，若tanCAB=2，則k的值

28、為（）xyACOxBA2B4C6D8【分析】AOC=90且AO:OC=1:2，顯然點C的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別為M、N，連接eqoac(,OC)，易證AMOONC，CN=2OM，ON=2AM，ONCN=4AMOM，故k=42=8yACNMOxB【思考】若將條件“tanCAB=2”改為“ABC是等邊三角形”，k會是多少？【模型】一、借助直角三角形斜邊上的中線1、如圖，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）A6BCD【答案】D【解析】解：如圖，取CA的

29、中點D，連接OD、BD，則OD=CD=AC=4=2，由勾股定理得，BD=2，當O、D、B三點共線時點B到原點的距離最大，所以，點B到原點的最大距離是2+2故答案為2+2【模型】二、借助三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊1、如圖，已知等邊三角形ABC邊長為23，兩頂點A、B分別在平面直角坐標系的x軸負半軸、軸的正半軸上滑動，點C在第四象限，連接OC，則線段OC長的最小值是（）A31B33C3D3【答案】B【詳解】解：如圖所示：過點C作CEAB于點E，連接OE，ABC是等邊三角形，CE=ACsin60=23AOB=90，323，AE=BE，EO12AB3，EC-OEOC，當點C，O，E在

30、一條直線上，此時OC最短，故OC的最小值為：OCCEEO33故選B2、如圖，MON=90，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4，BC=2.運動過程中點D到點O的最大距離是_【答案】22+2【詳解】如圖，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，ODOE+DE，當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，AB=4，BC=2，OE=AE=12AB=2，DE=AD2AE2=222222，OD的最大值為：22+2，故答案為22+2.3、如圖，在ABC中，ACB90，CAB30，AB6，以線段AB為邊向外作等

31、邊ABD，點E是線段AB的中點，連結(jié)CE并延長交線段AD于點F.(1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；(2)求平行四邊形BCFD的面積；(3)如圖，分別作射線CM，CN，如圖中ABD的兩個頂點A，B分別在射線CN，CM上滑動，在這個變化的過程中，求出線段CD的最大長度.【答案】(1)證明見解析；(2)93；(3)333.【詳解】(1)在ABC中，ACB90，CAB30，ABC60，在等邊ABD中，BAD60，BADABC60，在ABC中，ACB90，E為AB的中點，CE1E為AB的中點，AEBE，又AEFBEC，AEFBEC，1AB，BEAB，22CEAE，EACECA30，BCEEBC60

32、，又又AEFBEC，AFEBCE60，D60，AFED60，F(xiàn)CBD，又BADABC60，ADBC，即FDBC，四邊形BCFD是平行四邊形；(2)在RtABC中，BAC30，AB6，BCAC12AB3，AB2BC2623233，S平行四邊形BCFD33393；(3)取AB的中點G，連結(jié)CG，DG，CDCDCGDG，CD的最大長度CGDG333.4、如圖，在RtABC中，ACB90，將ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到ABC,M是BC的中點，N是AB的中點，連接MN，若BC4,ABC60，則線段MN的最大值為（）A4B8C43D6【答案】D【詳解】連接CN，將ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到ABC，ACB

33、ACB=90，BCBC4，ABCABC60，A30，AB8N是AB的中點，CN12AB4，在CMN中，MNCM+CN，當且僅當M，C，N三點共線時，MN=CM+CN=6，線段MN的最大值為6故選D【模型】三、借助構(gòu)建全等圖形1、如圖，在ABC中，ACB90，A30，AB5，點P是AC上的動點，連接BP，以BP為邊作等邊BPQ，連接CQ，則點P在運動過程中，線段CQ長度的最小值是_【答案】【詳解】解：如圖，取AB的中點E，連接CE，PEACB=90，A=30，CBE=60，BE=AE，CE=BE=AE，BCE是等邊三角形，BC=BE，PBQ=CBE=60，QBC=PBE，QB=PB，CB=EB，QBCPBE（SAS