三角形中的范圍(最值)問題

1、三角形中的范圍(最值)問題T熱點(diǎn)追蹤./三角形中的取值范圍和最值問題一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),常以小的壓軸題出現(xiàn)，解決此類問題要善于利用三角形的性質(zhì)或者巧妙地引入?yún)?shù).本專題主要對(duì)以三角形為載體的最值問題進(jìn)行探究，并在解題過程中感受三角、解集、函數(shù)、不等式等知識(shí)的整體聯(lián)系.口例題導(dǎo)|因微而準(zhǔn)因微而細(xì)例題：(2018江蘇卷)在 ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c, / ABC = 120及， BD是/ ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D,且BD= 1 ,求4a+ c的最小值.塞N聯(lián)劇聯(lián)想問題重構(gòu)網(wǎng)絡(luò).變式1在4ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,向量m=(2a

2、+c, b), n = (cosB, cosC)，且 m, n 垂直.(1)求角B的大??；(2)若/ABC的平分線 BD交AC于點(diǎn)D,且BD=1,設(shè)BC = x, BA = y,試確定y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，并求邊AC的取值范圍.該水域中位于該角平分線變式2如圖，某水域有兩條直線型岸邊11和12成定角120。上且與頂點(diǎn)A相距1 km的D處有一固定樁，現(xiàn)某漁民準(zhǔn)備經(jīng)過該樁安裝一直線型的隔離網(wǎng) BC(B, C分別在1i和12上)圍出三角形 ABC的養(yǎng)殖區(qū)，且AB和AC的長都不超過5 km, 設(shè) AB = x km, AC = y km ,(1)將y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；宙謙激活串講1在 A

3、BC中，角A, B , C的對(duì)邊分別為(2)該漁民至少可以圍出多少平方千米的養(yǎng)殖區(qū)?如識(shí)串聯(lián)融會(huì)賁通Ca, b, c,已知 a=b, AABC 周長為 7,求BC邊上的中線 AD的最小值. .兀一.串講2在等腰直角 OPQ中，/POQ = 5, OP=2/2,點(diǎn)M在線段PQ上，點(diǎn)N在線一一一,冗段 MQ 上，且/ MON =.(1)設(shè)/POM=%試用a表示OM, ON,并寫出a的范圍；(2)當(dāng)a取何值時(shí)，4OMN的面積最??？并求出面積的最小值.E1新通在線熬點(diǎn)在線 幫典新題(2018全國大聯(lián)考)已知4ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,向量m=(c+ a, b), n=(c

4、a, b+c), 且 a= 3, m n.求 ABC面積的最大值；(2)求b+c的取值范圍.答題標(biāo)準(zhǔn)減少失分在4ABC中，三個(gè)內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,設(shè) ABC的面積為S, 且 4S= /3(a2+c2-b2).(1)求/ B的大小；(2)設(shè)向量 m=(sin2A, 3cosA), n=(3, 2cosA),求 mn 的取值范圍.答案：(1)：; (2)(6, 372- 3.解析：(1)由題意，有 4X2acsinB = 43(a2+c2b2), 2 分則 sinB =陋* a :c -,所以 sinB = 3cosB.4 分2ac因?yàn)?sinBw。，所以 cosBw。，

5、所以 tanB= V3. 兀又0B兀,所以B = .6分(2)由向量 m=(sin2A, 3cosA), n=(3, 2cosA),得m n= 3sin2A 6cos2A = 3sin2A 3cos2A- 3 = 3?72sin 7A 十 j 3.8 分由(1)知B=2,所以A+C=,所以0A等. 333所以 2a-45+2：4a= 9.當(dāng)且僅當(dāng) c= 2a 即 a=, c= 3 取等號(hào)，所以4a+ c的最小值為9.解法2如圖作 DE /AB交BC點(diǎn)E,所以/ EDB = / DBA = / DBE = 60 ,因?yàn)?BD =1,所以 BDE是邊長為1的正三角形,器=黑,即、變形得a+c=ac

6、，變形得44a+c= 1.4 1(2+1)于是1=京LFT,解得4a+c9,當(dāng)且僅當(dāng)4a=2c,當(dāng)且僅當(dāng)c=2a即a=32, c= 3時(shí)取等號(hào)，所以4a+ c的最小值為9.BC BD解法 3 設(shè)/ BDC =。，易得 60 0 120 ,在ABDC 中，SBC-二墨，因?yàn)?BD = 1, sinC =sin(升 60 ),所以 a=sin 9sin ( (+60 )sin 0c= sin (。一 60 )4sin e.所以 4a + c= 訪(0+ 60 )sin 0+sin ( ( 60 )4sin 01 .八.3 八-sin 0 cos0sin 0132sin 0 2 cos。8 + 2

7、1+-4 1-4 tan 0 tan 0(2$+ 2=9.L+ 熹)+( 1-需當(dāng)且僅當(dāng)2g2(1 /31)=tan 0 色(1 + tSe )時(shí)取等號(hào)，即tan 0 =3小時(shí)4a+c取最小值9.解法4以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系 限，設(shè)直線AC的方程為,則A落在第二象y乎=k(x1),其中一V3k0,即a = k著，由于直線 222k2kBA的方程為y =小x代入y-乎=k(x-2),解得xa=2(；+W)0, 則 4a+c=2(，)+髭=1+2業(yè)氏+k + V3)1 + 273=9.-k+k+V3等號(hào)，所以4a+c的最小值為9.當(dāng)且僅當(dāng)一k 1 = (k + V3)

8、 1,即k=乎時(shí)取變式聯(lián)想變式1答案：(1)?；(2)2小，+8).解析：(1)因?yàn)閙iX n,所以(2a+c)cosB+bcosC= 0,在AABC中，由正弦定理得(4R sinA + 2R sinC)cosB + 2R sinBcosC= 0,所以(2sinA+sinC)cosB +sinBcosC= 0,即 2sinAcosB + sin(B+C)=0,即 sinA(2cosB+1)=0,因?yàn)?A, BC(0,兀)，所以 sinAw0,解得 cosB= 1 B號(hào),Sabcd(2)因?yàn)?Saabc= Saabd + SA bcd, Saabc = 2xysin31一一x2ysin60 =

9、2xysin120 ，所以 x+ y=xy,所以 y = x3即定義域?yàn)閕xgw x 5 .(2)設(shè) ABC的面積為S,則結(jié)合(1)得 = xy, Sabd= 2ysinr3 = 4y1兀= Txsin-= 23*3x,所以 xy=x+y,x即 y=r, xe (1, +00).x 1在 ABC中，由余弦定理得2222 Tt 2221 21AC = x + y 2xycos_3-= x + y + xy= (x+ y) xy= (x+ y-2) -4,因?yàn)?x+ y =(x+y) 2212 1xy0, y0,所以 x+y4,所以 AC2(4-2)2-1,所以八02值.所以 AC的取值范圍是23

10、, +OO).變式2答案：(l)y =伙|435(2h/3.解析：(1)由SABC = SaABD +口 1又 0y & 5,0 x 5,所以5 x4,x1x1SAacd 得，2xsin60 +一，1 一 一 .當(dāng)且僅當(dāng)1=二，即x=2時(shí)取等故當(dāng)x=y= 2時(shí)，面積S取得最小值43平方千米. 答：該漁民至少可以圍出把平方千米的養(yǎng)殖區(qū).串講激活串講1答案：76.解析： 設(shè)/BDA= 0, AD = x,在 ABD 中，由余弦定理得AB2 = AD2+BD2 2AD BD cos/ BDA ,可得 15a 28a+49= x2xacos。,4,，由+可得在 ACD中，由余弦定理得3a-= x2+

11、xacos0 42x2= 2a2 28a + 49 =2+4949,所以x嚕，當(dāng)且僅當(dāng)a = 28時(shí)等號(hào)成立，所以中線AD的最小9值為762.串講2答案：(1)OM =sin (2.,ON =, 0W asin ( a+ Tjy)7t兀l-(2)麗3，8-4V3.解析：（1）在 OMP中,由正弦定理,得sdMpMOPsin/ OMP OM =2兀sin (x+ 42同理on =2 兀sin ( a+ 布)1(2)Somn = 2OMONsinZ MON =1sin ( a+ :) X sin ( a+ jy)兀、/兀 兀、Sin(a+ 7) XSin (Z+T)1%in2 (計(jì)十)+ 2sm (計(jì)十)cos(V)3/.1 COS ( 242 +4sin（2葉女）1乎+ 乎sin2 a + 1cos2 a4441工、,332sin (2 a+ 6 ) + 42 a Y，所以當(dāng)時(shí)666兀sin（2 a+ ）的最大值為1,此時(shí) OMN的面積最小.時(shí)，4OMN的面積的最小值為 8-4a/3 6答案：(1)343；(2)