兩種子午線弧長計算方法的比較

1、兩種大地子午線弧長計算方法的比較胡洋長安大學西安2604070210摘要：在研究與大地橢球體有關(guān)的一些測量計算時，例如研究高斯投影計算和 弧度測量計算時，往往要用到大地子午線弧長，而大地子午線弧長的計算公式 涉及到橢圓積分，不能用普通方法求出被積函數(shù)。采用變步長辛普森公式求它 的積分和按泰勒級數(shù)展開采用普通方法求出被積函數(shù)是兩種截然不同的計算方 法，本文就兩種不同的計算方法作出比較，用程序編程實現(xiàn)從而得到計算結(jié)果， 驗證了兩種方法的正確性和可靠性以及按泰勒級數(shù)展開的方法求解大地子午線弧長的優(yōu) 之處。關(guān)鍵字：大地子午線弧長，變步長辛普森公式，泰勒級數(shù)。引言：計算地球橢球子午線的弧長，是大地測量、

2、天文測量、航空航天技術(shù)以及地理信息處理技術(shù) 中的一項基本內(nèi)容。計算子午線的弧長涉及到橢圓積分，所以一般是將其展開成級數(shù)形式， 再用逐項積分的方法求出滿足一定精度要求的計算公式。本文在引出子午線弧長的計算公式 之后，介紹了兩種計算方法的原理，并用C語言程序?qū)崿F(xiàn)了兩種算法的電算，繼而對兩種 算出的結(jié)果進行了分析討論。一、子午線弧長的計算公式我們知道，子午橢圓的一半，端點與極點相重合，而赤道又把子午線分成對稱的兩部分，因 此，推到從赤道開始到已知緯度B之間的子午線弧長的計算公式即可。如下圖，今取子午線上的某微分弧段PP= d x，令P點緯度等于B, P點緯度為B+ dB, P 點的子午圈曲率半徑為M

3、，于是有dj MdB，因此，為了計算從赤道開始到任意緯度B的“ r Ba（1 一e2）平行圈之間的弧長，必須求出下面的積分值X = j Md（式2）。又知M=（1 .）切（式3），故（式2）符合橢圓積分的定義（橢圓積分定義為可以表達為如下形式的任何函數(shù)x的積分：f （x） = j 0#t,P（t）dt，其中R是其兩個參數(shù)的有理函數(shù)，P是一個無重根的3或 4階多項式的平方根，而c是一個常數(shù)），因此（式1）為橢圓積分，無法用普通的積分方法 求出原函數(shù)。、兩種方法計算子午線弧長的原理（一）變步長辛普森公式求子午線弧長的積分a (1 一 e 2)令M(B)=，計算步驟如下:V (1 - e2 sin2

4、 B)31、用梯形公式計算T = hM（0） + M（B）/2，其中n=1，h=B。且令Sn=Tnn2、3、1 _h n-1 一用變步長梯形法則計算T2廣2 T2n + 2 M (B + h /2) k=0S = (4T -T )/3用辛普森公式計算2n 2 nn4、若IS - S l8，則令2 n n n，h/2 n h，轉(zhuǎn)2繼續(xù)進行計算；否則結(jié)束即為所求的 2n n積分值。8是事先給定的積分精度。a (1 - e 2)，（二）泰勒級數(shù)展開后按普通方法積分令 M(B)=-V (1 - e2 sin2 B)31、按泰勒級數(shù)展開如下:M - m + m sin2 B + m sin4 B + m

5、 sin6 B + m sins B ；2、為便于積分將正弦的幕函數(shù)展開為余弦的倍數(shù)函數(shù)，由于sin 2 B =1-1 cos 2 B2 2 TOC o 1-5 h z .八311 fsin 4 B = 一一一 cos 2 B + cos 4 B 2sin 6 B = - cos 2 B + cos 4 B- cos 6 B16 321632.八 357 f 7 f 11sin 8 B = cos 2 B + cos 4 B - cos 6 B +cos 8B128 1632161283、將其代入上式，并經(jīng)過整理得到:M = a - a cos 2B + a cos 4B - a cos 6B

6、 + a cos8B 02468式中a = m + 2 + m + m +- m +.0028 4 16 6 128 8m157a =2 + m + m + m +.222 4 32 6 16 8137a = - m + m + m48 416 632 81284、將M = a - a cos 2B + a cos4B - a cos 6B + a cos8B代入到積分式中進行積分， 02468整理后得到 X = a B 一 sin 2B + = sin 4B 一 與 sin 6B + 8 sin 8B 02468三、兩種方法計算子大地午線弧長的數(shù)據(jù)和算例的討論筆者已將兩種方法的C語言程序?qū)懗?/p>

7、，限于篇幅本文未列出具體程序。該程序在任何PC機 上均可運行。經(jīng)過用VC+6.0編寫的程序代碼調(diào)試，選用30度，45度，60度，90度三種 不同緯度的點來求相應地點的大地子午線弧長。采用的1954年北京坐標系應用的克拉索夫 斯基橢球。具體的計算結(jié)果如下表：用變步長辛普森公式計算的結(jié)果X1按泰勒級數(shù)展開計算 的結(jié)果X2兩者之間的差值X1-X2緯度B3030對應大地子午線 弧長X3320172.406714743320172.40672017-0.00000543緯度B4545對應大地子午線 弧長X4985032.290475264985032.29047666-0.0000014緯度B6060對

8、應大地子午線 弧長X6654189.092215926654189.092214220.0000017緯度B9090對應大地子午線 弧長X10002137.497542910002137.49745320.000089從上表可以看出，兩種不同的數(shù)學方法計算大地子午線弧長的精度相當，差異只是在小數(shù)點 后邊的第五位。在實際的應用過程當中，我們只要求精確到0.1mm的數(shù)量級別就完全夠用 了。但是，我們從上表中也可以發(fā)現(xiàn)，兩種方法雖然在求得的結(jié)果上略有不同，但是發(fā)散增 長的速度上差異還是比較大的。在中低緯度地區(qū)，由變步長辛普森公式計算的結(jié)果要小于由 泰勒級數(shù)展開計算的結(jié)果；但到了高緯度地區(qū)，兩者計算的結(jié)果差變?yōu)檎龜?shù)。特別是在極點 處，兩者相差達到接近0.1mm。這說明兩者之間的二階導數(shù)是步長辛普森公式的方法大于泰勒級數(shù)展開的。兩者結(jié)果增長的穩(wěn)定性上，按泰勒級數(shù)展開的方法求出的結(jié)果更加穩(wěn)定可 靠。雖然這兩種方法的精度略有不同，但是對