導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用與定積分(理)

1、導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用與定積分（理）Wjf f 點(diǎn)考點(diǎn)解讀導(dǎo)數(shù)的幾何意義（文）.求過(guò)某點(diǎn)的切線的斜率、方程或切點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)過(guò)某點(diǎn)切線方程或其與某線平行、垂直等求參數(shù)的值導(dǎo)數(shù)與定積分的幾何意義（理）.確定或應(yīng)用過(guò)某點(diǎn)的切線的斜率（方程）.定積分的簡(jiǎn)單計(jì)算或利用定積分求某些圖形的面積利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，討論含有參數(shù)的較復(fù)雜基本函 數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求某些參數(shù)的取值范圍.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值.利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求某些含有參數(shù)的較復(fù)雜基本函數(shù)的極值的大小、個(gè)數(shù)或最值.根據(jù)函數(shù)極值的存在情況，利用導(dǎo)數(shù)求某些參數(shù)的取值范圍備考策略

2、本部分內(nèi)容在備考時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：（1）理解并掌握求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則及定積分的計(jì)算公式及性質(zhì).（2）熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究曲線切線問(wèn)題、函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題的方法和規(guī)律.預(yù)測(cè)2019年命題熱點(diǎn)為：（1）根據(jù)曲線的切線的斜率大小、方程或切線的性質(zhì)求參數(shù)的取值問(wèn)題.（2）利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的高次式、分式、指數(shù)式（主要含ex）,對(duì)數(shù)式（主要含ln x）及三角式（主要含sinx, cosx）函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題.知識(shí)整合hi shi zheng he.基本初等函數(shù)的八個(gè)導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x) = C(C為常數(shù))f (x)=qf(x)=x工代 R)f(x) = OC X 1f(

3、x) = sinxf (x)= cosxf(x) = cosxf (x)= sinxf(x)=ax(a0, awl)f (x)= axln_af(x)=exf (x) = Hf(x) = logax(a0,且 aw 1)1f (x) = 1 1 I i一(x)xln af(x) = In x1f (x)=! ! !工 .x.導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則(1)f(x)力(x) = f : (x)力(x).(2)f(x) g(x) = f (x) g(x)+ f(x) g (x).f x , gVf， xgxfxg，g x 2x=(g(x)W0).(4)(理)若 y= f(u), u=ax+b,貝U y x

4、= y u u x,即 y x=ay u.函數(shù)f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)是曲線.切線的斜率 f(x)在點(diǎn)P(xo, f(xo)處的切線的斜率，因此曲線f(x)在點(diǎn)P 處的切線的斜率k=f (xo),相應(yīng)的切線方程為yf(xo)=f : (xo)(xxo).函數(shù)的單調(diào)性在某個(gè)區(qū)間(a, b)內(nèi)，如果f (xo)0(f (xo)0),那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào) 遞增(單調(diào)遞減).函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo附近有定義，如果對(duì) xo附近所有的點(diǎn)x,者B有f(x)f(xo),那么f(xo) 是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作 y極小值= f(xo).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.函數(shù)的最值將函數(shù)y=f(x

5、)在a, b內(nèi)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a), f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.(理)(1)定積分的性質(zhì) TOC o 1-5 h z bkf(x) dx= k bf(x) dx; aabf1(x) =2(x) dx= bf1(x)dx bf2(x)dx; aaabf(x) dx cf(x) dx bf(x) dx(其中 ac0 恒成立，得 x=2 或 x=1 時(shí)，f (x)=0,且 x0; 2x1 時(shí)，f (x)1 時(shí)，f (x)0.所以x= 1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1) = 1.故選 A (2017浙江卷，7)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)

6、函數(shù)y= f (x)的圖象如圖所示，則函數(shù) y=f(x)的圖象可能是( D )解析觀察導(dǎo)函數(shù)f (x)的圖象可知，f (x)的函數(shù)值從左到右依次為小于0,大于0,小于0,大于0,對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)的增減性從左到右依次為減、增、減、增.觀察選項(xiàng)可知，排除 A, C.如圖所示，f (x)有3個(gè)零點(diǎn)，從左到右依次設(shè)為Xi, X2, X3,且xi , X3是極小值點(diǎn)，X2是極大值點(diǎn)，且 x20,故選項(xiàng)D確，故選D.(文)(2018全國(guó)卷n,13)曲線y=2ln x在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為 y=2x 2.解析V =2，k= 2 = 2,所以切線方程為y0=2(x1)即y=2x2.x 1(理)(2018

7、全國(guó)卷n , 13)曲線y=2ln(x+ 1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為 y=2x.22 一解析y卞，帝=2，所以切線方程為y0=2(x0),即y=2x.(2018天津卷，10)已知函數(shù)f(x) = exln x, f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f (1)的值為e.解析因?yàn)?f(x)=eXln x,所以 f (x)=(eXln x) = (ex) In x+ ex(ln x) = ex - lx +ex_1,X1f (1) = e1 - In 1e1 ： = e.(2018江蘇卷，11)若函數(shù)f(x)=2x3ax2+ 1(aC R)在(0,)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在1,1上的最大值

8、與最小值的和為一二.解析令 f(x) = 2x3 ax2+ 1 = 0? a= 2x+ J,X令g(x) = 2x+ g (x)=2 孑0? x1? g(x)在(0,1)上單調(diào)減，在(1,+8)上單調(diào)增.因 XX為有唯一零點(diǎn)，所以 a=g(1) = 2+ 1 = 3? f(x) = 2x3-3x2+ 1,求導(dǎo)可知在 1,1上，f(x)min =f( 1)= 4, f(x)max= f(0)=1,所以 f(x) min+f(x)max= 3.(文)(2018 北京卷，19)設(shè)函數(shù) f(x)=ax2(3a+1)x+3a+ 2ex.(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線斜率為0,求a;

9、(2)若f(x)在x= 1處取得極小值，求 a的取值范圍.解析 因?yàn)?f(x) = ax2-(3a+1)x+3a+2ex,所以 f (x)= ax2(a+1)x+1十x, f (2) = (2a- 1)e2,1 由題設(shè)知 f (2) = 0,即(2a1)e2=0,解得 a = 2.(2)方法一：由(1)得 f (x)=ax2(a+1)x+1ex=(ax 1)(x- 1)ex若 a1,則當(dāng) xC 1 時(shí)，f (x)0.所以f(x)在x= 1處取得極小值.若 aW1,則當(dāng) xC (0,1)時(shí)，ax Kx 10.所以1不是f(x)的極小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是(1, +8).方法二:f (x)

10、=(ax1)(x1)ex當(dāng)a=0時(shí)，令f (x)=0得x= 1.f (x), f(x)隨x的變化情況如下表：x(8, 1)1(1 , +8)f (x)十0一f(x)極大值所以f(x)在x= 1處取得極大值，不合題意._ .一一 1當(dāng) a0 時(shí)，令 f (x)=0 得 x1=二，x2= 1.a(i )當(dāng) x1 = x2,即 a= 1 時(shí)，f (x)=(x 1)2ex 0,所以f(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)無(wú)極值，不合題意.(ii)當(dāng)x1x2,即0a1時(shí),f (x), f(x)隨x的變化情況如下表:x(一00, 1)111 a1,- -k OO1 af (x)十0一0十f(x)極大值極小值所

11、以f(x)在x= 1處取得極大值，不合題意.(iii)當(dāng)xi1時(shí)，f (x), f(x)隨x的變化情況如下表:x1oo _ 一a1 aa-1(1, +)f (x)十0一0十f(x)極大值極小值所以f(x)在x= 1處取得極小值，即 a1滿足題意._ .一一 1當(dāng)a0時(shí)，令f 儀)=0得*1=二，x2= 1. af (x), f(x)隨x的變化情況如下表：x1 8a1 aL 1 a1(1, + )f (x)一0十0一f(x)極小值極大值所以f(x)在x= 1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為(1, +8).(理)(2018 北京卷，18)設(shè)函數(shù) f(x)=ax1 x 20 , ax

12、1w?x 1：,則當(dāng) xC2 時(shí)，f (x)0.所以f(x)在x= 2處取得極小值.1若aw；則當(dāng)xC (0,2)時(shí)，所以f (x)0.所以2不是f(x)的極小值點(diǎn).1綜上可知，a的取值范圍是(2, +8).(文)(2018 天津卷，20(1)(2)設(shè)函數(shù) f(x)=(x-ti)(x-t2)(x-t3),其中 ti, t2, t3 R, 且tl, t2, t3是公差為d的等差數(shù)列.(1)若t2=0, d=1,求曲線丫=刈在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程；(2)若d=3,求f(x)的極值.解析(1)由已知，可得 f(x)=x(x- 1)(x+ 1) = x3-x,故 f (x)=3x21,因此

13、f(0)=0, f (0) = 1,又因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程為 y-f(0) = f, (0)(x-0),故所求 切線方程為x+y= 0.(2)由已知可得 f(x) =(x-t2+ 3)( x-12) (x-12 3)=(x t2)3 9 ( x t2)= x3 3t2x2+ (3t2 9)x t32 + 9t2.故 f (x)=3x26t2x+3t2 9.令 f (x)=0,解得 x= t2yf3,或 x= t2+43.當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況如表：x(一,t2- V3)t2-73(t2-V3, t2+V3)t2 + V3(t2 + V3,+

14、 0 )f (x)十0一0十f(x)極大值極小值所以函數(shù)f(x)的極大值為f(t26)=(炳)39X (43)= 6/3；函數(shù)極小值為f(t2+V3)= e73)3-9X73=- 63.(理)(2018 天津卷，20(1)(2)已知函數(shù) f(x)=ax, g(x) = logax,其中 a1.(1)求函數(shù)h(x) = f(x) xlna的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1，f(x1)處的切線與曲線y= g(x)在點(diǎn)(x2, g(x2)處的切線平行,證明 x1 + g(x2) = 一21n ln aIn a解析(1)由已知，h(x) = axxln a,有 h (x) = axln a

15、-ln a.令 h (x)=0,解得 x=0.由a1,可知當(dāng)x變化時(shí)，h (x), h(x)的變化情況如表：x(00 , 0)0(0, 十0)h (x)一0十h(x)極小值所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, 0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8).(2)由f (x)= axln a,可得曲線y= f(x)在點(diǎn)(x1, f(x1)處的切線斜率為axln a.,11由g(x)=-j，可得曲線 y=g(x)在點(diǎn)(X2, g(X2)處的切線斜率為 j一xin aX2in a因?yàn)檫@兩條切線平行，故有1 axiin a= xn a,即 X2axi(ln a)的切線與y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線垂直，所以

16、y=_(x0)在點(diǎn)P處的斜率為1,設(shè)P(a, b), x、= 1.兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)，得21n in a1ogax2+xi+21oga(1n a)= 0,所以 xi + g(x2)= jin a命題方向1 文導(dǎo)數(shù)的幾何意義理導(dǎo)數(shù)的幾何意義與定積分例1 (1)設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線1與曲線y=-(x0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則 P的坐標(biāo)為(1,1). x、解析y =ex,則y= ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率 k切=1,又曲線y=(x0)上點(diǎn)P處 x、1則曲線y=-(x0)上點(diǎn)P處的切線的斜率為y |x= a= a 2=1,可得a=1,又P(a, b)在yx、. ,一=-上，所以

17、 b= 1,故 P(1,1).xb(2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，右曲線y=ax2+x(a, b為吊數(shù))過(guò)點(diǎn)P(2, 5),且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線 7x+2y+3=0平行，則a+b的值是一3.解析,y=ax2+b, xy = 2ax xbj,b4a+2= 5,由題意可得b 74a-4=-2，解得a = - 1,b=- 2.a+ b= - 3.1(3)(理)右函數(shù)f(x), g(x)滿足f(x)g(x)dx=0,則稱f(x), g(x)為區(qū)間1,1上的一組正1交函數(shù).給出三組函數(shù)： TOC o 1-5 h z 1f(x) = sin2x, g(x)=cos2x;f(x) = x+ 1,

18、g(x)=x1;f(x)=x, g(x) = x2.其中為區(qū)間 1,1上的正交函數(shù)的組數(shù)是( C )A. 0B. 1C. 2D. 3一111解析對(duì)于，(sin2xcoS2x)dx1 1= 2sinxdx-1=2 1 sinxdx-11 .2(- cosx)| 11=2 cos1 cos( 1)1=2( cos1 + cos1) = 0.故為一組正交函數(shù);對(duì)于，1 (x+1)(x 1)dx =1 (x2-1)dx=-1,112x)| 1=3 1 (一3+1)2=一故不是一組正交函數(shù);對(duì)于,1 (x x2)dx =11 ， ,x3dx=(4x4)111 = 0.-1故為一組正交函數(shù).故選C.規(guī)律總

19、結(jié).求曲線y=f(x)的切線方程的三種類(lèi)型及方法(1)已知切點(diǎn)P(x0, y0),求y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程：求出切線的斜率f (x0),由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程.(2)已知切線的斜率為 k,求y=f(x)的切線方程.設(shè)切點(diǎn)P(x0, y0),通過(guò)方程k=f (x0)解得x。，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程.(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求y=f(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0, y。)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率 f (x。)，然后由斜率公式求得切線斜率，列 方程(組)解得x。，再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫(xiě)出方程.根據(jù)過(guò)某點(diǎn)切線方程(斜率)或其與某線平行、垂直等求參數(shù)問(wèn)題的解法：利用導(dǎo)數(shù) 的幾何意義、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜

20、率之間的關(guān)系構(gòu)建方程(組)或函數(shù)求解.(理)利用定積分求平面圖形的面積的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)一：正確畫(huà)出幾何圖形， 結(jié)合圖形位置，準(zhǔn)確確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)，從而得到面積的積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理求出積分值.關(guān)鍵點(diǎn)二：根據(jù)圖形的特征，選擇合適的積分變量.在以y為積分變量時(shí)，應(yīng)注意將曲線方程變?yōu)閤= (y)的形式，同時(shí)，積分上、下限必須對(duì)應(yīng)y的取值.易錯(cuò)提醒：求曲線的切線方程時(shí)，務(wù)必分清點(diǎn)P處的切線還是過(guò)點(diǎn) P的切線，前者點(diǎn)P 為切點(diǎn)，后者點(diǎn) P不一定為切點(diǎn)，求解時(shí)應(yīng)先求出切點(diǎn)坐標(biāo).跟蹤訓(xùn)練Gen zong xun lian(2018洛陽(yáng)二模)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a3

21、)x的導(dǎo)函數(shù)為f (x),且f (x) 是偶函數(shù)，則曲線 y=f(x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程為(A )A. 9x-y-16=0B. 9x+y-16 = 06x-y-12=0D. 6x+y12=0解析由題意可得f (x)=3x2+2ax+a3是偶函數(shù)，則a = 0,所以f(x) = x33x,f (x) = 3x2-3,則 f(2)=2, f (2) = 9,則所求切線方程為y-2=9(x-2),即為 9x-y-16=0.2.若曲線f(x)= acosx與曲線g(x)=x2+bx+1在交點(diǎn)(0, m)處有公切線，則a+b的值為(C )A. - 1B. 0C. 12解析依題意得，f (x

22、)= asinx, g (x)=2x+b,于是有 f (0) = g (0),即一asin0= 2X0+b, b=0；m=f(0)=g(0),即 m=a= 1,因此 a+b=1.3.（理）由直線x= 1, x=2,曲線y=1及x軸所圍成的圖形的面積是（D ） 2xA.154B.1741C. 21n 2解析由定積分的幾何意義，得圍成的面積口dx= 1n x|21= 1n 2-1n1=1n 4= 21n 2.9x22命題方向2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性例2 (2018河南息縣第一高級(jí)中學(xué)段 測(cè))已知函數(shù)f(x)= x2+alnx.(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若g(x) = f(x

23、)+2,在1, 十)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍. x一一 ,2解析(1)f (x)=2x-,x令 f (x)0 ,得 x1;令 f (x)0,得 0 x0在1 , + 8)上恒成立，即a2-2x2在1 , + 8)上恒成立x2 c設(shè)(f)(x) = -2x2.x x)在1 , + 8)上單調(diào)遞減，(jx)max= .1) = 0) a 0;若函數(shù)g(x)為1, + 8)上的單調(diào)減函數(shù)，則 g Z (x) 0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)=x3在(8, + 8)上單調(diào) 遞增，但f (x)0.f (x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f (x)=0時(shí), 則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性.跟蹤訓(xùn)練Gen zong xun lian4,(又)已知函數(shù)f(x)= ax3+x2(a C R)在x=a處取得極值.3(1)確定a的值；(2)若g(x) = f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性.解析對(duì)f(x)求導(dǎo)得f