衍生金融工具教師1.課件4各種利率

1、1 第四章 各種利率 2一、市場(chǎng)上主要基礎(chǔ)利率1、利率：資金借入方支付給資金貸出方超過(guò)本金的金額與本金的比率。2、 國(guó)債利率(treasury rates)：投資短期或中長(zhǎng)期國(guó)債獲得的利率。被認(rèn)為是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。3、倫敦同業(yè)拆放利率LIBOR(London Interbank Offer Rate):是銀行向同業(yè)銀行貨出(拆放)大額資金時(shí)所收取的利率。倫敦同業(yè)拆借利率LIBIR(London Interbank Bid Rate):是銀行愿意接受銀行同業(yè)存款資金時(shí)所愿意支付的利率。LIBOR 高于LIBID ，其價(jià)差較小，具體取決于資金的供求關(guān)系。參與同業(yè)拆借的銀行要滿足一定的信譽(yù)等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，至少

2、AA級(jí)。LIBOR基本上是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，被市場(chǎng)視為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的代表。LIBID和LIBOR在不受任何單個(gè)政府控制的歐洲貨幣市場(chǎng)交易。34、再回購(gòu)利率再回購(gòu)協(xié)議(repo or repurchase agreement)是指證券所有者同意將其證券出售給另一方，之后再以稍高一些的價(jià)格將這些證券買回的協(xié)議。再回購(gòu)協(xié)議實(shí)際上是以證券為抵押的貸款，這種貸款幾乎沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)槿绻桢X的公司不遵守協(xié)議的話，債權(quán)人只需保留證券即可。再回購(gòu)利率(repo rate)。在回購(gòu)協(xié)議中，證券出售和購(gòu)回的價(jià)差就是對(duì)方的利息收益。以此計(jì)算的利率就是再回購(gòu)利率率。再回購(gòu)利率僅比短期國(guó)庫(kù)券利率稍高一點(diǎn)。對(duì)許多在期貨市場(chǎng)上操作的套

3、利者而言，其相關(guān)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率就是再回購(gòu)利率 。最普通的回購(gòu)類型：是隔夜回購(gòu)(overnightrepo)，該回購(gòu)協(xié)議每天都重新商定。4二、利率的度量1、復(fù)利頻率和終值假設(shè)數(shù)額A資金以年利率R投資n年，每年復(fù)利m次。則投資終值為：52、不同復(fù)利頻率對(duì)終值的影響63、不同復(fù)利頻率下的等價(jià)利率任意兩種復(fù)利方式下，等價(jià)利率的相互轉(zhuǎn)換。74、連續(xù)復(fù)利假設(shè)數(shù)額A以年利率R投資了n年。如果每年復(fù)利m次，當(dāng)m趨近于無(wú)窮大時(shí)(即連續(xù)復(fù)利)，其終值為：如果已知終值為A，以利率R按連續(xù)復(fù)利方式貼現(xiàn)n年，其現(xiàn)值為：85、連續(xù)復(fù)利和每年計(jì)m次復(fù)利的利率之間相互轉(zhuǎn)換的公式：Rc是連續(xù)復(fù)利利率, Rm是每年計(jì)m次復(fù)利的利率

4、.9例4.1 考慮一個(gè)年息為10%的利率，半年計(jì)一次息。等價(jià)的連續(xù)復(fù)利的利率是多少？利用式(4.3)，則m=2，R=0.10，得到一個(gè)等價(jià)的連續(xù)復(fù)利的利率為：2ln(1+0.1/2)=0.09758=9.758%例4.2 假設(shè)債權(quán)人給出貸款利息為年息8%，連續(xù)復(fù)利計(jì)息。而實(shí)際上利息是一季度支付一次。求每季度計(jì)一次息的等價(jià)年利率是多少？利用公式(4.4)，m=4，Rc=0.08，每季度計(jì)一次息的等價(jià)年利率為： 4 (e0.08/4-1)=0.0808即年利率為8.08%。這意味著，對(duì)于$1 000的貸款，則要求借款人每季度必須支付$20.2的利息。10三、債券的定價(jià)1.債券的理論價(jià)格：將債券持有

5、者將來(lái)收到的所有現(xiàn)金流(利息和本金)貼現(xiàn)值求和，得到債券的理論價(jià)格。2.貼現(xiàn)率選擇：有時(shí)債券交易員使用相同的貼現(xiàn)率來(lái)貼現(xiàn)所有未來(lái)現(xiàn)金流；更為精確的方法是對(duì)于不同時(shí)間的現(xiàn)金流使用不同的零息率。例：假設(shè)連續(xù)復(fù)利的國(guó)債零息率如表4.2：11假設(shè)一個(gè)2年期國(guó)債的本金為$100，息票率為每年6%，每半年支付一次息票。求債券的理論價(jià)格。解：為計(jì)算第一次$3息票的現(xiàn)值，使用對(duì)應(yīng)6個(gè)月期限的5.0%的貼現(xiàn)率；為計(jì)算第二次$3息票的現(xiàn)值，使用對(duì)應(yīng)1年期限的5.80%的貼現(xiàn)率。依此類推。 這樣，債券的理論價(jià)格為：3e-0.050.5+ 3e-0.0581.0 + 3e-0.0641.5 + 103e-0.0682

6、.0 =$98.39123.債券收益率債券收益率(bond yield)：是使債券所有未來(lái)現(xiàn)金流的現(xiàn)值等于市場(chǎng)價(jià)格的貼現(xiàn)率。例：假如上一例的債券的市場(chǎng)價(jià)格為$98.39，債券收益率為y，則有：3e-y0.5+ 3e-y1.0 + 3e-y1.5 + 103e-y2.0 =$98.39可以通過(guò)試錯(cuò)法（反復(fù)試驗(yàn)使得誤差最小化）解該方程，得出y=6.76%。134.票面收益率票面收益率(par yield) 是指能使債券價(jià)格等于其賬面價(jià)值的貼現(xiàn)率（賬面價(jià)值等子本金價(jià)值）。通常，假定債券是每半年支付一次息票。假設(shè)我們的例子中的2年期債券的息票率為每年c（或者說(shuō)是每半年1/2c）。使用表4.2中的零息率

7、，債券的價(jià)格等于其賬面價(jià)值(為100)時(shí)，有如下方程：解得：c= 6.87。因此，2年期每半年計(jì)一次復(fù)利的票面收益率為每年6.87%（若轉(zhuǎn)換為連續(xù)復(fù)利情況，等價(jià)于每年6.75%）。14一般情況假設(shè)債券到期時(shí)收到的$1的現(xiàn)值為d，每次息票支付日支付$1的年金的價(jià)值為A，m為每年的利息支付次數(shù)，那么票面收益率c應(yīng)該滿足如下等式：100 = A(c/m) +100d因此:c=(100-100d)m/A例：在上例中：m=2，d=e-0.0682.0= 0.87284， A= e-0.050.5+ e-0.0581.0 + e-0.0641.5 + e-0.0682.0 = 3.70027將m、d和A值

8、代入以上公式，得到票面收益率為每年6.87%。15四、利率的期限結(jié)構(gòu)利率的結(jié)構(gòu)主要包括：利率的風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)和利率的期限結(jié)構(gòu)。利率風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)：是指期限相同的各種金融工具利率之間的關(guān)系，主要是由金融工具的違約風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性及稅收等因素決定的。16利率的期限結(jié)構(gòu)是指利率與期限之間的關(guān)系，考察的是風(fēng)險(xiǎn)因素相同的證券之間因期限的不同所產(chǎn)生的利率差異，分析的是利率運(yùn)動(dòng)的特征。在過(guò)去一百多年時(shí)間內(nèi)，利率的期限結(jié)構(gòu)一直是微觀金融的研究重點(diǎn)，原因是微觀金融的兩大支柱定價(jià)及風(fēng)險(xiǎn)管理都離不開(kāi)利率期限結(jié)構(gòu)這個(gè)基礎(chǔ)。17（一）零息票收益率1.零息票收益率(zero-coupon interest rate) ：持有期內(nèi)沒(méi)有利息

9、派發(fā)，所有利息和本金在期末支付的收益率。n年期零息票利率有時(shí)也被稱為n年期即期利率或n年期零息率(zero rate或zero)。假設(shè)一個(gè)報(bào)價(jià)中連續(xù)復(fù)利的5年期零息率為每年5%。這說(shuō)明$100投資5年之后，增長(zhǎng)到： 100e0.055=128.402.附息票收益率：持有期內(nèi)定期派發(fā)利息，期末還本的收益率。在市場(chǎng)能直接觀察到的很多利率并不是純粹的零息率而是附息票利率。183.零息票收益率的確定（息票剝離法）部分零息票利率可以直接得到。不能直接得到的零息票利率，可以從附息票債券的價(jià)格求得。19例：表4.3 息票剝離方法的數(shù)據(jù)債券本金($)到期期限年息票*($)債券價(jià)格($)1000.25097.5

10、1000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.61002.751099.8*注：假設(shè)每6個(gè)月支付所列息票數(shù)額的一半。20直接求得前面3個(gè)債券不付息票，對(duì)應(yīng)的即期利率容易算出（連續(xù)復(fù)利）。運(yùn)用方程(3.3)： Rc=mln(1+Rm/m)3個(gè)月的即期利率：4ln(1+2.5/97.5)=0.10126個(gè)月的即期利率：2ln(1+5.1/94.9)=0.10471年的即期利率：ln(1+10/90)=0.105421利用拆現(xiàn)法求得：a.期限1.5年的。支付方式為：6 個(gè)月后1 年后1.5年后$4$4$10422b.期限2年的。支付方式為：6 個(gè)月

11、后1 年后1.5年后2年后$6$6$6$10623.用插值法求得第六個(gè)債券的現(xiàn)金流為(p75)：3 個(gè)月后9個(gè)月后1.25年后1.75年后2.25年后2.75年后$5$5$5$5$5$10524線性插值公式：25a.利用6個(gè)月和1年的利率用插值法求9個(gè)月的利率：b.同理，1.25年1.75年利用插值法求得為：0.61%;10.745%26C.求2.75的即期利率，設(shè)為R。由前面求得2 年的即期利率為10.18%.27由此得到方程：284.零息率曲線零息率曲線(zero curve)是表示零息票收益率與期限之間關(guān)系的曲線。通常的假設(shè)是利用息票剝離方法得出的零息率曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)是線性的。通常也假設(shè)零息

12、率曲線中第一個(gè)點(diǎn)之前和最后一點(diǎn)之后曲線都是水平的。表4.4中總結(jié)了我們求出的這些利率。圖4.1表示了基于上述假設(shè)，由上面的數(shù)據(jù)所得到的零息率曲線。29表4.4 從表4.3中的數(shù)據(jù)計(jì)算的連續(xù)復(fù)利的零息到期期限零息率(%) (連續(xù)復(fù)利)0.2510.1270.5010.4691.0010.5361.5010.6812.0010.8082.7510.873031（二）即期利率和遠(yuǎn)期利率即期利率(spot interest rate)：即期利率：是從現(xiàn)在開(kāi)始計(jì)算并持續(xù)n年期限的零息票收益率。遠(yuǎn)期利率(forward interest rate)：是未來(lái)某一時(shí)間段的利率零息票利率。它是由當(dāng)前即期利率隱含

13、的將來(lái)一定期限的利率。32結(jié)論：當(dāng)這些利率是連續(xù)復(fù)利，并且將相互銜接的各時(shí)間段的利率組合在一起時(shí)，整個(gè)期間的等價(jià)利率是這些利率的簡(jiǎn)單算術(shù)平均值。當(dāng)這些利率不是連續(xù)復(fù)利時(shí)，這個(gè)結(jié)果近似成立。T2年期的即期利率R20T1T1年期的即期利率R1T2-T1時(shí)段的遠(yuǎn)期利率RFT233推導(dǎo)： 3435五.遠(yuǎn)期利率協(xié)議(一)、概念 遠(yuǎn)期利率協(xié)議(Forward Rate Agreements，F(xiàn)RA)是合同雙方在名義本金(Norminal Principal)的基礎(chǔ)上進(jìn)行協(xié)議利率與參照利率差額支付的遠(yuǎn)期合約。協(xié)議利率為雙方在合同中同意的固定利率。參照利率(Reference Rate)為合同結(jié)算日的市場(chǎng)利率

14、(通常為L(zhǎng)IBOR)。36支付該協(xié)議利率者為買方，即是結(jié)算日收到對(duì)方支付市場(chǎng)利率的交易方，反之，收到該協(xié)議利率者為賣方。雙方在結(jié)算日根據(jù)當(dāng)天市場(chǎng)利率(通常是在結(jié)算日前兩個(gè)營(yíng)業(yè)日內(nèi)使用倫敦同業(yè)拆放利率來(lái)決定結(jié)算日的市場(chǎng)利率)與協(xié)議利率結(jié)算利差，由利息金額大的一方支付一個(gè)利息差額現(xiàn)值給利息金額小的交易一方。 37買方賣方參考利率協(xié)議利率38例如：A銀行向B銀行購(gòu)買一個(gè)39的5的遠(yuǎn)期利率協(xié)議，該交易成交3個(gè)月后市場(chǎng)利率如升至5.5，則由B銀行支付利息差額現(xiàn)值給A銀行。39(二)、遠(yuǎn)期利率協(xié)議簡(jiǎn)況 遠(yuǎn)期利率協(xié)議第一次出現(xiàn)在1983年，該交易最早起源于英國(guó)倫敦。目前，倫敦市場(chǎng)仍是遠(yuǎn)期利率協(xié)議的主要交易中

15、心。紐約是第二個(gè)重要中心。遠(yuǎn)期利率協(xié)議在場(chǎng)外交易市場(chǎng)成交，信用風(fēng)險(xiǎn)較大。其參與者多為大銀行，非金融機(jī)構(gòu)客戶可以通過(guò)銀行參與交易。40 (三)、種類 1.按幣種：美元、英鎊、馬克、瑞士法郎和日元。美元利率的交易占整個(gè)市場(chǎng)交易量的90以上。2.期限： “3個(gè)月對(duì)6個(gè)月”, “6個(gè)月對(duì)9個(gè)月”和“6個(gè)月對(duì)12個(gè)月”，近來(lái)更擴(kuò)大到一年至兩年，并且不是整數(shù)的期限也可以通過(guò)交易雙方的協(xié)商而達(dá)成交易。3.金額：1985年底以前，一般在500萬(wàn)美元至2 000萬(wàn)美元，而1985年底以后，金額在2000萬(wàn)美元至5000萬(wàn)美元的情形已相當(dāng)普遍了。 41(四)、遠(yuǎn)期利率協(xié)議作用 1.遠(yuǎn)期利率協(xié)議主要被用來(lái)對(duì)遠(yuǎn)期利率

16、頭寸進(jìn)行套期保值。遠(yuǎn)期利率協(xié)議給銀行提供了一種管理利率風(fēng)險(xiǎn)而無(wú)須改變銀行資產(chǎn)負(fù)債表的有效工具，銀行能夠在不改變資產(chǎn)負(fù)債表的流動(dòng)性的情況下調(diào)整其利率風(fēng)險(xiǎn)。由于遠(yuǎn)期利率協(xié)議的本金并未實(shí)際流動(dòng)，以利息差額結(jié)算，故資金流動(dòng)量較小。 422.遠(yuǎn)期利率協(xié)議被非金融機(jī)構(gòu)客戶用來(lái)規(guī)避遠(yuǎn)期借款利率上升的風(fēng)險(xiǎn)，而很少用此來(lái)固定遠(yuǎn)期存款利率。 遠(yuǎn)期利率協(xié)議的交易一方為避免利率上升的風(fēng)險(xiǎn)，交易的另一方則希望防范利率下跌的風(fēng)險(xiǎn)，雙方就未來(lái)某個(gè)期限的一筆資金的使用事先商定一個(gè)利率。 433.遠(yuǎn)期利率協(xié)議還可以用來(lái)短期防范長(zhǎng)期債務(wù)的利率風(fēng)險(xiǎn)。例如，某公司有一筆7年期的美元浮動(dòng)利率債務(wù)，該公司預(yù)測(cè)近2年里美元利率有上升的風(fēng)險(xiǎn)

17、。于是，該公司通過(guò)遠(yuǎn)期利率協(xié)議把2年利率(使用3筆遠(yuǎn)期利率協(xié)議交易，分別是612，1218，1824)固定在較理想的水平。444.套利:如果某一家公司或銀行對(duì)短期利率趨勢(shì)有正確的預(yù)測(cè)，他們也可以用遠(yuǎn)期利率協(xié)議來(lái)開(kāi)立一個(gè)頭寸，以獲取利潤(rùn)為目的，使用遠(yuǎn)期利率。 把遠(yuǎn)期利率協(xié)議同金融期貨、互換、期權(quán)等結(jié)合在一起，從中套利。 45(五)、與相關(guān)衍生工具的關(guān)系 1、與利率互換的區(qū)別與聯(lián)系(1)聯(lián)系:一個(gè)利率互換可看成一系列的遠(yuǎn)期利率協(xié)議。例如3年期的半年固定利率對(duì)浮動(dòng)利率互換的現(xiàn)金流與同時(shí)簽訂6個(gè)期限為6個(gè)月的遠(yuǎn)期利率協(xié)議的現(xiàn)金流幾乎一致。遠(yuǎn)期利率協(xié)議能替代利率互換，但一般把前者看作是后者的補(bǔ)充。46(

18、2) 區(qū)別：FRAs的合同利率是合同期的遠(yuǎn)期利率，依合同期不同而不同。而利率互換有一個(gè)穩(wěn)定的固定利率；FRAs的結(jié)算金額是經(jīng)過(guò)貼現(xiàn)的，且在互換期限內(nèi)分期支付。 472、與金融期貨的比較(1)遠(yuǎn)期利率協(xié)議具有簡(jiǎn)便、靈活和不需支付保證金等特點(diǎn)。它無(wú)需在交易所成交，對(duì)一些沒(méi)有期貨合約的貨幣來(lái)說(shuō)，遠(yuǎn)期利率協(xié)議特別具有吸引力。遠(yuǎn)期利率協(xié)議的優(yōu)點(diǎn)更表現(xiàn)在不像期貨交易那樣有固定的交割日和標(biāo)準(zhǔn)的金額，任何具體的要求均可以通過(guò)交易雙方協(xié)商達(dá)成協(xié)議。期貨交易需在成交前支付一定比例的保證金，而遠(yuǎn)期利率協(xié)議僅憑信用而無(wú)需支付保證金即可成交。 48（2）不足之處：首先，遠(yuǎn)期利率協(xié)議是場(chǎng)外交易，有些信用等級(jí)不高的交易者往

19、往較難找到對(duì)手來(lái)交易其次，遠(yuǎn)期利率協(xié)議不能進(jìn)行對(duì)沖交易，每筆交易都是相對(duì)獨(dú)立的交易，它僅能與另一筆遠(yuǎn)期利率協(xié)議掉換，而不能夠出賣或沖銷原協(xié)議。相反，利率期貨可在交易所內(nèi)賣出和買進(jìn)，可通過(guò)對(duì)沖交易結(jié)束其履約義務(wù)。再次，遠(yuǎn)期利率協(xié)議的信用風(fēng)險(xiǎn)將隨著交易對(duì)手的變化而發(fā)生變化。同利率互換一樣，它無(wú)法知道最后的風(fēng)險(xiǎn)程度。而期貨的信用風(fēng)險(xiǎn)是極小的，幾乎可以說(shuō)是沒(méi)有信用風(fēng)險(xiǎn)。49(六)、合約內(nèi)容 遠(yuǎn)期利率協(xié)議與互換交易一樣，有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化文件，即英國(guó)銀行家協(xié)會(huì)遠(yuǎn)期利率協(xié)議(簡(jiǎn)稱FRABBA)。標(biāo)準(zhǔn)化文件，大大提高了交易的速度和質(zhì)量，使得每一筆遠(yuǎn)期利率協(xié)議交易僅需一個(gè)電傳確認(rèn)即可成交。內(nèi)容包括 A、B、C、D、

20、E、F六部分。 50A部分介紹了遠(yuǎn)期利率協(xié)議的發(fā)生、結(jié)算利率、遠(yuǎn)期利率協(xié)議文件的影響及今后的發(fā)展。B部分是有關(guān)專用術(shù)語(yǔ)的定義。C部分簡(jiǎn)要說(shuō)明了報(bào)價(jià)的習(xí)慣做法。D部分是遠(yuǎn)期利率協(xié)議的條款，包括陳述和擔(dān)保、確認(rèn)、結(jié)算，支付、取消、違約、豁免、運(yùn)用法律等詳細(xì)內(nèi)容。E部分是超過(guò)一年期的遠(yuǎn)期利率協(xié)議結(jié)算金額的計(jì)算過(guò)程。F部分是確認(rèn)樣本。 51其B部分中的重要術(shù)語(yǔ)有：(1)結(jié)算日(Settlement Date)：名義借貸的結(jié)算日期，是協(xié)議期限的起息日。 (2)到期日(Maturity Date)：名義借貸到期日。(3)合同期(Contract Period)：結(jié)算日至到期日的天數(shù)，即協(xié)議期限。 (4)合

21、同利率(Contract Rate)：FRAs中的固定利率，即協(xié)議利率。(5)結(jié)算金額(Settlement Sum)：按合同利率和指定利率差額計(jì)算的由當(dāng)事人一方支付給另一方的金額。 52(七)、遠(yuǎn)期利率協(xié)議報(bào)價(jià)53541、遠(yuǎn)期利率的確定：設(shè)某遠(yuǎn)期利率協(xié)議，其標(biāo)的貸款的期限為T2T1 。R1、R2為期限為T1 、T2的即期利率。RK：遠(yuǎn)期利率協(xié)議的利率。RF：現(xiàn)在計(jì)算的T2T1期間的遠(yuǎn)期LIBOR。RM：在T1時(shí)刻觀察到的T2T1期間的市場(chǎng)的實(shí)際LIBOR值L：協(xié)議的本金該協(xié)議滿足如下現(xiàn)金流：在時(shí)刻T1：-L在時(shí)刻T2：+LeRK(T2-T1)將上述現(xiàn)金流貼現(xiàn)到0時(shí)刻（簽訂協(xié)議的時(shí)刻），得該協(xié)

22、議在0時(shí)刻的價(jià)值為：(八)遠(yuǎn)期利率協(xié)議的定價(jià)55 R20T1 R1RKT256令V(0)=0，得： 可見(jiàn)，在0時(shí)刻時(shí)，即在遠(yuǎn)期利率協(xié)議簽署時(shí)，協(xié)議價(jià)值為0，而協(xié)議利率等于遠(yuǎn)期利率RF。572.遠(yuǎn)期合約結(jié)算公式(1)連續(xù)復(fù)利遠(yuǎn)期利率協(xié)議是在T1時(shí)結(jié)算，此時(shí)多頭的盈虧為:58(2)用年利率遠(yuǎn)期利率協(xié)議結(jié)算日是協(xié)議期限的起息日。例如一筆69的遠(yuǎn)期利率協(xié)議交易的結(jié)算日是本交易日6個(gè)月后的這一天，也就是該遠(yuǎn)期利率協(xié)議期限的起息日。遠(yuǎn)期利率協(xié)議結(jié)算時(shí)用的是同一幣種，為降低結(jié)算風(fēng)險(xiǎn)，并考慮到資金的時(shí)間價(jià)值，交易雙方以差額利息的現(xiàn)值進(jìn)行結(jié)算。結(jié)算金額計(jì)算公式如下59例4.3 假設(shè)一家公司簽訂一個(gè)FRA，3年后

23、開(kāi)始的3個(gè)月期間內(nèi)，公司將以4%固定利率獲得100萬(wàn)美元本金的利息。后來(lái)，對(duì)應(yīng)于該3個(gè)月期限的3個(gè)月期LIBOR為4.5%。計(jì)算公司的盈虧。解：公司的盈虧為：60RK3.在t(0tT)時(shí)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值：T1、T2為距現(xiàn)在時(shí)刻t的時(shí)間，合約在0時(shí)刻簽定0T1 R1T2t R26162例4.4 假設(shè)即期和遠(yuǎn)期LIBOR數(shù)據(jù)如表4.5?？紤]一個(gè)FRA，協(xié)議期間從第1年末到第2年末，我們將收取6%利率，每年計(jì)一次復(fù)利，本金為100萬(wàn)美元。在表4.5情況下，1年末的1年期遠(yuǎn)期利率為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的5%（或按每年計(jì)一次復(fù)利計(jì)算的5.127%）。根據(jù)式(4.9)，該FRA的價(jià)值為： 1 000 000(

24、0.06 - 0.05127)e-0.042= $8 058比較式(4.7)和式(4.9)，我們可以這樣對(duì)FRA進(jìn)行估值：1假設(shè)未來(lái)的遠(yuǎn)期利率會(huì)實(shí)行，即RM= RF，在這個(gè)假設(shè)下計(jì)算損益2以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，對(duì)損益進(jìn)行貼現(xiàn)63（一）久期的概念及計(jì)算 久期是指?jìng)钟姓咴谑盏浆F(xiàn)金付款之前，平均需要等待的時(shí)間。 n年期限的零息票債券的久期為n年， n年期限的附息票債券的久期小于n年。 在進(jìn)行利率期貨的套期保值時(shí)，久期是一個(gè)重要的概念。 令:ci：債券持有者在ti時(shí)刻收到的現(xiàn)金流（1in） B: 債券的在0時(shí)刻的價(jià)格 y: 連續(xù)復(fù)利條件下的收益率 D：久期六、久期 641、 y: 連續(xù)復(fù)利條件下的收益率（

25、1）單個(gè)債券的久期 定義65可見(jiàn)，D為在債券存續(xù)期內(nèi)，債券持有者每次收到現(xiàn)金流所需等待時(shí)間ti的加權(quán)平均數(shù)；即久期是付款時(shí)間的加權(quán)平均值。其權(quán)數(shù)為在該時(shí)刻所得現(xiàn)金流的現(xiàn)值占現(xiàn)值總和的比重。66久期的經(jīng)濟(jì)意義根據(jù) 得 將收益率曲線進(jìn)行微量平移，使所有期限的利率（包括債券收益率）都增加y，相應(yīng)的，債券的價(jià)格也變動(dòng) B，上式近似地等于：67該公式表明：債券價(jià)格的變動(dòng)和收益率的變動(dòng)負(fù)相關(guān)：債券價(jià)格變化的百分比等于其久期乘以收益曲線的平行增量 68例：某個(gè)面值為$100、附息票利率為10%的3年期債券。假定該債券連續(xù)復(fù)利的年利率為12%,即y=0.12。息票每6個(gè)月付息一次，利息為$5 。貼現(xiàn)率用收益率

26、代替。求該債券的久期。解：69表4.6 久期的計(jì)算時(shí)間付款金額現(xiàn)值權(quán)重時(shí)間權(quán)重0.554.7090.0500.0251.0 54.4350.0470.0471.554.1760.0440.0662.053.9330.0420.0842.553.7040.0390.0983.010573.2560.7782.334合計(jì)13094.2131.0002.65470注：表中第三列為現(xiàn)值，其中前六行數(shù)據(jù)為該債券每次現(xiàn)金流的現(xiàn)值。最后一行的94.213為各期現(xiàn)值的和。第三列的前六行數(shù)字除以94.213就得到第四列的權(quán)重。第五列的數(shù)字之和即為久期2.654年。B=-BDy=- 94.213 2.654y=-

27、250.04y 如果y=+0.001 ,即:y增加到0.121; 此時(shí)由公式我們可以估計(jì): B=-0.25 即預(yù)計(jì)債券價(jià)格將下降到:94.213-0.250=93.96371（2）債券組合的久期債券組合的久期定義為組合中單個(gè)債券久期的加權(quán)平均，權(quán)重為單個(gè)債券的價(jià)格占組合價(jià)格 的百分比。有：B/y=-BD 或 B/B=-DyB為債券組合的價(jià)值。當(dāng)所有債券的收益率有微小的變化y時(shí)債券價(jià)格變化的百分比等于其久期乘以收益曲線的平行增量 。注意：當(dāng)久期應(yīng)用于債券組合的時(shí)候，隱含假設(shè)是所有債券的收益率的變化程度是一樣的。如果債券期限的覆蓋范圍比較寬，上述對(duì)于債券組合價(jià)值的影響的情況只會(huì)發(fā)生在零息票收益率曲

28、線平移一個(gè)小的y的時(shí)候。722、在 y為每年計(jì)m次復(fù)利的條件下的久期 同理，得：其中， 稱為修正的久期737475例4.6 ：考慮表4.6中的債券價(jià)格為94.213，久期為2.653。每半年計(jì)一次復(fù)利計(jì)算的收益率為12.3673%。 D*=2.653 /(1+ 0.123673/2) =2.499 根據(jù)公式(4.17)： =-94.2132.4985y 即： B=-235.39y當(dāng)債券收益率上升10個(gè)基點(diǎn)(=0.1%)，y=+0.001。則可預(yù)計(jì)： B=-235.39 0.001=-0.235債券的價(jià)格將下降到： 94.213 - 0.235=93.978。如果： y=+0.001，則： y=12.4673%(等價(jià)于連續(xù)復(fù)利的12.0941%) 由例子4.5，精確計(jì)算債券價(jià)格為93.978。這表明修正久期公式的準(zhǔn)確度較高。76（二）久期的局限性1、凸度 參見(jiàn)86頁(yè)圖(1)凸度的影響對(duì)于兩個(gè)具有相同久期的證券組合，當(dāng)收益率變化很小時(shí)，兩個(gè)組合價(jià)值變化的百分比相同。當(dāng)收益率變化較大時(shí)，兩個(gè)組合的凸度（曲率）不同，其價(jià)值變化的百分比也不同。當(dāng)收益率減小時(shí)，凸度（曲率）大的組合價(jià)值增加的速