高中數(shù)學(xué)選修1-2配人教A版-課后習(xí)題Word版2.1.1　第1課時　歸納推理

1、第二章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理第1課時歸納推理課后篇鞏固提升1.觀察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般性結(jié)論是()A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2(nN*)B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN*)C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2(nN*)D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2(nN*)解析觀察各等式的構(gòu)成規(guī)律可以發(fā)現(xiàn),各等式的左邊是2n-1(nN*)項(xiàng)的和,其首項(xiàng)為n,右邊是項(xiàng)數(shù)的平方,故第n個等式首

2、項(xiàng)為n,共有2n-1項(xiàng),右邊是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案B2.已知不等式1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,均成立,照此規(guī)律,第五個不等式應(yīng)為1+122+132+142+152+162()A.95B.115C.116D.136解析觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn),第n(nN*)個不等式的左邊=1+122+132+1(n+1)2,右邊=2(n+1)-1n+1,所以第五個不等式為1+122+132+142+152+162116.答案C3.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:按照以上排列的規(guī)律,則第20行從左向右的第3個數(shù)為(

3、)A.193B.192C.174D.173解析由排列的規(guī)律可得,第n-1行結(jié)束的時候共排了1+2+3+(n-1)=(n-1)(1+n-1)2=(n-1)n2個數(shù),則第n行的第一個數(shù)字為n(n-1)2+1,則第20行的第一個數(shù)字為191,故第20行從左向右的第3個數(shù)為193.故選A.答案A4.已知數(shù)列an中,a1=1,an+1=2an2+an(nN*),則可歸納猜想an的通項(xiàng)公式為()A.an=2n(nN*)B.an=2n+1(nN*)C.an=1n(nN*)D.an=1n+1(nN*)解析由已知得a1=1,a2=2a12+a1=23,a3=2a22+a2=432+23=24,a4=2a32+a

4、3=2122+12=25,由此可猜想an=2n+1(nN*).答案B5.設(shè)f(x)=1+x1-x,記f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x),則f2 020(2 020)等于()A.2 020B.-12 020C.-1 0091 008D.1 0081 009解析由已知可得f1(x)=1+x1-x,f2(x)=-1x,f3(x)=x-1x+1,f4(x)=x,f5(x)=1+x1-x,f6(x)=-1x,f7(x)=x-1x+1,f8(x)=x,可得fn(x)是以4為周期的函數(shù),因此f2 020(x)=f5054(x)=f4(x)=x,故f2 020(2 020)=2 020.答

5、案A6.一個蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飛出去帶回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飛出去各自又帶回了5只蜜蜂;如果這個過程繼續(xù)下去,那么第6天所有蜜蜂歸巢后,蜂巢中共有蜜蜂()A.6(66-1)6-1只B.66只C.63只D.62只解析根據(jù)題意,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+65=62(只),第三天共有蜜蜂62+625=63(只),故第6天所有蜜蜂歸巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+655=66(只),故選B.答案B7.如圖,已知ABC的面積為4,連接ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個三角形,再連接第二個三角形三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個三角形,依此類推,第2 021個三角形的面積為()A.142

6、017B.142 018C.142 019D.142 020解析觀察圖形可知后一個三角形的面積是前一個三角形面積的14,設(shè)第n個三角形的面積為an,則數(shù)列an是首項(xiàng)為a1=4,公比為14的等比數(shù)列,an=414n-1=14n-2,第2 021個三角形的面積為a2 021=142 019=142 019.故選C.答案C8.觀察下列式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,根據(jù)以上式子可以猜想:1+122+132+12 0212.解析由已知的式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,可得1+122+132+1n22n-1n.故

7、1+122+132+12 02124 0412 021.答案4 0412 0219.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.解(1)選擇式計(jì)算如下:sin215+

8、cos215-sin 15cos 15=1-12sin 30=34.(2)三角恒等式為sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=34.證法一:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+34cos2+32sin cos +14sin2-32sin cos -12sin2=34sin2+34cos2=34.故上式成立.證法二:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=1-cos22+1+cos(60-2)2-sin 32cos+12

9、sin=1+1212cos2+32sin2-cos234sin 2-14(1-cos 2)=1-14cos 2-14+14cos 2=1-14=34.故上式成立.10.已知下列等式成立:122-1=13,122-1+142-1=25,122-1+142-1+162-1=37,122-1+142-1+162-1+182-1=49,試根據(jù)以上等式,歸納出一個一般性結(jié)論,用等式表示,并用數(shù)列中的方法加以證明.解從給出的各個等式可以看出:第1個等式左邊有1項(xiàng),右邊為121+1;第2個等式左邊有2項(xiàng),右邊為222+1;第3個等式左邊有3項(xiàng),右邊為323+1;第4個等式左邊有4項(xiàng),右邊為424+1,由此可以歸納得出一般性的結(jié)論為122-1+142