我所認(rèn)識的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系講解

1、我所認(rèn)識的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變都是物體受到外界載荷產(chǎn)生的響應(yīng)。物體由于受到外界載荷后，在物體內(nèi)部各部分之間要產(chǎn)生互相之間的力的作用，由于受到力的作用就會產(chǎn)生相應(yīng)的變形；或者由于變形引起相應(yīng)的力的作用。則一定材料的物體其產(chǎn)生的應(yīng)力和應(yīng)變也必然存在一定的關(guān)系。一應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系影響本構(gòu)關(guān)系的因素有很多，例如材料、環(huán)境、加載類型（載荷、溫度）、加載速度（動載荷、靜載荷）等，當(dāng)然，本構(gòu)關(guān)系有很多類型，包括彈性、塑性、粘彈性、粘塑性、各向同性、各向異性本構(gòu)關(guān)系，那么首先來敘述一下簡單情況本構(gòu)關(guān)系，所謂簡單情況就是六個應(yīng)力分量aaaTTT只有一個不為零，x、y、z、xy、yz、zx六個應(yīng)變分量&YYY只有一

2、個自由變化，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系圖1-1。圖中OA為線彈性階段，AB為非線彈性階段，故OB為初始彈性階段，C點(diǎn)位初始屈服點(diǎn)，（a）為初始屈服應(yīng)力，CBA為彈性階段卸載，這一階段中a=E，s+初始彈性階段結(jié)束之后，應(yīng)力繼續(xù)增大，進(jìn)入塑性階段，CDE為強(qiáng)化階段，應(yīng)變強(qiáng)化硬化，EF為頸縮階段，應(yīng)變?nèi)趸浕?。如果在進(jìn)入塑性階段卸載后再加載,理想線彈性模型理想剛塑性模型例如在D點(diǎn)卸載至零，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系自D點(diǎn)沿DO到達(dá)O點(diǎn)，且DOOA,其中OO為塑性應(yīng)變p，DG為彈性應(yīng)變e，總應(yīng)變?yōu)樗鼈冎?。此后再繼續(xù)加載，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系沿ODEF變化，D點(diǎn)為后繼屈服點(diǎn)，0D為后繼彈性階段，（b）為s+后繼屈服應(yīng)力，值得一提的是初

3、始屈服點(diǎn)只有一個，而后繼屈服點(diǎn)有無數(shù)個（由加載歷史決定）。若在卸除全部載荷后反向加載，彈性階段coc，G）=G），s+s-而在強(qiáng)化階段DOD，G）G），稱為Bauschinger效應(yīng)。s+s-從上述分析得出材料彈塑性行為有一定的特殊性，主要表現(xiàn)在：彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性，且是單值對應(yīng)關(guān)系，而塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的非單值對應(yīng)。因?yàn)橥ǔＧ闆r下物體不僅僅處于簡單應(yīng)力狀態(tài)，那么復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系又如何呢？如果我們將材料性質(zhì)理想化即假設(shè)材料是連續(xù)的、均勻的、各向同性的，忽略T、t的影響，忽略凈水壓力對塑性變形的影響，可以將應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系歸結(jié)為不同的類型，包括理想線彈性模型、理想剛塑性模型、線性

4、強(qiáng)化剛塑性模型、理想彈塑性模型、線性強(qiáng)化彈塑性模型、冪強(qiáng)化模型、等向強(qiáng)化模型、隨動強(qiáng)化模型。各種材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系圖如下圖所示：線性強(qiáng)化剛塑性模型理想彈塑性模型線性強(qiáng)化彈塑性模型冪強(qiáng)化模型一線性彈性體線性彈性體本構(gòu)方程的一般形式在單向應(yīng)力狀態(tài)下，理想彈性材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系很簡單，即二Ew,即胡克定律。如果在三維應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力應(yīng)變之間仍然滿足類似的xx一一對應(yīng)的關(guān)系，則稱這類彈性體為線彈性體。對線彈性體，把單向應(yīng)力狀態(tài)下得胡克定律推廣到三維應(yīng)力狀態(tài)下。其一般形式為：Q:二C8+C8+C8+CY+CY+CYx11x12y13z14xy15yz16zxQ二C8+C8+C8+CY+CY+CY

5、y21x22y23z24xy25yz26zxQ二C8+C8+C8+CY+CY+CYz31x32y33z34xy35yz36zxT二C8+C8+C8+CY+CY+CYxy41x42y43z44xy45yz46zxT二C8+C8+C8+CY+CY+CYyz51x52y53z54xy55yz56zxT二C&+C&+C8+C丫+C丫+C丫（2-1）zx61x62y63z64xy65yz66zx式（2-1）可簡寫為二C8ijijklkl（2-2）由于應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的對稱性，彈性張量具有對稱性：C=C、ijklijlkC=C，從彈性應(yīng)變能密度函數(shù)的概念出發(fā)，可以證明上述36個常數(shù)中，ijkljikl實(shí)

6、際上獨(dú)立的彈性常數(shù)只有21個，即C=C。ijklklij滿足廣義胡克定律的線彈性體稱為各向異性彈性體，各向異性彈性體是線彈性體的最一般情況。各向同性彈性體的本構(gòu)方程各向同性彈性體在彈性狀態(tài)下，主應(yīng)力方向與主應(yīng)變方向重合容易證明。在主應(yīng)變空間里，由于應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸重合，各向同性彈性體體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變之間滿足：Q二C8+C8+C8x11x12y13zQ二C8+C8+C8TOC o 1-5 h zy21x22y23zQ二C8+C8+C8（2-3）z31x32y33z8對Q的影響與8對b以及8對Q的影響是相同的，即有C=C=C;8xxyyzz112233y和8對b的影響相同，即C=C，同理

7、有C=C和C=C等，則可統(tǒng)一寫為：zx121321233132C=C=C=a2233C=C=C=C=C=C=b（2-4）2113312332所以在主應(yīng)變空間里，各向同性彈性體獨(dú)立的彈性常數(shù)只有2個。在任意的坐標(biāo)系中，同樣可以證明彈性體獨(dú)立的彈性參數(shù)只有2個。彈性應(yīng)變能密度函數(shù)彈性體受外力作用后，不可避免地要產(chǎn)生變形，同時(shí)外力的勢能也要產(chǎn)生變化。根據(jù)熱力學(xué)的觀點(diǎn)，外力所做的功，一部分將轉(zhuǎn)化為彈性體的動能，一部分將轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；同時(shí)，在物體變形過程中，它的溫度也將發(fā)生變化，或者從外界吸收熱量，或者向外界發(fā)散熱量。分析彈性體內(nèi)任一有限部分刀的外力功和內(nèi)能的變化關(guān)系，設(shè)彈性體內(nèi)取出部分工的閉合表面為S,

8、它所包圍的體積為V。以5W表示外力由于微小位移增量在取出部分工上所作的功，5U表示在該微小變形過程中取出部分工的內(nèi)能增量，5K表示動能增量，5Q表示熱量的變化（表示為功的單位），根據(jù)熱力學(xué)第一定律，則有5W=SK+6U-SQ（2-5）假設(shè)彈性體的變形過程是絕熱的，即假設(shè)在變形過程中系統(tǒng)沒有熱量的得失。再假設(shè)彈性體在外力作用下的變形過程是一個緩慢的過程，在這個過程中，荷載施加得足夠慢，彈性體隨時(shí)處于平衡狀態(tài)，而且動能變化可以忽略不計(jì)（這樣的加載過程稱為準(zhǔn)靜態(tài)加載過程），則根據(jù)上式表示的熱力學(xué)第一定律，外力在變形過程中所做的功將全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能儲存在彈性體內(nèi)部。這種貯存在彈性體內(nèi)部的能量是因變形而獲

9、得的，稱之為彈性變形能或彈性應(yīng)變能。由于彈性變形是一個沒有能量耗散的可逆過程，所以，卸載后，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來。以X,Y,Z表示單位體積的外力，X,Y,Z表示作用在彈性體內(nèi)取出部分工表面上單位面積的內(nèi)力。對上述的準(zhǔn)靜態(tài)加載過程，認(rèn)為彈性體在外力作用下始終處于平衡狀態(tài)。外力所做的功W包含兩個部分：一部分是體力X,Y,Z所做的功W；另一部分是面力X,Y,Z所做的功W，它們分別為12XudV二Xu+Yv+Zw)dViiff)X缶Xu+Yv+Zw)dSiiTOC o 1-5 h zSS則：WW+W12Xu+Yv+Zw)dV+缶Xu+Yv+Zw)dSVS外力由于微小位移增量在取出部分工上所做的功5

10、W表示為:SW5W+5WX5udV+阪5udS2-6)2-7)2-8)2-9)12iiii將平衡微分方程和靜力邊界條件代入上式，利用散度定理可得：SW=B!(ySu)dV+血6u)ldSij,jijijVS2-10)=B!(-QSu)dV+ftQSu),dV=fffQSudVij,jiijijiji,jVSV因?yàn)镼Ss=1QS(u+u)=oSu，所以內(nèi)能增量SU為:ijij2iji,jj,iiji,jSU=SW=fffQSudV=fffQSsdV(2-11)iji,jijijVV定義函數(shù)以寫)，使之滿足格林公式:2-12)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark20

11、 o Current Document dU(s)0j=Q HYPERLINK l bookmark22 o Current Document dsijij把它代入(2-11)有：SU=fffQSsdV=SUdV=sBJUdV(2-13) HYPERLINK l bookmark24 o Current Document jjd&j00VVijVVU(s)表示單位體積的彈性應(yīng)變能，稱之為彈性應(yīng)變能密度函數(shù)(或彈性應(yīng)0ij變比能函)，簡稱應(yīng)變能。對(2-12)取積分，得fUo(sj)dU=fsjQds=U(s)-U(0)(2-14)000ijij0ij0假如U(s)的具體函數(shù)形式能夠確定的話，彈

12、性體的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系0ij也就完全確定了。這可表明，彈性應(yīng)變能密度函數(shù)是彈性材料本構(gòu)關(guān)系的另一種表達(dá)形式。假設(shè)U0(sj)對sj有二介以上的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有式(2-12)可得2-15)TOC o 1-5 h zij=k-3sQsklij式(2-15)為廣義格林公式。將式(2-2)代入廣義格林公式得：2-16)QgQgj=C=ki=CQsklijQsijklklij即各向異性彈性體獨(dú)立的彈性常數(shù)只有21個。三屈服條件研究材料的塑性特性時(shí)，首先要弄清楚材料什么時(shí)候進(jìn)入塑性變形階段，即什么時(shí)候達(dá)到屈服。固體在載荷作用下，最初處于彈性狀態(tài)，隨著載荷逐步增加至一定程度使固體內(nèi)應(yīng)力較大的部位出現(xiàn)塑性變

13、形，固體由初始彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)的過程就是初始屈服。需要找到確定材料初始彈性狀態(tài)的界限的準(zhǔn)則，這個準(zhǔn)則就稱為初始屈服條件，簡稱屈服條件。1.屈服函數(shù)與屈服曲面在簡單應(yīng)力狀態(tài)下，如前面所述的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可知，當(dāng)固體內(nèi)部應(yīng)力達(dá)到初始屈服極限時(shí)將產(chǎn)生初始屈服。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，一般屈服條件可以表示為應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、時(shí)間t和溫度T的函數(shù)，它可寫成：f(g,s,t,T)二0(3-1)ijij不考慮時(shí)間效應(yīng)和接近常溫的情況下，時(shí)間t和溫度T對塑性狀態(tài)沒什么影響，在初始屈服之前，應(yīng)力和應(yīng)變之間具有一一對應(yīng)關(guān)系，所以應(yīng)變分量s可ij以用應(yīng)力分量g表示，因此屈服條件就僅僅是應(yīng)力分量的函數(shù)了，它可表示為

14、:ijf(g)二0(3-2)ij以應(yīng)力張量的六個分量為坐標(biāo)軸，就建立起一個六維應(yīng)力空間，屈服函數(shù)f（b）二0表示應(yīng)力空間中的一個曲面，即屈服曲面（簡稱屈服面）。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)bijij位于該曲面之內(nèi)時(shí)（即f（b）0）,材料處于彈性狀態(tài)；當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)位于此曲面上ij時(shí)（即f（b）二0），材料由初始彈性開始屈服；如果應(yīng)力進(jìn)一步增加，材料進(jìn)入ij塑性狀態(tài)。假設(shè)：1）材料是初始各向同性的。屈服函數(shù)與坐標(biāo)的選取無關(guān)，它可寫成應(yīng)力張量不變量的函數(shù)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark34 o Current Document f（/,/,/）二0（3-3）123或?qū)懗芍鲬?yīng)力的函數(shù) HY

15、PERLINK l bookmark36 o Current Document f（b,b,b）二0（3-4）1232）平均應(yīng)力（靜水應(yīng)力）不影響塑性狀態(tài)。屈服函數(shù)只應(yīng)與應(yīng)力偏量的不變量有關(guān)，即 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document f（J,J）二0（3-5）23或者寫成只是應(yīng)力偏量主值的函數(shù) HYPERLINK l bookmark40 o Current Document f（S,S,S）二0（3-6）123這個假設(shè)對金屬材料成立，但對于一些非金屬材料，如混凝土、巖石等則不成立。通過第一個假設(shè)，屈服面由六維空間中的一個超曲面簡化為三維主應(yīng)力空間

16、中的一個曲面；通過第二個假設(shè)，屈服面簡化為一條曲線。在主應(yīng)力空間中，固體一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用一個矢量0P來描述(圖3-5),矢量0P可寫為:TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark42 o Current Document OP=gi+cj+ck(3-7)123分解成為偏量部分與球量部分有： HYPERLINK l bookmark44 o Current Document OP=Si+Sj+Sk+(bi+cj+qk)=OQ+ON(3-8)123mmm有上述第二個假定，0N與材料的塑性狀態(tài)無關(guān)。從幾何上看0N與2，Q3軸的夾角相等，且正交于過原點(diǎn)的一個平面，這個平面

17、的方程為：(3-9)q+q+q二0123這個平面平均應(yīng)力等于0,習(xí)慣稱之為“平面。根據(jù)第二個假定，在主應(yīng)力空間中，屈服面必定是一個垂直與兀平面的等截面的柱面，它的母線與矢量0N平行。屈服面是一個等截面的柱面，它在任意垂直與0N的平面上的投影曲線都是一樣的，研究這個柱面的特征，只要研究它在兀平面上的投影曲線即可，這條投影曲線稱為屈服曲線。圖3-5主應(yīng)力里面的屈服面圖3-6n平面的上的屈服曲線2.常用屈服條件(1)Tresca屈服條件1864年，法國人Tresca做了一系列的金屬擠壓試驗(yàn)來研究屈服條件。根據(jù)實(shí)驗(yàn)，他提出假設(shè)：當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時(shí)，材料發(fā)生屈服。這個條件稱為Tresca屈服條

18、件，也稱為最大剪應(yīng)力條件。t二k(3-10)maxk是和屈服有關(guān)的材料常數(shù)，可由單向拉伸實(shí)驗(yàn)或純剪切實(shí)驗(yàn)確定。(2)Mises屈服條件Tresca屈服條件在“平面上的幾何圖形是一個正六邊形，它的六個頂點(diǎn)是由試驗(yàn)得到的，但是連接這六個點(diǎn)得直線卻是假設(shè)的，而且Tresca正六邊形的角點(diǎn)也給問題的數(shù)學(xué)處理帶來了不便。在1913年，Mises提出采用一個圓來連接Tresca正六邊形的六個頂點(diǎn)可能更加合理，它可以避免由于屈服曲線不光滑而造成的數(shù)學(xué)困難。Mises提出的屈服條件為：J二C(3-11)2其中，C也是和材料性質(zhì)有關(guān)的一個常數(shù)。它可通過實(shí)驗(yàn)確定。若做簡單拉伸實(shí)驗(yàn)，則材料屈服時(shí)有=Q=0,J=O2

19、=C，所以：1s233sC=-q2(3-12)3s若做純剪實(shí)驗(yàn)，則材料屈服時(shí)有1=_G2=Ts3=，J2=TI=C，所以C=t2(3-13)s對大多數(shù)材料，實(shí)驗(yàn)證明Mises屈服條件比Tresca屈服條件更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果。四加載條件加載和卸載準(zhǔn)則1理想塑性材料加載和卸載由于理想塑性材料的加載面和屈服面總是保持一致，所以，加載函數(shù)和屈服函數(shù)可以統(tǒng)一表示為：f（b,k）二0ij它們均與塑性變形的大小和加載歷史無關(guān)。于是，在荷載改變的過程中，如果應(yīng)力點(diǎn)保持在屈服面上，即df=O,此時(shí)塑性變形可以任意增長，就稱為加載。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)從屈服面上退回屈服面內(nèi)，即dfvO,就表示變形狀態(tài)從塑性變?yōu)閺椥?此時(shí)不產(chǎn)生新的塑性變形，稱為卸載。理想塑性材料的上述加載和卸載準(zhǔn)則，可以用數(shù)學(xué)形式表示為f（a）0（彈性狀態(tài)）ijfQj）二0妙二化+伽刀-化）二眾0（加載）ijfQ）二0df=fQ+