2019-2020年高二數(shù)學(xué)8.6拋物線的幾何性質(zhì)(備課資料)大綱人教版必修

1、2019-2020年高二數(shù)學(xué)8.6拋物線的幾何性質(zhì)（備課資料）大綱人教版必修、怎樣教學(xué)生討論曲線的性質(zhì)?答：在中學(xué)里，除了直線這種簡(jiǎn)單的情況外，對(duì)于較為簡(jiǎn)單的曲線，討論其幾何性質(zhì)一般包括以下四個(gè)方面：（1）確定曲線的范圍由曲線方程F（x,y）=0.分別確定x與y的取值范圍，從而分別判 斷曲線的左、右與上、下部分的“頂點(diǎn)”的分布情況（2） 判斷有沒(méi)有對(duì)稱性，在曲線方程 F（x,y）=0中，如果把x （或 y）換成-x（或-y）， 方程不變，那么曲線關(guān)于 y （或x）軸對(duì)稱；如果把 x與y同時(shí)換成-x與-y,方程不變，那 么曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（這時(shí)曲線關(guān)于 x軸或y軸卻不一定對(duì)稱）（3）求出在x軸上

2、的“截距”（即求出曲線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） 和y軸上的“截距” （即求出曲線與 y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)）.這可以通過(guò)解由F（ x, y）=0與y=0（或x=0）所組成的方程組求得.注意曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)不一定是曲線的“頂點(diǎn)”（4）判斷有沒(méi)有漸近線.對(duì)于橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線，還要研究它的離心率在數(shù)值上有什么特征，等等.二、參考例題例1:如圖所示，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)P、Q通過(guò)點(diǎn)P和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn) M如何證明直線MQ平行于拋物 線的對(duì)稱軸？ TOC o 1-5 h z 解：思路一：求出M Q的縱坐標(biāo)并進(jìn)行比較，如果相等，貝UMQ x軸，為此，將方程 y2=2px,

3、 y=k（ x-）聯(lián)立，解出p ( p( Jk2 十1 +1)2p(1 + Jk2 +1) HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 廠(27 2k2kQ p（Jk2 +1 -1）2 p（1 _ Jk2 +1）、Q 2 , ）2k2k直線OP的方程為y=,即y=.令x=-，得M點(diǎn)縱坐標(biāo)yM=yc得證.由此可見(jiàn)，按這一思路去證，運(yùn)算較為繁瑣.思路二：利用命題“如果過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 y1、y2，那么y1y2=-p2”來(lái)證. HYPERLINK l bookmark46 o Current Docume

4、nt 2 2 2設(shè) P（X1,y1）、Qx2, y2）、Mx3, y3），并從 y =2px 及 y=k（ x-）中消去 x,得到 ky -2 py-kp =0,2 2則有結(jié)論y1y2=-p，即y =.又直線OP的方程為y=x,含x=-,得y3=-.因?yàn)镻 （X1,yJ在拋物線上，所以2x1=.從而 y3=-=（- py =y2.這一證法運(yùn)算量較小.思路三：直線MQ勺方程為y=yo的充要條件是 M（ -, yo） , Q, yo）.將直線MO勺方程y=-和直線QF的方程y=（x-）聯(lián)立，它的解（x,y）就是點(diǎn)P的坐標(biāo)，消 去y,可得y2=2px，可知直線 MQ勺方程為y=y的充要條件是點(diǎn) P在

5、拋物線上，得證.這一 證法巧用了充要條件來(lái)進(jìn)行逆向思維，運(yùn)算量也較小注：本題中過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與 x軸垂直時(shí)（即斜率不存在），容易證明成立以上摘自中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考xx年11期例2已知過(guò)拋物線y2=2px(p 0)的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于 A B兩點(diǎn),點(diǎn)R是含拋物線頂點(diǎn) 0的弧AB上一點(diǎn)，求 RAB勺最大面積.分析：求RAB的最大面積，因過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的弦長(zhǎng)為定值，故可以|AB為三角形的 底，只要確定高的最大值即可解：設(shè)AB所在的直線方程為y=x-.將其代入拋物線y2=2px,得y2-2 py- p2=0|AB=| y1-y2|= .(% y2)2 -4yy =4p當(dāng)過(guò)R的直線I平行

6、于AB且與拋物線相切時(shí)， RAB勺面積有最大值設(shè)直線I方程為y=x+b. 代入拋物線方程得 y2-2 py+2pb=0由 =4p -8 pb=0，得 b=這時(shí)R( ,p).它到AB的距離為h=p RAB的最大面積為|AB h=p2.例3直線11過(guò)點(diǎn)M(-1 , 0),與拋物線y2=4x交于R、P兩點(diǎn)，P是線段PP2的中 點(diǎn)，直線丨2過(guò)P和拋物線的焦點(diǎn) F,設(shè)直線I 1的斜率為k.(1)將直線12的斜率與直線11的斜率之比表示為 k的函數(shù)f (k)；(2)求出f (k)的定義域及單調(diào)區(qū)間.分析：丨2過(guò)點(diǎn)P及F,利用兩點(diǎn)的斜率公式，可將12的斜率用k表示出來(lái)，從而寫(xiě)出f(k)，由函數(shù)f(k)的特點(diǎn)

7、求得其定義域及單調(diào)區(qū)間.解：(1 )設(shè)11的方程為：y=k(x+1).將它代入方程y2=4x,得2 2 2 2k x +(2 k -4) x+k =0設(shè) P1(X1,y、F2(X2, y2)、F(x, y)貝U X1+X2=將 x=代入 y=k(x+1),得：y=，即卩P點(diǎn)坐標(biāo)為(,).由y =4x,知焦點(diǎn)F (1, 0)2直線I 2的斜率k2=k2 -k2 -1k2函數(shù) f (k)=.(2) T I 1與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，224心 0 且厶=(2k -4) -4 k 0解得-1 v k v 0 或 0 v k v 1函數(shù)f (k)的定義域?yàn)閗|-1 v kv 0 或 0v kv 1當(dāng)k (-

8、1,0)及k (0,1)時(shí)，f ( k)為增函數(shù).例4設(shè)定長(zhǎng)為L(zhǎng) (L 1)的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y=x2上移動(dòng)，求AB中點(diǎn)到x軸距離的最小值.分析：設(shè)M(xo,y。)為線段AB的中點(diǎn)，由|AB|=L可構(gòu)建關(guān)于x。、y。的方程，而y。即為 點(diǎn)M到x軸的距離，利用函數(shù)或不等式即可求出yo的最小值.解：設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi,yi)、(X2,y 2), AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xo,y 0),由方程組消去 y 得 x2-kx-b=0. TOC o 1-5 h z 從而 xi+X2=2xo=k, x 1 X2=-b./ k=2xo.又(Xo,y o)在直線AB上，

9、/ yo=kxo+b.從而 b=yo-2x 0.2 2 2/ |AB|=L , L = (1+k ) (x 計(jì)X2) -4xiX2.把、代入得2 2 2 2 2 2L = (1+4xo ) (4xo+4yo-8xo) =4(1+4x o )(y o-x o ).2, yo=xo +22=(4x o +1)+-24(1 4xo )l2當(dāng)且僅當(dāng)=(4x o2+1),Xo=即當(dāng)xo= 土?xí)r，yo取得最小值. 所以M點(diǎn)到x軸距離的最小值為.例5設(shè)過(guò)拋物線y2=2px( p o)的頂點(diǎn)0的兩弦OA OB互相垂直，求拋物線頂點(diǎn)O在AB上射影N的軌跡方程.分析：求與拋物線有關(guān)的軌跡方程，可先把N看成定點(diǎn)(x

10、o, yo);待求得xo、yo的關(guān)系后再用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x, y)來(lái)表示，也可結(jié)合幾何知識(shí)，通過(guò)巧妙替換，簡(jiǎn)化運(yùn)算解法一：設(shè) A (X1, y, B( X2, y2), N(xo, yo)，則y12=2px1, y22=2px2X1X2= OAL OBkOA - kO=-1 即 X1X2+y1y2=0+y1y2=0/ y1y2 0y1y2=-4 p2把N點(diǎn)看作定點(diǎn)，則 AB所在的直線方程為：y- yo=-( x-xo),顯然 xoM 02X=代入y =2px,化簡(jiǎn)整理得：2 2 2Xoy +2pyoy-2 p( Xo +yo )=0Xo 豐 0y1y2=2 2 2由、得：-4p=.化簡(jiǎn)得 Xo +

11、yo -2 pxo=o( Xo 0)用x、y分別表示xo、yo得2 2x +y -2 px=0(x 豐 0)解法二：點(diǎn)N在以O(shè)A OB為直徑的兩圓的交點(diǎn)(非原點(diǎn))的軌跡上，設(shè)A( 2pt2,2 pt),則以O(shè)A為直徑的圓方程為：(x-pt2) 2+(y- pt) 2=p2( 14+t2)即x2+y2-2 pt 2-2 pty =0設(shè) B （2pti2,2 pti） , OAL OB 貝U t it =-1 11=-在求以O(shè)B為直徑的圓方程時(shí)以-代ti，可得12（ x2+y2）-2 px+2pty =02 2 2由+得：（1 + t ）（ x+y -2 px）=0/ 1+t2 工 02 2 x

12、+y -2 px=0（ x 豐 0）備課資料一、求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)的一般方法是什么？答：在解析幾何中，一般用解方程的方法來(lái)求出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo).例如為了求直線Ax+By+C=0與橢圓的交點(diǎn)，可以解方程組Ax By C = 0=1這個(gè)方程組的解同時(shí)滿足兩個(gè)方程，因此以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是兩個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的兩條曲線的公共點(diǎn)，如果方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，則表示直線與橢圓相離（無(wú)交點(diǎn)）；如果有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則表示直線與橢圓相切（有且只有一個(gè)交點(diǎn)）；如果有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則表示直線與橢圓相交（有兩個(gè)不同的交點(diǎn)）那么，怎樣讓學(xué)生判斷上面方程組的解的個(gè)數(shù)呢？可以告訴他們先從兩個(gè)方程中消去一 個(gè)變

13、量（例如消去 y）,得到關(guān)于另一個(gè)變量（例如 x）的一個(gè)一元二次方程，然后利用根的 判別式 =b2-4ac來(lái)作判斷，就是說(shuō)，當(dāng) 0時(shí)，方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；當(dāng) =0時(shí), 方程組有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解 （不要說(shuō)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，重根只對(duì)一元n次方程有意義）；當(dāng)v 0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.二、與拋物線的軸平行的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線是否是拋物線的切 線？為什么？答：不是.與圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線，稱為圓的切線，這一定義只適合于圓，當(dāng)然2也可擴(kuò)大到橢圓與其他一些曲線，但不適合于雙曲線和拋物線 .例如,x軸與拋物線y =2px（p 0）顯然有且只有一個(gè)交點(diǎn)， 但對(duì)于這條拋物線來(lái)說(shuō)，y軸

14、是它的一條切線，x軸不是它的切 線.又如，在高等數(shù)學(xué)中可以證明， 平行于雙曲線漸近線的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)， 但它不是雙曲線的切線.在高等數(shù)學(xué)中，曲線在某一點(diǎn)處的切線是這樣定義的：如圖，已知P是曲線C上的某一點(diǎn)，11是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條割線，與 C相交于點(diǎn)Q.讓 |1繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到I 2的位置，| 2與C相交于點(diǎn)Q.將這一繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程 繼續(xù)下去，得到一系列割線 I 1, 12,它們與C的交點(diǎn)Q, Q,逐 步向點(diǎn)P靠近.那么，我們把這一系列割線的極限同置， 即圖中的直線I , 叫做曲線C在點(diǎn)P處的切線.至于對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題的處理，仍然是:直線方程;消去y圓錐曲線2 axbx

15、c = 0(a = 0)=0u相交判別式相切C0U相離.我們把這些數(shù)看成未知，通過(guò)解此方程(組)三、在解決與圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，怎樣幫助學(xué)生運(yùn)用方程的思想? 答：有些與圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題，最終歸結(jié)為某些數(shù)值的確定 數(shù)，把題目中給定的條件、關(guān)系轉(zhuǎn)換成這些未知數(shù)所滿足的方程(組) 來(lái)確定這些數(shù)的取值，從而解決問(wèn)題.這里的難點(diǎn)是未知數(shù)的確定、 列方程(組)及解方程(組).下面我們看一個(gè)例子.如圖所示，已知正方形 ABCD勺兩個(gè)頂點(diǎn) A B在拋物線y2=x上, C D在直線l : y=x+4上，求正方形的面積.分析：為了求出正方形的面積，應(yīng)該先求出邊長(zhǎng)，而邊長(zhǎng)與頂 點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)，于是本題歸結(jié)為確定正

16、方形ABCD勺邊長(zhǎng).另外，從對(duì)圖形的直觀分析可知， BD/ x軸，AC/ y軸.解法一：設(shè)A( yi2, yi), B(y22, y2)，正方形的邊長(zhǎng)為 d,貝U22D (y2-d,y2), C(yi, yi+d )/ C D在I上2 d2討2 二目；- 2d 42*4(y；亠2)2(力 - y2)2由、，可知yi、y2都是t2-t+4-d=0的實(shí)數(shù)根，所以yi+y2=1, yi y2 =4-d又 y 仁 y2=yi2_ y22將代入，得(yi-y2)2=d2，所以(yi+y2)2-4yiy2=d22即 i-4(4- d)= d2 d -8 d+30=0(d-3)( d-5)=022d=i8

17、或 d =50從而正方形ABCD勺面積為18或50 (面積單位).解法二：設(shè)正方形ABC啲邊長(zhǎng)為d,則直線AB的方程為y=x+4-d，所以有方程組消去 X,得 y2-y+4-d=0弦長(zhǎng) |AB= ： (1 1)(yi y2)2 -4yiy22令=d則d -,以下同解法一.說(shuō)明：解法一中的未知數(shù)為 yi、y2、d,解題思路是消去yi、y2,得到以d為未知數(shù)的方程；解法二只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，根據(jù)拋物線的弦AB的長(zhǎng)度d列出方程.以上均摘自中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考xx年11、12期四、參考例題例1 ( xx年全國(guó)高考題)如圖所示，直線 I 1和I 2相交于點(diǎn)M li丄I 2,點(diǎn) N I i,以A B為端點(diǎn)的曲線段

18、 C上的任一點(diǎn)到I 2的距離與到點(diǎn) N的距離相等， 若厶AMt為銳角三角形，|AM= , |AN=3，且| BN=6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程 分析：因?yàn)榍€段 C上的任一點(diǎn)到丨2的距離與到點(diǎn) N的距離相等.根據(jù)拋物線定義知,曲線段C為以N為焦點(diǎn)，以12為準(zhǔn)線的拋物線的一段，所以本題關(guān)鍵是建立適當(dāng)坐標(biāo)系， 確定C所滿足的拋物線方程解：以1 i為x軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) O建立直角坐標(biāo)系由題意，曲線段 C是N為焦點(diǎn)，以12為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為曲線段的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)曲線段C所滿足的拋物線方程為y=2px(p 0)( xaW xw xb, y 0),其中 xa、xb 為 A

19、 B 的橫坐標(biāo)令|MN=p，則 M(-,0 )，N，0)|AM=,| AN=3由兩點(diǎn)間的距離公式，得方程組P 2(Xa ) 2pxA =17 2p 2(Xa )2 PXA = 92解得 amf為銳角三角形 Xa貝U p=4,xa=1又B在曲線段C上， Xb=| BI=6-2=4則曲線段C的方程為y2=8x(1 w xw 4, y 0).例2: (xx年高考題)設(shè)拋物線y2=2px( p0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且 BC/ x軸，證明：直線 AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.2證法一：如圖所示，因?yàn)閽佄锞€y=2px(p0)的焦點(diǎn)為F(, 0), 所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線

20、AB的方程可設(shè)為x=my+,代入拋物線方程得 y2-2pmy-p 2=0.若記A (xi,yi) ,B(x 2,y 2),貝U yi、y2是該方程的兩個(gè)根，所以2yiy2=-p .因?yàn)锽C/ x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-,y2),故直線CO的斜率為y? _ 2 p _ yi_pyixi2即k也是直線OA的斜率，所以直線 AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. 證法二：設(shè) A (xi,y i) ,B(x 2,y 2).因?yàn)锽C/ x軸，所以C (-, y2).因?yàn)锳 B在拋物線上，所以 yi2=2pxi,y 22=2px2.又因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)F,所以kAF=KBF,即yiXi-P X2-P2 2

21、所以即 yiy2(y 2-y i)=p2(y i-y 2).2 因?yàn)?yiM y2,所以 yiy2=-p .因?yàn)閗o= y22一 =，所以直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.p-222證法三：設(shè) A (2pti, 2pt i) ,B (2pt2,2pt 2) F(,0).因?yàn)?A、B F 三點(diǎn)共線, 所以 kAB=kAF,即 2pt2-2pti _ 2pti2pt2-2Pti2pti2即所以 4t i2-仁4t i(t i+t 2).所以 4t it 2=-i,即 11=-因?yàn)锽C/ x軸，所以C (- , 2pt2) 所以kAO=2pt2p-4t2由kAO= k OO可知直線 AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.證法四：因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為(，0),所以可設(shè)直線 AB的方程為 x=ky+.將代入 y2=2px 得 y2-2pky-p 2=0.所以 yA yB=-p .因?yàn)?A () C (-, yB),即 C (-,-),所以直線AC的方程為Ya化簡(jiǎn)得y=Ya2PYa顯然，原點(diǎn)O適合此方程，所以原點(diǎn)O在直線A