高中數(shù)學選修2-1配北師版-課后習題Word版-模塊復習課第2課時　利用空間向量解決空間問題

1、第2課時利用空間向量解決空間問題課后篇鞏固提升A組1.若平面,的法向量分別為u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),則()A.B.C.與斜交D.以上均正確答案C2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,則AC1與CE的位置關(guān)系是()A.重合B.垂直C.平行D.無法確定答案B3.ABCD是直角梯形,ABC=90,SA垂直于面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,則SC與平面ABCD所成角的余弦值為()A.63B.12C.33D.32答案A4.在底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,則平

2、面SCD與平面SAB夾角的余弦值為()A.33B.63C.64D.22答案B5.已知四面體的頂點A(2,3,1),B(4,1,-2),C(6,3,7)和D(-5,-4,8),則頂點D到平面ABC的距離為.答案116.如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA平面ABCD,E,F分別是線段AB,BC的中點.(1)證明:PFFD;(2)判斷并說明PA上是否存在點G,使得EG平面PED.(1)證明PA平面ABCD,BAD=90,AB=1,AD=2,如圖,建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).不妨令P

3、(0,0,t),PF=(1,1,-t),DF=(1,-1,0),PFDF=11+1(-1)+(-t)0=0,PFDF,即PFFD.(2)解設(shè)平面PFD的法向量為n=(x,y,z),由nPF=0,nDF=0,得x+y-tz=0,x-y=0,令z=1,解得x=y=t2,n=t2,t2,1.設(shè)點G的坐標為(0,0,m),又E12,0,0,則EG=-12,0,m.要使EG平面PFD,只需EGn=0,即-12t2+0t2+m1=0,即m-t4=0,解得m=14t,從而滿足AG=14AP的點G即為所求.7.如圖,已知DA平面ABC,ACCB,AC=CB=AD=2,E是DC的中點,F是AB的中點.(1)證明

4、:ACEF;(2)求平面ABD與平面BCD夾角的正切值;(3)求點A到平面BCD的距離.(1)證明如圖,以A為原點,建立空間直角坐標系(y軸CB),則A(0,0,0),D(0,0,2),B(2,2,0),C(2,0,0),從而E(1,0,1),F(1,1,0).所以AC=(2,0,0),EF=(0,1,-1),所以ACEF=20+01+0(-1)=0,所以ACEF,因此ACEF.(2)解連接AE.因為AC=CB,且F為AB的中點,所以CFAB.因為DA平面ABC,所以ADCF.又ABAD=A,從而CF平面ABD,故FC=(1,-1,0)為平面ABD的法向量.在ADC中,因為AD=AC,E為CD

5、的中點,所以AECD.因為DA平面ABC,所以ADBC.又ACBC,所以BC平面ACD.因為AE平面ACD,所以AEBC.又BCCD=C,所以AE平面BCD,故AE=(1,0,1)為平面BCD的一個法向量.所以cos=AEFC|AE|FC|=122=12.故平面ABD與平面BCD夾角的正切值為3.(3)解因為AE為平面BCD的法向量,且AE=(1,0,1),所以點A到平面BCD的距離d=2.8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,求異面直線A1C1與AB1間的距離.解如圖,以D為坐標原點,建立空間直角坐標系D-xyz,則A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1

6、(0,1,1),AB1=(0,1,1),A1C1=(-1,1,0),設(shè)MN是異面直線A1C1與AB1的公垂線段,且AN=AB1=(0,),A1M=A1C1=(-,0),則MN=MA1+A1A+AN=-(-,0)+(0,0,-1)+(0,)=(,-,-1).又由MNA1C1=0,MNAB1=0,即-2=0,2-=1=23,=13,MN=13,13,-13,|MN|=33,異面直線A1C1與AB1間的距離為33.B組1.正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A.23B.33C.23D.63答案D2.在四面體P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PA=PB=

7、PC=a,則點P到平面ABC的距離為()A.63aB.33aC.a3D.6a答案B3.如圖,若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則平面AB1D1與平面BDC1間的距離為()A.2B.3C.23D.33答案D4.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點P在正方形BCC1B1內(nèi)及其邊界上運動,并且總保持B1P平面A1BD,則動點P的軌跡的長度是.答案25.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點.(1)求證:平面AED平面A1FD1;(2)在平面AE上是否存在一點M,使得A1M平面AED?(1)證明建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,設(shè)正方體的

8、棱長為2,則A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).DA=D1A1=(2,0,0),DE=(2,2,1),D1F=(0,1,-2).設(shè)平面AED的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),由n1DA=(x1,y1,z1)(2,0,0)=0,n1DE=(x1,y1,z1)(2,2,1)=0,得2x1=0,2x1+2y1+z1=0,令y1=1,得n1=(0,1,-2).同理可得平面A1FD1的一個法向量為n2=(0,2,1).n1n2=(0,1,-2)(0,2,1)=0,n1n2,平面AED平面A1FD1.(2)解設(shè)存在點M在直

9、線AE上,則可設(shè)AM=AE=(0,2,1)=(0,2,),則M(2,2,),A1M=(0,2,-2).要使A1M平面AED,只需A1MAE,即A1MAE=(0,2,-2)(0,2,1)=5-2=0,解得=25.故當AM=25AE時,A1M平面AED.直線 AE上存在一點M,使A1M平面AED.6.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上移動.(1)求證D1EA1D;(2)當E為AB的中點時,求點E到平面ACD1的距離;(3)AE等于何值時,平面D1EC與平面DEC夾角為4?(1)證明如圖,以D為原點,直線DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直

10、角坐標系,設(shè)AE=x,則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).DA1D1E=(1,0,1)(1,x,-1)=0,DA1D1E,即DA1D1E.(2)解E為AB的中點,則E(1,1,0),D1E=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),AD1=(-1,0,1).設(shè)平面ACD1的法向量為m=(a,b,c),mAC=0,mAD1=0,即-a+2b=0,-a+c=0,得a=2b,a=c.取m=(2,1,2),點E到平面AD1C的距離為h=|D1Em|m|=2+1-23=13.(3)設(shè)平面D1EC的法向量n=(a,b,c),由(1)知CE=(1,

11、x-2,0),D1C=(0,2,-1),DD1=(0,0,1).由nD1C=0,nCE=0,得2b-c=0,a+b(x-2)=0.令b=1,c=2,a=2-x,n=(2-x,1,2),DD1是平面DEC的一個法向量,cos4=|nDD1|n|DD1|=22,2(x-2)2+5=22.x1=2+3(不合題意,舍去),x2=2-3,AE=2-3時,平面D1EC與平面DEC夾角為4.7.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1D1,A1C1的中點,求:(1)異面直線AE與CF所成角的余弦值;(2)平面CAE與平面FAE夾角的余弦值.解不妨設(shè)正方體的棱長為2,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2).(1)由AE=(-1,0,2),CF=(1,-1,2),得|AE|=5,|CF|=6,AECF=-1+0+4=3,又AECF=|AE|CF|cos=30cos,cos=3010,即所求值為3010.(2)EF=(0,1,0),AEEF=(-1,0,2)(0,1,0)=0,AEEF,過C作CMAE于M,則二面角C-AE-F的平面