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文檔簡介
1、2011年高考數(shù)學(xué)必考考點題型大盤點(一)命題熱點一 集合與常用邏輯用語集合這一知識點是高考每年的必考內(nèi)容,對集合的考查主要有三個方面:一是集合的運算,二是集合間的關(guān)系,三是集合語言的運用. 在試卷中一般以選擇題的形式出現(xiàn),屬于容易題.集合知識經(jīng)常與函數(shù)、方程、不等式等知識交匯在一起命題,因此應(yīng)注意相關(guān)知識在解題中的應(yīng)用.常用邏輯用語也是每年高考的必考內(nèi)容,重點考查:充分必要條件的推理判斷、四種命題及其相互關(guān)系、全稱命題與特稱命題等,在試卷中一般以選擇題的形式出現(xiàn),屬于容易題和中檔題,這個考點的試題除了考查常用邏輯用語本身的有關(guān)概念與方法,還與其他數(shù)學(xué)知識聯(lián)系在一起,所以還要注意知識的靈活運用
2、。預(yù)測1. 已知集合,集合,且,則的取值范圍是A. B. C. D.解析:化簡A得,由于,所以,于是,即的取值范圍是,故選B.動向解讀:本題考查集合間的關(guān)系,考查子集的概念與應(yīng)用、不等式的性質(zhì)等,解答時注意對集合進(jìn)行合理的化簡.預(yù)測2. 若集合,則等于A. B. C. D. 解析:依題意,所以.故選C.動向解讀:本題考查集合的基本運算、函數(shù)的定義域、不等式的解法等問題,是高考的熱點題型.在解決與函數(shù)定義域、值域、不等式解集相關(guān)的集合問題時,要注意充分利用數(shù)軸這一重要工具,通過數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解.預(yù)測3. 已知命題為真命題,則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 解析:依題意,在上恒成立,
3、即.令,由于,所以,于是,因此實數(shù)的取值范圍是,故選C.動向解讀:本題考查全稱命題與特稱命題及其真假判斷,對于一個全稱命題,要說明它是真命題,需要經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯推理與證明,要說明它是一個假命題,只要舉出一個反例即可;而對于特稱命題,要說明它是一個真命題,只要找到一個值使其成立即可,而要說明它是一個假命題,則應(yīng)進(jìn)行邏輯推理與證明.預(yù)測4. “”是“不等式對任意實數(shù)x恒成立”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:不等式對任意實數(shù)x恒成立,則有,又因為,所以必有,故“”是“不等式對任意實數(shù)x恒成立”的必要不充分條件.故選B.動向解讀:本題考查充分必要條
4、件的推理判斷,這是高考的一個熱點題型,因為這類問題不僅能夠考查邏輯用語中的有關(guān)概念與方法,還能較好地考查其他相關(guān)的數(shù)學(xué)知識,是一個知識交匯的重要載體.解答這類問題時要明確充分條件、必要條件、充要條件的概念,更重要的是要善于列舉反例.命題熱點二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線,是高考考查的重點內(nèi)容,主要考查:函數(shù)的定義域與值域、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與方程、基本初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用等,在高考試卷中,一般以選擇題和填空題的形式考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與方程、基本初等函數(shù)等,以解答題的形式與導(dǎo)數(shù)交匯在一起考查函數(shù)的定義域、單調(diào)性以及函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程等知識.其中函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等都是考考查的
5、熱點.高考對導(dǎo)數(shù)的考查主要有以下幾個方面:一是考查導(dǎo)數(shù)的運算與導(dǎo)數(shù)的幾何意義,二是考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用,例如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值與最值等,三是考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及簡單應(yīng)用通常以客觀題的形式出現(xiàn),屬于容易題和中檔題;而對于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,則主要是和函數(shù)、不等式、方程等聯(lián)系在一起以解答題的形式進(jìn)行考查,例如一些不等式恒成立問題、參數(shù)的取值范圍問題、方程根的個數(shù)問題、不等式的證明等問題.預(yù)測1. 函數(shù)在區(qū)間上有最小值,則函數(shù)在區(qū)間上一定A有最小值 B有最大值 C是減函數(shù) D是增函數(shù)解析:函數(shù)圖像的對稱軸為,依題意有,所以,在上遞減,在上遞增,故在上也遞增,無最值,選D.動向解讀:本
6、題考查二次函數(shù)、不等式以及函數(shù)的最值問題.對于二次函數(shù),高考有著較高的考查要求,應(yīng)熟練掌握二次函數(shù)及其有關(guān)問題的解法.在研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值問題時,要善于運用基本不等式以及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解. 預(yù)測2. 如圖,當(dāng)參數(shù)分別取時,函數(shù)的部分圖像分別對應(yīng)曲線,則有A. B. C. D. 解析:由于函數(shù)的圖像在上連續(xù)不間斷,所以必有.又因為當(dāng)時,由圖像可知,故,所以選A.動向解讀:本題考查函數(shù)的圖像問題,這是高考考查的熱點題型,其特點是給出函數(shù)圖象,求函數(shù)解析式或確定其中的參數(shù)取值范圍.解決這類問題時,要善于根據(jù)函數(shù)圖象分析研究函數(shù)的性質(zhì),從定義域、值域、對稱性、單調(diào)性、經(jīng)過的特殊點等方面獲取函
7、數(shù)的性質(zhì),從而確定函數(shù)的解析式或其中的參數(shù)取值范圍.預(yù)測3. 已知函數(shù)的圖像為曲線C,若曲線C不存在與直線垂直的切線,則實數(shù)m的取值范圍是 A. B. C. D. 解析:,曲線C不存在與直線垂直的切線,即曲線C不存在斜率等于的切線,亦即方程無解,故,因此.動向解讀:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,這是高考對導(dǎo)數(shù)考查的一個重要內(nèi)容和熱點內(nèi)容,涉及曲線的切線問題都可考慮利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決,求解這類問題時,要始終以“切點”為核心,并注意對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.預(yù)測4. (理科)已知函數(shù) 為R上的單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是A B C D解析:若在R上單調(diào)遞增,則有,無解;若在R上單調(diào)遞減,則有,解得,綜上實數(shù)的
8、取值范圍是.故選A.動向解讀:本題考查分段函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論思想,這些都是高考的重要考點.解決這類問題時,要特別注意:分段函數(shù)在R上單調(diào)遞增(減),不僅要求函數(shù)在每一段上都要單調(diào)遞增(減),還應(yīng)滿足函數(shù)在分段點左側(cè)的函數(shù)值不大于(不小于)分段點右側(cè)的函數(shù)值.(文科) 已知函數(shù)為R上的單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.解析:若在R上單調(diào)遞增,則有,解得;若在R上單調(diào)遞減,則有,無解,綜上實數(shù)的取值范圍是.動向解讀:本題考查分段函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論思想,這些都是高考的重要考點.解決這類問題時,要特別注意:分段函數(shù)在R上單調(diào)遞增(減),不僅要求函數(shù)在每一段上都要
9、單調(diào)遞增(減),還應(yīng)滿足函數(shù)在分段點左側(cè)的函數(shù)值不大于(不小于)分段點右側(cè)的函數(shù)值.預(yù)測5. (理科)設(shè)函數(shù),其中.(1)若,求在的最小值;(2)如果在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實數(shù)的取值范圍;(3)是否存在最小的正整數(shù),使得當(dāng)時,不等式恒成立.解析:(1)由題意知,的定義域為,時,由,得(舍去),當(dāng)時,當(dāng)時,所以當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增,所以;(2)由題意在有兩個不等實根,即在有兩個不等實根,設(shè),則,解之得;(3)對于函數(shù),令函數(shù),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又時,恒有,即恒成立.取,則有恒成立.顯然,存在最小的正整數(shù)N=1,使得當(dāng)時,不等式恒成立.動向解讀:函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜
10、合問題是近幾年高考的一個熱點題型,這類問題以“參數(shù)處理”為主要特征,以“導(dǎo)數(shù)運用”為主要手段,以“函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值”為結(jié)合點,往往涉及到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等多方面的知識,需要綜合運用等價轉(zhuǎn)換、分類討論、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想方法.(文科)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的最小值;(2)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.解析:(1)當(dāng)時,定義域為.,令,得(舍去),當(dāng)變化時,的變化情況如下表:遞減極小值遞增所以函數(shù)在時取得極小值,同時也是函數(shù)在定義域上的最小值.(2)由于,所以由題意知,在上恒成立.即,所以在上恒成立,即.令,而,當(dāng)時,所以在上遞減,故在上得最大值為,因此要使恒成立,應(yīng)
11、有.動向解讀:函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合問題是近幾年高考的一個熱點題型,這類問題以“參數(shù)處理”為主要特征,以“導(dǎo)數(shù)運用”為主要手段,以“函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值”為結(jié)合點,往往涉及到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等多方面的知識,需要綜合運用等價轉(zhuǎn)換、分類討論、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想方法.命題熱點三 立體幾何與空間向量 (理科)高考對立體幾何與空間向量的考查主要有三個方面:一是考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖與三視圖;二是考查空間點、線、面之間的位置關(guān)系;三是考查利用空間向量解決立體幾何問題:例如利用空間向量證明線面平行與垂直、利用空間向量求空間角等.在高考試卷中,一般有12個客觀題和一個解答題.多為容
12、易題和中檔題.(文科)高考對立體幾何的考查主要有兩個方面:一是考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖與三視圖;二是考查空間點、線、面之間的位置關(guān)系,線面平行、垂直關(guān)系的證明等;在高考試卷中,一般有12個客觀題和一個解答題.多為容易題和中檔題.預(yù)測1.若一個底面是正三角形的直三棱柱的正視圖如圖所示,則其側(cè)面積等于A B2C D6解析:由正視圖可知該三棱柱的底面邊長等于2,高是1,所以其側(cè)面積等于,故選D. 動向解讀:三視圖是高考的熱點內(nèi)容,幾乎每年必考,除了考查對簡單幾何體的三視圖的判斷外,更多地是以三視圖為載體考查幾何體的體積、表面積的計算,在由三視圖中給出的數(shù)據(jù)得出原幾何體的有關(guān)數(shù)據(jù)時,要充分利用
13、三視圖“主左一樣高、主俯一樣長、俯左一樣寬”的性質(zhì).預(yù)測2.平面與平面相交,直線,則下列命題中正確的是A. 內(nèi)必存在直線與平行,且存在直線與垂直B. 內(nèi)不一定存在直線與平行,不一定存在直線與垂直C. 內(nèi)不一定存在直線與平行,但必存在直線與垂直D. 內(nèi)必存在直線與平行,卻不一定存在直線與垂直解析:假設(shè),由于,所以必有,因此在內(nèi)必存在直線與垂直;當(dāng)時,可存在直線與平行,當(dāng)與不垂直時,在內(nèi)一定不存在直線與平行.故選B.動向解讀:本題考查空間中線面、面面的平行與垂直關(guān)系的判斷,其特點是以符號語言給出,考查對相關(guān)定理的理解與運用,解決這類問題時,要熟練掌握相關(guān)的定理,善于利用一些常見的幾何體作為模型進(jìn)行
14、判斷,還要善于舉出反例對命題進(jìn)行否定.預(yù)測3.(理科)正的邊長為4,是邊上的高,分別是和邊的中點,現(xiàn)將沿翻折成直二面角(1)試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并說明理由;(2)求二面角的余弦值;(3)在線段上是否存在一點,使?證明你的結(jié)論解:法一:(I)如圖:在ABC中,由E、F分別是AC、BC中點,得EF/AB,又AB平面DEF,EF平面DEF,AB平面DEF (II)ADCD,BDCD,ADB是二面角ACDB的平面角,ADBD,AD平面BCD,取CD的中點M,這時EMAD,EM平面BCD,過M作MNDF于點N,連結(jié)EN,則ENDF,MNE是二面角EDFC的平面角.在RtEMN中,EM=1,MN=
15、,tanMNE=,cosMNE=.()在線段BC上存在點P,使APDE,證明如下:在線段BC上取點P。使,過P作PQCD與點Q,PQ平面ACD 在等邊ADE中,DAQ=30AQDEAPDE.法二:()以點D為坐標(biāo)原點,直線DB、DC為x軸、y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,.平面CDF的法向量為設(shè)平面EDF的法向量為,則 即,所以二面角EDFC的余弦值為;()設(shè),又,把,所以在線段BC上存在點P使APDE.動向解讀:本題主要考查空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用,這是每年高考的必考內(nèi)容,也是高考試卷中相對較為固定的考查模式,即以空間幾何體為載體,考查空間中直線
16、與平面、平面與平面的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的論證,考查空間中兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的求解等,有時還會以開放性的設(shè)問方式進(jìn)行考查.這類問題通??梢杂袃煞N解法,一是利用有關(guān)的定理與性質(zhì)直接進(jìn)行論證和求解,二是通過建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量進(jìn)行證明或計算.這類考題通常有2至3個小問題,在解答過程要注意各個小問題結(jié)果之間的連貫性,這樣可以簡化解題過程,提高解題速度.ABCDEFGH預(yù)測3.(文科)如圖,平行四邊形中,且,正方形所在平面與平面垂直,分別是的中點(1)求證:;(2)求證:平面;(3)求三棱錐的體積 ()證明:平面平面,交線為,又,;()證明:連結(jié),則是的中點,中,
17、又,平面 ;()解:設(shè)中邊上的高為,依題意:,即:點到平面的距離為,.動向解讀:本題主要考查立體幾何中的綜合問題,這是每年高考的必考內(nèi)容,也是高考試卷中相對較為固定的考查模式,即以空間幾何體為載體,考查空間中直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的論證,考查空間幾何體表面積、體積的計算求解等,有時還會以開放性的設(shè)問方式進(jìn)行考查.這類問題通常有2至3個小問題,在解答過程要注意各個小問題結(jié)果之間的連貫性,這樣可以簡化解題過程,提高解題速度.命題熱點四 解析幾何高考對解析幾何的考查主要包括以下內(nèi)容:直線與圓的方程、圓錐曲線等,在高考試卷中一般有12個客觀題和1個解答題,其中客觀題主要考查直線斜率
18、、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線的定義應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、離心率的計算等,解答題則主要考查直線與橢圓、拋物線等的位置關(guān)系問題,經(jīng)常與平面向量、函數(shù)與不等式交匯等,考查一些存在性問題、證明問題、定點與定值、最值與范圍問題等,解析幾何試題的特點是思維量大、運算量大,所以應(yīng)加強對解析幾何重點題型的訓(xùn)練.預(yù)測1. 如果圓關(guān)于直線對稱,則直線的斜率等于.解析:依題意直線經(jīng)過點,所以,于是直線斜率為.動向解讀:本題考查直線方程與斜率、圓的方程、對稱等基本問題,這是解析幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容,是高考的重點內(nèi)容,一般以選擇題、填空題的形式考查,有時也間接考查,與圓錐曲線的內(nèi)容綜合起來進(jìn)行考查.預(yù)測
19、2. 已知雙曲線的左右焦點分別是,P點是雙曲線右支上一點,且,則三角形的面積等于.解析:由已知可得,而,所以,又,所以可得三角形的面積等于.動向解讀:本題考查雙曲線的定義、三角形面積的計算等問題,是一道綜合性的小題.盡管高考對雙曲線的考查要求不高,但對于雙曲線的定義、離心率、漸近線等知識點的考查卻??汲P?,經(jīng)常會命制一些較為新穎的考查基礎(chǔ)知識的小題目.解答這類問題要善于運用雙曲線的定義,善于運用參數(shù)間的關(guān)系求解.預(yù)測3.已知橢圓,是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點,是橢圓上任意一點,且直線的斜率分別為,若,則橢圓的離心率為A. B. C. D解析:設(shè),則,依題意有.又因為在橢圓上,所以,兩式相減得,即
20、,所以,即,解得.故選C.動向解讀:本題考查橢圓的離心率問題,這是高考的熱點內(nèi)容,這類問題的特點是:很少直接給出圓錐曲線的方程等數(shù)量關(guān)系,而是提供一些幾何性質(zhì)與幾何位置關(guān)系,來求離心率的值或取值范圍.解決這類問題時,首先應(yīng)考慮運用圓錐曲線的定義獲得必要的數(shù)量關(guān)系或參數(shù)間的等量關(guān)系,其次是根據(jù)題目提供的幾何位置關(guān)系,確定參數(shù)滿足的等式或不等式,然后根據(jù)的關(guān)系消去參數(shù),從而可得到離心率的值或取值范圍.預(yù)測4.已知橢圓的短軸長為,那么直線截圓所得的弦長等于.解析:由橢圓定義知,所以,于是,圓的圓心到直線的距離等于,故弦長等于.動向解讀:本題考查橢圓定義、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系等問題,是一道
21、多知識點的綜合性小題,這正體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題所追求的“在知識交匯點處命題”的原則.值得注意的是:本題中橢圓方程沒有直接給出,而是要借助橢圓的定義進(jìn)行分析求解,才能得到有關(guān)的參數(shù)值.預(yù)測5. (理科)已知橢圓的左、右焦點分別為F1和F2 ,以F1 、F2為直徑的圓經(jīng)過點M(0,b).(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l與橢圓相交于A,B兩點,且.求證:直線l在y軸上的截距為定值.解析:(1)由題設(shè)知,又,所以,故橢圓方程為;(2)因為,所以直線與x軸不垂直.設(shè)直線的方程為,.由得,所以,又,所以,即,整理得,即,因為,所以,展開整理得,即.直線l在y軸上的截距為定值.動向解讀:本題考查解析幾何中的
22、定點、定值或取值范圍問題,這是一類綜合性較強的問題,也是近幾年高考對解析幾何考查的一個重點和熱點內(nèi)容.這類問題以直線與圓錐曲線德位置關(guān)系為載體,以參數(shù)處理為核心,需要綜合運用函數(shù)、方程、不等式、平面向量等諸多數(shù)學(xué)知識以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解,對考生的代數(shù)恒等變形能力、化簡計算能力有較高的要求.(文科)已知圓,直線過橢圓的右焦點,且交圓C所得的弦長為,點在橢圓E上. (1)求m的值及橢圓E的方程;(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個動點,求的取值范圍.解析:(1)因為直線交圓C所得的弦長為所以圓心到直線的距離等于即,所以(舍去),又因為直線過橢圓E的右焦點,所以右焦點坐標(biāo)為則左焦點
23、F1的坐標(biāo)為,因為橢圓E過A點,所以,所以,故橢圓E的方程為:(2),則,設(shè),則由,消去得,由于直線與橢圓E有公共點,所以,所以,故的取值范圍為.動向解讀:本題考查解析幾何中的定點、定值或取值范圍問題,這是一類綜合性較強的問題,也是近幾年高考對解析幾何考查的一個重點和熱點內(nèi)容.這類問題以直線與圓錐曲線德位置關(guān)系為載體,以參數(shù)處理為核心,需要綜合運用函數(shù)、方程、不等式、平面向量等諸多數(shù)學(xué)知識以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解,對考生的代數(shù)恒等變形能力、化簡計算能力有較高的要求.命題熱點五 三角函數(shù)與平面向量高考對給部分考查的主要內(nèi)容為:任意角的概念和弧度制、任意角的三角函數(shù)的概念、
24、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、平面向量的概念和線性運算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的應(yīng)用。高考對該部分的考查重基礎(chǔ),雖然該部分內(nèi)容在試卷中試題數(shù)量多、占有的分值較多,但是試題以考查基礎(chǔ)為主,試題的難度一般是中等偏下。在高考中重點考查:三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、正弦定理、余弦定理、平面向量的數(shù)量積、平面向量的幾何意義等。預(yù)測1.將函數(shù)y=的圖像向左平移個單位,再向上平移1個單位,所得圖像的函數(shù)解析式是Ay= By= Cy=1+ Dy=解析::將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選B預(yù)測2.已知向量,其中,函數(shù)的最小正周期為,最大值為3。 (1)求和常數(shù)的值; (2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。解析:(1), , 由,得。
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