數(shù)學(xué)建模建立函數(shù)模型解決實際問題

1、數(shù)學(xué)建模建立函數(shù)模型解決實際問題課標(biāo)要求素養(yǎng)要求收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或通過生活中具體的數(shù)學(xué)模型，進行提出者經(jīng)濟領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會人們是問題、分析數(shù)據(jù)、建立模型、檢驗?zāi)Ｐ腿绾谓柚瘮?shù)刻畫實際問題，感悟數(shù)學(xué)來發(fā)展數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)建模模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義.素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)-X-II知識探究Ell訓(xùn)llllllllllllllll教材知識探究卜肆引入數(shù)學(xué)建模是在20世紀60和70年代進入一些西方國家大學(xué)的我國的幾所大學(xué)也在80年代初將數(shù)學(xué)建模引入課堂經(jīng)過30多年的發(fā)展現(xiàn)在絕大多數(shù)本科院校和許多專科學(xué)校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學(xué)建模課程和講座，為培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實際問題的

2、能力開辟了一條有效的途徑大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽最早是1985年在美國出現(xiàn)的，1989年在幾位從事數(shù)學(xué)建模教育的教師的組織和推動下，我國幾所大學(xué)的學(xué)生開始參加美國的競賽，而且積極性越來越高，近幾年參賽校數(shù)、隊數(shù)占到相當(dāng)大的比例可以說數(shù)學(xué)建模競賽是在美國誕生，在中國開花、結(jié)果的.問題你知道什么是數(shù)學(xué)建模嗎？提示數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程主要過程包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，求解模型、檢驗結(jié)果、得出結(jié)論，最終解決實際問題.上新知梳理1用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題的步驟觀察實際情景：對實際問題中的變

3、化過程進行分析；發(fā)現(xiàn)和提出問題：析出常量、變量及其相互關(guān)系；收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)：明確其運動變化的基本特征，從而確定它的運動變化類型；選擇函數(shù)模型：根據(jù)分析結(jié)果，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實際問題化歸為數(shù)學(xué)問題；求解函數(shù)模型：通過運算推理，求解函數(shù)模型；檢驗?zāi)Ｐ停豪煤瘮?shù)模型的解說明實際問題的變化規(guī)律，達到解決問題的目的.2數(shù)學(xué)建?；顒拥囊?1)組建團隊；(2)開展研究報告；(3)撰寫研究報告；(4)交流展示.教材拓展補遺微判斷1在構(gòu)建函數(shù)模型時，經(jīng)常會遇到?jīng)]有現(xiàn)成數(shù)據(jù)可用的情況，這時就需要先收集數(shù)據(jù).W)2在用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題時，首先要對實際問題中的變化過程進行分析，析出

4、其中的常量、變量及其相互關(guān)系(/)3求出函數(shù)模型后，還需要利用函數(shù)模型的解說明實際問題的變化規(guī)律，從而達到解決問題的目的(/)微思考數(shù)學(xué)建?；顒邮且粋€科學(xué)的研究過程，科學(xué)研究通常要經(jīng)歷哪幾個步驟？提示科學(xué)研究通常需要經(jīng)歷四個基本步驟選題;開題;做題；結(jié)題.課堂互動hiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiffia!剖析lii冊刪刪NMMBNMIINI題型一數(shù)學(xué)建模主要步驟的探究【例1】提出問題在小傅家門口有一個十字型的交通路口（如圖所示），小傅就想了，警察叔叔需要指揮多少種情況的汽車運行線路？建立模型此問題需要分是否可以原路調(diào)頭的情況來討論.（1）每條線路都有往返雙

5、向線；設(shè)4條路分別為A，B，C，D；以A為起始，如允許原路調(diào)頭，則有A-A，A-B，A-C，A-D，如不允許原路調(diào)頭，則有A-B，A-C，A-D.求解模型第一步：始線路條數(shù)；第二步：終線路條數(shù).如允許原路調(diào)頭：則N二4X4二16（種）可能；如不允許原路調(diào)頭：則N二4X3二12（種）可能.檢驗結(jié)果如果允許汽車原路調(diào)頭，那么在此交通路口共有16種不同的行車情況，如果不允許汽車原路調(diào)頭，那么在此交通路口共有12種不同的行車情況.【例2】提出問題兩根同樣長的蠟燭，點完粗蠟燭要3小時，點完細蠟燭要1小時現(xiàn)同時點燃兩根蠟燭一段時間后同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長度是細蠟燭的3倍.問兩根蠟燭燃燒了多長時間？建立模

6、型設(shè)兩根蠟燭的長度為l厘米，且、細蠟燭的燃燒速度分別為x、y（厘米/小時），則有y=l=3x；點燃兩根蠟燭一段時間后同時熄滅，剩余粗、細蠟燭的長度分別為R、r，則R二3r.l-rl-3r求解模型根據(jù)條件有：丁=-（燃燒時間相同）yx化簡為l=4r，即細蠟燭燃燒后的長度是原來長度的也即燃燒了,所以燃燒的時間為fl|1y1|（小時）.檢驗結(jié)果為了明確各量之間的相互關(guān)系，在必要的地方可以加注.【例3】提出問題李明玩套圈游戲，游戲規(guī)則為：套中小雞一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，李明共套10次，且每個小玩具都至少被套中一次.已知李明共得61分，求其中小雞被套中過多少次.建立模型設(shè)每次

7、不可能同時套中2個及2個以上的玩具；為了保證“每個小玩具都至少被套中一次”，可設(shè)小雞、小猴、小狗分別被套中x,y,z次,x,y,zN+，然后解不定方程組.求解模型由條件得不定方程組x+y+z=10,9x+5y+2z=61,-2X消去z得7x+3y二41.廠x=5,正整數(shù)解為x=2,x二5,（不合方程）,y=2,y二9y二2、z=3,檢驗結(jié)果驗證得小雞、小猴、小狗分別被套中5、2、3次，總共得分61分.【例4】提出問題甲、乙兩人去沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可帶一個人4天的食物和水.如果允許將部分食物存放于途中，問其中1人最遠可深入沙漠多少千米？（要求最后兩人返回出發(fā)點

8、）建立模型要使其中一位探險者盡可能走得遠，另一位須先回，留下食物和水給另一位，所以必須分頭行動.問題是在何處留下食物和水？經(jīng)過商議讓甲走得更遠（最遠走4X20=80（千米），但回程就沒有食物和水了）,需要乙在適當(dāng)?shù)牡攸c留下足夠的食物和水.第1天乙在10千米處留下1份食物和水，到20千米處吃1份留下1份，第2天走到30千米處留下1份食物和水后馬上往回返，到20千米處再吃1份，第3天走20千米回出發(fā)點.第1天甲20千米處吃1份，第2天走到40千米處吃1份，第3天走到60千米處吃1份，第4天走到65千米處然后往返，到50千米處吃1份（到此為止甲自帶的食物和水已吃完），第5天走到30千米處吃1份（此處

9、食物和水是乙留下的），第6天走到10千米處吃1份，然后回出發(fā)點.求解模型所謂“錯位推進法”，對于本題來說，關(guān)鍵點為“乙在30千米和10千米處給甲留下食物和水”，根據(jù)分析與假設(shè)推知結(jié)論：其中的一位沙漠探險家最多可深入沙漠65千米.檢驗結(jié)果從“第6天走到10千米處吃1份，然后回出發(fā)點”，感覺似乎還有10千米可以走，但已經(jīng)回出發(fā)點了，考慮一下甲還可以再往前推進5千米嗎？題型二數(shù)學(xué)建?；顒又饕^程的探究【例5】關(guān)于外賣垃圾問題的分析與解決選題餐飲業(yè)作為我國第三產(chǎn)業(yè)中一個傳統(tǒng)服務(wù)性行業(yè)，經(jīng)歷了改革開放進步、數(shù)量型擴張、規(guī)模連鎖發(fā)展和品牌提升戰(zhàn)略4個階段，取得突飛猛進的發(fā)展.為了滿足當(dāng)今社會快速的生活節(jié)奏

10、，“外賣”這一餐飲方式便應(yīng)運而生.“外賣”這個詞是舶來品，原意是離店銷售.目前，無論是地處繁華地帶的市中心，還是相對冷清的城郊地區(qū)，原先并不涉足外賣的餐館都經(jīng)營了外賣快餐.外賣有好有壞，它既方便了我們的生活，但同時也制造了大量的垃圾，這些垃圾造成了生態(tài)環(huán)境的破壞，海洋動物的死亡，也已經(jīng)威脅到了我們的生活.本文就此問題，展開對外賣垃圾該如何處理的分析與討論.開題從具體的處理方式考慮.通過資料我們了解到填埋是我國最重要的垃圾處理方式.而填埋對環(huán)境的影響則大多體現(xiàn)在填埋場對周圍土地的污染.因此，我們想要在不減少填埋場地所能填埋垃圾的數(shù)量的情況下，減少對土地的污染.而填埋數(shù)量與填埋場的體積有關(guān).目前，

11、填埋場的深度基本已達最大.因此我們通過改變填埋場的形狀，尋找更好的可建為填埋場的圖形.在此過程中，我們猜測填埋場對周圍土地的污染是以c為半徑的.并假設(shè)填埋場形狀可以為任意形狀.在嘗試過長方形、正方形、圓形、正三角形后，我們通過公式及定量分析得出圓形為更好的一種選擇.因此，在一定的條件下，填埋場建為圓形可以更有效的減少對周圍土地的污染.一、固體廢物數(shù)據(jù)的搜集與處理我們通過技術(shù)手段（代碼見附件），在知名外賣網(wǎng)站“餓了么”上面定點抓取了一個地區(qū)方圓7500m左右所有已在該網(wǎng)站上注冊的店鋪的數(shù)據(jù)約32109條，合計月銷量267305份，并寫了一個簡單的基于字典的分類算法，分類了135655份月銷量，并

12、按照一個理想數(shù)值為每一種商品產(chǎn)生的垃圾進行估算.分類結(jié)果如下：外賣網(wǎng)站數(shù)據(jù)分類結(jié)果商品類型飯類面類漢堡烤肉餃子菜類飲料湯類數(shù)量3425812409641611420299631841105887647占比29.23%10.59%5.47%9.74%2.56%27.16%9.03%6.52%根據(jù)我們的理想數(shù)值，其產(chǎn)生的垃圾如下:網(wǎng)站ele.me理論單月垃圾產(chǎn)生量垃圾種類一次性筷子塑料袋塑料碗錫箔包裝紙數(shù)量113496195355111254126872010占比23.00%39.60%22.55%0.26%14.60%根據(jù)網(wǎng)絡(luò)搜集的市場份額與分類算法的處理偏差可以合理計算出附近外賣垃圾的月總量.

13、線上外賣網(wǎng)站理論單月垃圾產(chǎn)生量垃圾種類一次性筷子塑料袋塑料碗錫箔包裝紙數(shù)量3026565209472966773381192027占比23.00%39.60%22.55%0.26%14.60%根據(jù)以上的數(shù)據(jù)我們可以清楚地看到：飯類、面類、菜類占比較高，根據(jù)本小組的實踐，這類外賣都會產(chǎn)生塑料碗、塑料袋、一次性筷子，而這些塑料是最難處理的，當(dāng)塑料上沾上油的時候，清洗也是件困難的事情.在這些外賣產(chǎn)生的垃圾中，塑料袋最多，一次性筷子其次，塑料碗也較多.二、固體廢棄物處理情況由問題一我們推出的一個區(qū)域的廢棄物再結(jié)合網(wǎng)絡(luò)上的數(shù)據(jù)我們可以合理推理：垃圾回收方式占比質(zhì)量(kg)未處理(kg)填埋(kg)焚燒(

14、kg)回收(kg)12077.2085326.08462959988.45529940.0899096822.5786709根據(jù)我們在網(wǎng)絡(luò)上了解的知識：大部分的塑料都是以填埋的方式處理；筷子、包裝紙等可回收的一般是能回收則回收，但是難以回收的會放棄;塑料制品一般是填埋.根據(jù)以上的信息并結(jié)合我們手上的數(shù)據(jù)，可以猜想：預(yù)測垃圾單類回收方法占比垃圾種類一次性筷子塑料袋塑料碗錫箔包裝紙質(zhì)量(kg)1513.281041.898900.3145.64576.08未處理(kg)75.66104.19445.029.5923.04填埋(kg)75.66771.007743.274.1134.56焚燒(kg)

15、15.13125.03356.010.4651.85回收(kg)1346.8241.68356.0131.49466.63做題改變填埋場形狀以降低污染問題分析填埋作為重要的處理方式，可以優(yōu)化填埋所進行的具體措施來減少污染.我們了解到，填埋的污染主要為土地污染，因此減少土地污染即可.我們通過查找資料得知，填埋對土地的污染大多是以填埋場地為中心，并往四周拓展一定區(qū)域，我們假定其是以均勻半徑進行拓展因此可以嘗試在同體積的情況下減小其污染的土地因為目前的填埋場深度基本已達最大深度，所以在此暫不考慮對深度的拓展假設(shè)垃圾填埋場為規(guī)則的立體圖形因此要保證同體積的情況下，深度一樣，則表面積一樣所以我們的目的便

16、是使在相同的表面積下，什么圖形所構(gòu)成的表面會對土地污染數(shù)量最小.2模型建立我們通過網(wǎng)上的信息了解到，目前的填埋場形狀大多為長方形如圖：1壇埋場111(周圍為污染區(qū))設(shè)長為a，寬為b，對四周土地進行污染的半徑為c總污染面積為S.那么S=ab+2ac+2bc+nc2=ab+2c(a+b)+nc2在表面積固定的情況下：ab為定值，c、n均為定值，因此使(a+b)最小即可.由均值不等式可得：a+b三2、.ab且當(dāng)a=b時取等號.因此若使S最小，即a=b，因此我們得出結(jié)論：垃圾填埋場呈正方形比呈長方形要好.之后，我們再比較其他形狀的垃圾填埋場和傳統(tǒng)垃圾填埋場誰更好.為了方便計算和更好的解決問題，以下模型

17、均與正方形所造成的土地污染進行對比，若更好，則模型優(yōu)化成立.圓形在這里為方便，把正方形的圖與圓形的圖放在一起做對比.i塡埋場設(shè)正方形邊長為d對四周土地進行污染的半徑為c,圓的半徑為r.d2=nr2,正方形總污染為S=nc2+4dc+d2,正方形圓形總污染為S=T+cn=色+2+c2n=d2+2dcpn+c2n,圓形n丿Inn丿作差得SS=c2n+2dc、.：n+d2nc24dcd圓形正方形=2dc：n4dc=2dc(*n2),又因為；兀一2v0,因此SvS，所以圓形更好.圓形正方形因此在之后的比較中用圓形即可.(2)正三角形因為我們要使圓形與三角形的表面積相同，則e2=nr2,r=因此通過計算

18、可得e2+nc2+3ce,S三角形污染面積+ec/j3n+c2n,33-S圓形污染面積S三角形污染面積=24e2+e&羽兀+c2n4e2nc23ce=ec&y/3n3)vO,因此SS，所以圓形更好.圓形污染面積三角形污染面積綜上所述，目前的填埋場形狀為長方形，而我們通過計算得出，圓形實則為更好的一種方案.因此我們可以通過把長方形的填埋場改建為圓形的填埋場，這樣可以有效的減少土地污染體積.模型優(yōu)化成立.結(jié)題1.模型優(yōu)點：該模型可以有效的減少土地污染體積；該模型不需要耗費大量的人力物力.模型缺點：該模型沒有考慮滲濾液處理區(qū)等方面的限制條件；該模型只能用于填埋場形狀為圓形的填埋場.我們了解到填埋是我

19、國目前最重要的垃圾處理方式.而填埋造成的環(huán)境污染主要體現(xiàn)在對周圍土地的污染.因此我們想在不影響填埋數(shù)量的情況下，通過改變填埋場形狀來減少對土地的污染.在此模型中，我們采用了枚舉法，通過比較不同的形狀帶來的污染，最后得出結(jié)論.在一定的條件下，圓形較好.最后，我們通過調(diào)查問卷和數(shù)據(jù)抓取的方式，得到訂外賣的主體為服務(wù)業(yè)的年輕人.大量的外賣垃圾正威脅著我們的環(huán)境，但并非無解決方法.但是，最重要的還是我們自身需建立起環(huán)境保護意識，自覺保護環(huán)境，維護生態(tài)平衡.只有這樣，我們才能繼續(xù)綠色、健康的生存和發(fā)展下去.【例6】牙膏價格與重量關(guān)系的數(shù)學(xué)建模選題在超市購物時，我們注意到大包裝商品比小包裝商品便宜，比如潔

20、銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元.我們可以通過單位商品價格關(guān)于商品重量的函數(shù)來分析大包裝便宜還是小包裝便宜.開題1.分析問題商品價格是由成本決定的，成本可分為生產(chǎn)成本、包裝成本和其他成本.生產(chǎn)成本與重量W成正比，包裝成本與表面積成正比，其他成本與W無關(guān).單位重量商品總價格價格=總重量.牙膏可以近似為圓柱體來思考.模型假設(shè)設(shè)如下變量：商品價格為C,商品重量為W,單位重量價格為c,商品包裝面積為S,生產(chǎn)成本為C1，包裝成本為C2，其它成本為C3.研究的大體思路、方法與步驟分析商品價格C與商品重量W的關(guān)系.價格由生產(chǎn)成本、包裝和其它成本等決定，這些成本中有的與重量W成正比，

21、有的與表面積成正比，還有與W無關(guān)的因素.求單位重量價格c與W的關(guān)系，可以用簡圖分析最后結(jié)合實驗結(jié)論，對商家或顧客提出合理的建議.研究此問題的意義實際生活中，經(jīng)常會遇到大、小包裝的問題，如洗衣粉、洗發(fā)水、純凈水等.在選擇購買時，可依據(jù)下面的數(shù)學(xué)模型做選擇.做題1.模型建立與求解商品價格由成本決定，商品成本=生產(chǎn)成本+包裝成本+其他成本，故c=q+C2+C3，生產(chǎn)成本與重量W成正比，設(shè)C1=k1W(k1為大于0的常數(shù))，包裝成本與表面積S成正比，商品包裝包括牙膏包裝和牙膏盒包裝，牙膏包裝與牙膏表面積有關(guān)，牙膏盒為長方體，設(shè)牙膏盒包裝面積s2,牙膏可以近似為無底的圓柱體,設(shè)牙膏包裝面積s1即圓柱體側(cè)

22、面積.設(shè)此圓柱體的半徑為R,高為L,S=2nRL,由題意，我們需要將包裝面積與商品重量聯(lián)系在一起，故我們將牙膏體積V近似為圓柱體積的一半，則V=nR2L，W設(shè)牙膏密度為p,則#=萬，一般地，為了美觀，牙膏的半徑與長度有一定比例關(guān)系，在這里：設(shè)R=k2L(k2為大于0的常數(shù))，根據(jù)，可以得出：23,由得出s1=2n我們可以把牙膏盒看成一個長為L,寬高都為2R的長方體，故牙膏盒包裝面積再根據(jù)求得S2=8l+*2k23+48(1+pn(2k,則包裝成本C2=k3kk3、k4為大于0的常數(shù)，是包裝價格與包裝面積的比值.其他成本C3為固定常數(shù)，與W、S無關(guān).2pnS2=8R2+8RL,2+C3.W所以C

23、1c=W=ki+k5XT+貞1+十即C=C1+C2+C3=k1W+kl由于k1，k2,k3,k4,p都是大于零的常數(shù)，所以商品價格關(guān)于商品重量的函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以商品重量增大，商品價格增大.C對于單位重量價格c與商品重量W的關(guān)系，我們已知c=由于k1，k2,k3,k4,p都是大于零的常數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)包裝成本與商品重量成正比,2可以簡化為C2=k5XW3,2模型解釋c-W的簡圖如圖所示:由函數(shù)解析式及圖象可知單位商品價格關(guān)于商品重量的函數(shù)是一個減函數(shù)，即隨著W的增加，c的減少幅度減少，當(dāng)W很大時，則c不再減少，所以說，不要盲目追求大包裝商品.結(jié)題對于商家，一般來說，小包裝商品的利潤較高，但成本也相應(yīng)的增多，所以應(yīng)該包裝大小適宜，在適當(dāng)情況下，可以盡量生產(chǎn)小包裝的商品；對于顧客，在用得完的情況下，盡量買較大的包裝，可以節(jié)省包裝的費用，但是也不能盲目地認為越大包裝的商品就越便宜，可能會有其他消耗，如用不完的情況.建模選題川lllllilll數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、