1993年考研數(shù)學(xué)三真題及全面解析

1、1993年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1) .(2) 已知?jiǎng)t .(3) 級(jí)數(shù)的和為 .(4) 設(shè)階方陣的秩為,則其伴隨矩陣的秩為 .(5) 設(shè)總體的方差為1,根據(jù)來(lái)自的容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,測(cè)得樣本均值為5,則的數(shù)學(xué)期望的置信度近似等于0.95的置信區(qū)間為 .二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 設(shè)則在點(diǎn)處 ( )(A) 極限不存在 (B) 極限存在但不連續(xù) (C) 連續(xù)但不可導(dǎo) (D) 可導(dǎo)(2)

2、 設(shè)為連續(xù)函數(shù),且則等于 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 階方陣具有個(gè)不同的特征值是與對(duì)角陣相似的 ( )(A) 充分必要條件 (B) 充分而非必要條件 (C) 必要而非充分條件 (D) 既非充分也非必要條件(4) 假設(shè)事件和滿足,則 ( )(A) 是必然事件 (B) . (C) (D) (5) 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,且.是的分布函數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù),有 ( )(A) . (B) (C) (D) 三、(本題滿分5分)設(shè)是由方程所確定的二元函數(shù),求.四、(本題滿分7分)已知,求常數(shù)的值.五、(本題滿分9分) 設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為需求函數(shù)為其中為成本,為需求量(即產(chǎn)量),為單價(jià),都是

3、正的常數(shù),且,求:(1) 利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤(rùn);(2) 需求對(duì)價(jià)格的彈性;(3) 需求對(duì)價(jià)格彈性的絕對(duì)值為1時(shí)的產(chǎn)量.六、(本題滿分8分)假設(shè):(1) 函數(shù)滿足條件和;(2) 平行于軸的動(dòng)直線與曲線和分別相交于點(diǎn)和;(3) 曲線,直線與軸所圍封閉圖形的面積恒等于線段的長(zhǎng)度.求函數(shù)的表達(dá)式.七、(本題滿分6分)假設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo),過(guò)點(diǎn)與的直線與曲線相交于點(diǎn),其中.證明:在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使.八、(本題滿分10分)為何值時(shí),線性方程組有惟一解,無(wú)解,有無(wú)窮多組解?在有解情況下,求出其全部解.九、(本題滿分9分)設(shè)二次型經(jīng)正交變換化成,其中和是三維列向量, 是3階正交矩陣.試求常數(shù)

4、.十、(本題滿分8分)設(shè)隨機(jī)變量和同分布, 的概率密度為(1) 已知事件和獨(dú)立,且求常數(shù)(2) 求的數(shù)學(xué)期望.十一、(本題滿分8分)假設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布.(1) 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔的概率分布；(2) 求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下,再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率.1993年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】【解析】 ,極限 , 而 ,所以 .(2)【答案】【解析】令則有 ,則 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知(3)【答案】【解析】利用幾何級(jí)數(shù)求和公式令,即得(4)【答案】【解析】本

5、題考查伴隨矩陣的定義及矩陣的秩的定義.由于,說(shuō)明中3階子式全為0,于是的代數(shù)余子式故.所以秩 若熟悉伴隨矩陣秩的關(guān)系式易知 注：按定義伴隨矩陣是階矩陣,它的元素是行列式的代數(shù)余子式,是階子式.(5)【答案】【解析】此題是求一個(gè)一般總體、大樣本、方差已知的關(guān)于期望值的置信區(qū)間,可以用正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)公式近似求其置信區(qū)間.因的方差為,設(shè)的期望為,則.當(dāng)置信度為,時(shí),有正態(tài)分布表知.因此用公式： .將代入上式,得到所求的置信區(qū)間為.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(C)【解析】利用函數(shù)連續(xù)定義判定.由于當(dāng)時(shí),為有界變量,為無(wú)窮小量,則,且于是在處連續(xù).故(A)(B

6、)不正確.又因?yàn)椴淮嬖?所以在處不可導(dǎo),所以選(C).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)連續(xù)定義：如果函數(shù)在處連續(xù),則有.(2)【答案】(A)【解析】 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】積分上限函數(shù)的求導(dǎo)公式：.(3)【答案】(B)【解析】有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.由于當(dāng)特征值時(shí),特征向量線性無(wú)關(guān).從而知,當(dāng)有個(gè)不同特征值時(shí),矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,那么矩陣可以相似對(duì)角化.因?yàn)楫?dāng)?shù)奶卣髦涤兄馗鶗r(shí),矩陣仍有可能相似對(duì)角化(當(dāng)特征根的代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)的時(shí)候),所以特征值不同僅是能相似對(duì)角化的充分條件,故應(yīng)選(B).(4)【答案】(D)【解析】的充分必要條件是,即.顯然四個(gè)選項(xiàng)中,當(dāng)時(shí),可得.因此是的充分條件.因此選(D).(

7、5)【答案】(B)【解析】題目即考查概率論方面的知識(shí),在計(jì)算過(guò)程中又用到定積分的一些知識(shí).由積分的性質(zhì),換元積分,并改變積分上下限有隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,則,又由于,所以,(偶函數(shù)積分的性質(zhì))即.于是 .故應(yīng)選(B).三、(本題滿分5分)【解析】方法一：利用一階微分形式的不變性,將方程兩端微分,得整理后得 由此,得.方法二：應(yīng)先求出函數(shù)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù),將兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo), 解之得 , .故 .四、(本題滿分7分)【解析】 ,令,則當(dāng)時(shí), ,所以 .而 ,由得,所以或五、(本題滿分9分)【解析】(1) 利潤(rùn)函數(shù)為,對(duì)求導(dǎo),并令,得,得.因?yàn)樗?當(dāng)時(shí)為利潤(rùn)函數(shù)的極大值點(diǎn),根據(jù)題意也是利潤(rùn)的最大值點(diǎn),

8、所以.(2) 因?yàn)?所以,故需求對(duì)價(jià)格的彈性為.(3) 由得.六、(本題滿分8分)【解析】由題設(shè)可得示意圖如右.設(shè),則,即 .兩端求導(dǎo),得,即.由一階線性非齊次微分方程求解公式,得由初始條件,得.因此,所求函數(shù)為.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】一階線性非齊次微分方程的通解公式為:,其中為常數(shù).七、(本題滿分6分)【解析】因?yàn)榉謩e在和上滿足拉格朗日中值定理的條件,故存在,使得由于點(diǎn)在弦上,故有從而 這表明在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件,于是存在,使得.八、(本題滿分10分)【解析】對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換,第一行和第三行互換,再第一行分別乘以、加到第二行和第三行上,再第二行和第三行互換,再第二行乘以加到第三行

9、上,有 .(1)當(dāng)且時(shí),方程組有唯一解,即(2)當(dāng)時(shí), 方程組無(wú)解.(3)當(dāng)時(shí),有.因?yàn)?方程組有無(wú)窮多解.取為自由變量,得方程組的特解為.又導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為,所以方程組的通解為,其中為任意常數(shù).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即.(或者說(shuō),可由的列向量線表出,亦等同于與是等價(jià)向量組)設(shè)是矩陣,線性方程組,則有唯一解 有無(wú)窮多解 無(wú)解 不能由的列向量線表出.九、(本題滿分9分)【解析】經(jīng)正交變換二次型的矩陣分別為.由于是正交矩陣,有,即知矩陣的特征值是0,1,2.那么有【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】二次型的定義：含有個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式(即每項(xiàng)都是二次的多項(xiàng)式)其中,稱為元二次型,令,則二次型可用矩陣乘法表示為其中是對(duì)稱矩陣,稱為二次型的矩陣.十、(本題滿分8分)【解析】(1)依題意,因?yàn)殡S機(jī)變量和同分布,則,又事件獨(dú)立,故.估計(jì)廣義加法公式：解以為未知量的方程 得,(因不合題意).再依題設(shè)條件可知 .再解以為未知量的方程:,得.(2) 直接根據(jù)公式可求得隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望:十一、(本題滿分8分)【解析】本題的關(guān)鍵在于理解隨機(jī)變量的意義,事件表示設(shè)備