高中數(shù)學選修2-2配北師版-課后習題版第四章　§3　定積分的簡單應用

1、第四章DISIZHANG定積分3定積分的簡單應用課后篇鞏固提升A組1.設f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),則曲線f(x)與直線x=a,x=b,y=0圍成的圖形的面積為()A.ab f(x)dxB.abf(x)dxC.ab |f(x)|dxD.以上都不對解析當f(x)在區(qū)間a,b上滿足f(x)0時,ab f(x)dx0,排除A;當圍成的圖形同時存在于x軸上方與下方時,ab f(x)dx是兩圖形面積之差,排除B;無論什么情況C都正確.答案C2.下列各陰影部分的面積S不可以用S=ab f(x)-g(x)dx求出的是()解析定積分S=ab f(x)-g(x)dx的幾何意義是求函數(shù)f(x)與g(x)之間的陰影

2、部分的面積,必須注意f(x)的圖像要在g(x)的圖像上方,對照各選項可知,D項中的f(x)的圖像不全在g(x)的圖像上方.故選D.答案D3.如圖,由函數(shù)f(x)=ex-e的圖像,直線x=2及x軸圍成的陰影部分的面積等于()A.e2-2e-1B.e2-2eC.e2-e2D.e2-2e+1解析由已知得S=12 f(x)dx=12 (ex-e)dx=(ex-ex)|12=e2-2e.答案B4.直線y=2x,x=1,x=2與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周得到一個圓臺,則該圓臺的體積為()A.283B.32C.43D.3解析所求圓臺的體積V=12 (2x)2dx=12 4x2dx=413x3|12=4

3、3(8-1)=283.答案A5.如圖所示,在邊長為1的正方形OABC中,任取一點P,則點P恰好取自陰影部分的概率為()A.14B.15C.16D.17解析由y=x,y=x,得O(0,0),B(1,1).則S陰影=01 (x-x)dx=23x32-x22|01=2312=16.故所求概率為S陰影S正方形=161=16.答案C6.曲線y=cos x2x32與x軸圍成的平面圖形的面積為.解析由圖可知,曲線y=cos x2x32與x軸圍成的平面圖形的面積S=232 cos xdx=-sin x232=-sin32-sin2=2.答案27.在同一坐標系中,作出曲線xy=1和直線y=x以及直線y=3的圖像

4、如圖所示,則陰影部分的面積為.解析S=131 3-1xdx+13 (3-x)dx=(3x-ln x)|131+3x-12x2|13=3-1-ln13+9-12323-12=4-ln 3.答案4-ln 38.計算由y2=x,y=x2所圍成圖形的面積.解如圖,為了確定圖形的范圍,先求出這兩條曲線的交點的橫坐標.解方程組y2=x,y=x2,得出交點的橫坐標為x=0或x=1.因此,所求圖形的面積S=01 (x-x2)dx,又因為23x32-13x3=x12-x2,所以S=23x32-13x3|01=2313=13.9.求由曲線y=x2+4與直線y=5x,x=0,x=4所圍成的平面圖形的面積.解畫出草圖

5、,如圖所示.所求平面圖形為圖中陰影部分.解方程組y=x2+4,y=5x,得交點為A(1,5),B(4,20).故所求平面圖形的面積S=01 (x2+4-5x)dx+14 (5x-x2-4)dx=13x3+4x-52x201+52x2-13x3-4x14=13+4-52+5242-1343-44-52+13+4=193.10.求拋物線y2=2x與直線y=4-x圍成的平面圖形的面積.解由方程組y2=2x,y=4-x得拋物線和直線的交點為(2,2)及(8,-4).方法一:選x作為積分變量,由圖可得S=SA1+SA2.在A1部分:由于拋物線的上部分方程為y=2x,下部分方程為y=-2x,所以SA1=0

6、2 2x-(-2x)dx=2202 x12dx=2223x32|02=163.SA2=28 4-x-(-2x)dx=4x-12x2+223x32|28=383.所以S=163+383=18.方法二:y2=2x,x=12y2.由y=4-x.得x=4-y,S=-42 4-y-12y2dy=4y-12y2-16y3|-42=18.B組1.如圖,已知曲線y=f(x)與直線y=0,x=-32,x=2圍成的圖形面積為S1=1,S2=3,S3=32,則-322 f(x)dx等于()A.112B.12C.-12D.72解析-322 f(x)dx=-32-1 f(x)dx+-11 f(x)dx+12 f(x)d

7、x=S1-S2+S3=1-3+32=-12.答案C2.設直線y=1與y軸交于點A,與曲線y=x3交于點B,O為原點,記線段OA,AB及曲線y=x3圍成的區(qū)域為.在內隨機取一點P,已知點P取在OAB內的概率等于23,則圖中陰影部分的面積為()A.13B.14C.15D.16解析聯(lián)立y=1,y=x3,解得x=1,y=1.則曲邊梯形OAB的面積為01 (1-x3)dx=x-14x401=1-14=34.在內隨機取一個點P,點P取在OAB內的概率等于23,點P取在陰影部分的概率等于1-23=13,圖中陰影部分的面積為3413=14.故選B.答案B3.如圖所示,直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍

8、成圖形為面積相等的兩部分,則k的值為.解析拋物線y=x-x2與x軸兩交點橫坐標為0,1,拋物線與x軸所圍成圖形的面積為S=01 (x-x2)dx=x22-x33|01=16,拋物線y=x-x2與直線y=kx的兩交點橫坐標為0,1-k.S2=01-k (x-x2-kx)dx=1-k2x2-x33|01-k=16(1-k)3.又S=16,(1-k)3=12.k=1-312=1-342.答案1-3424.由直線y=x和曲線y=x3(x0)所圍成的平面圖形,繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積為.解析由y=x,y=x3(x0),得x=0,y=0,或x=1,y=1.故所求體積V=01 x2dx-01 x6dx=01 x2dx-01 x6dx=13x3|01-17x7|01=13-17=421.答案4215.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+x+1,求其在點(1,2)處的切線與函數(shù)g(x)=x2圍成的圖形的面積.解(1,2)為曲線f(x)=x3-x2+x+1上的點,設過點(1,2)處的切線的斜率為k,則k=f(1)=312-21+1=2,過點(1,2)處的切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.y=2x與