積分中值定理的改進(jìn)和應(yīng)用

1、積分中值定理的改良和應(yīng)用摘要：本文在?數(shù)學(xué)分析?假設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)，且在上不變號(hào)，那么在上至少存在一點(diǎn)，使。特別地，當(dāng)g(x)=1時(shí)有定理：假設(shè)函數(shù)在在區(qū)間非負(fù)單調(diào)遞減，為可積函數(shù)，那么存在。定理：假設(shè)在上且單調(diào)遞增，為可積函數(shù), 那么存在.定理因?yàn)榕c在及連續(xù)，且由假設(shè)知在及上不變號(hào)。由定理5得：存在使得而，于是我們得到，這與矛盾。即證在內(nèi)至少存在兩點(diǎn)。證明二：假設(shè)在內(nèi)=0只有一個(gè)根，由知f(x)在內(nèi)異號(hào)。設(shè)在，而=為單調(diào)遞增函數(shù)，所以這與矛盾。例2設(shè)函數(shù)二次可微，且嚴(yán)格單調(diào)，證明：在內(nèi)存在唯一的一點(diǎn)，使得。在中有一個(gè)類似的例題，聯(lián)想到定理6，本文的將其中的條件作減弱，將具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)

2、;改為二次可微;，然后利用定理6給予證明。分析：由題目的條件和結(jié)論，我們首先想到將在=處用Taylor公式展開，然后對展開式的兩邊在區(qū)間上同時(shí)積分，然后利用積分中值定理和定理6推出結(jié)論。證明：令=，在=處用Taylor公式展開得：，其中介于與之間。即對其中。而|keyimg150|雖然不一定連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)具有介值性，因而由定理6得：存在唯一的點(diǎn)，使得=將又使，且，由定積分的幾何意義知，因此，由顯然在區(qū)間上，函數(shù)是單調(diào)遞減且非負(fù)的，在區(qū)間上，函數(shù)是單調(diào)遞增且非負(fù)的，故由積分中值定理，存在，使得，所以，故再由式有即證。3. 在與積分極限有關(guān)的問題中的應(yīng)用無論是在數(shù)列極限，還是函數(shù)極限的計(jì)算中，如果含

3、有定積分式子，首先用定積分的相關(guān)知識(shí)，如積分中值定理等，把積分式簡化，然后再運(yùn)用解決極限問題的各種方法，就能到達(dá)解決問題的目的。例5設(shè)在上連續(xù)，,求.分析：此題在中將變形為，然后用洛必達(dá)法那么解得答案，本文我們可以將變形為，再用變量代換變?yōu)?，然后用積分中值定理也可以得到相同答案。解：=，其中介于與之間，介于與之間。所以當(dāng)時(shí)，有，故=.例6 設(shè)是的連續(xù)函數(shù)，證明：=|keyimg293|。分析：此題是黎曼引理的一個(gè)具體應(yīng)用，其中取,由黎曼引理可得結(jié)論，這里我們用積分中值定理來證明結(jié)論。證明：=， .=又，所以=。4.在與收斂有關(guān)的問題中的應(yīng)用例7 設(shè)函數(shù),為正實(shí)數(shù)，證明：收斂并求其值。在中有一個(gè)

4、一般的結(jié)論，本文在的根底上令，得到一個(gè)具體的結(jié)果。分析：我們先將變?yōu)?，其次將變形為，再利用變量代換將式子變形為，然后用積分中值定理即可證明。證明：令=，由積分中值定理，存在介于與之間，使得=，所以=收斂，且=0參考文獻(xiàn)【1】華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析上第三版，217，222.北京：高等教育出版社，2002.【3】程其襄等編.實(shí)變函數(shù)與泛函分析根底第二版，197. 北京：高等教育出版社，2003.【4】裴禮文著.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法，317，224，435,348,362，411，北京：高等教育出版社,2006.【5】舒斯會(huì)著.數(shù)學(xué)分析選講，115，北京：北京大學(xué)出版社.2007.【6】劉三陽，李廣民,于力等編.數(shù)