電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ) 第6章

1、第六章 時(shí)變電磁場(chǎng)和平面電磁波 6.1 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示6.2 復(fù)數(shù)形式麥克斯韋方程組6.3 復(fù)坡印廷矢量和復(fù)坡印廷定理6.4 理想介質(zhì)中的平面波6.5 導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面波6.6 等離子體中的平面坡6.7 電磁波的色散和群速6.8 電磁波的極化 6.1 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示 6.1.1 復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)a定義為 式中j是虛數(shù) , ; a是a的實(shí)部, a是a的虛部, 即 |a|稱(chēng)為a的?；蚪^對(duì)值, 又稱(chēng)為a的輻角, 并有 設(shè)復(fù)數(shù)b為 則 a的共軛復(fù)數(shù)定義為 容易證明, (6-5a)6.1.2 復(fù)矢量 設(shè)時(shí)諧電磁場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E(t)的一個(gè)坐標(biāo)分量為Ex(t), 它的一般表達(dá)式為 圖6-1 時(shí)諧函數(shù)

2、Ex(t) 與交流電路中的處理相似, 可將Ex(t)寫(xiě)作: 式中, Re 表示對(duì)括號(hào)中的量取實(shí)部。不過(guò)在習(xí)慣上, 為了簡(jiǎn)化, Re()ejt這一符號(hào)一般都不重復(fù)列出。這樣 復(fù)數(shù) 稱(chēng)為復(fù)振幅, 又稱(chēng)為相量。Ex(t) 是時(shí)間t的函數(shù), 而 不再是t的函數(shù)而只是空間坐標(biāo)的函數(shù)。Ex(t)是實(shí)數(shù), 而 是復(fù)數(shù), 但只要取其實(shí)部便可得出Ex(t)。并有 可見(jiàn) 這就是說(shuō), Ex(t)對(duì)時(shí)間t的微分運(yùn)算可化為對(duì)復(fù)振幅 乘以j的代數(shù)運(yùn)算。這正是采用復(fù)數(shù)表示的一個(gè)方便之處。 設(shè)時(shí)諧電場(chǎng)E(t)除了分量Ex(t)外, 還有分量Ey(t)和Ez(t) 。將這3個(gè)分量都用復(fù)數(shù)表示, 則有 于是 6.2 復(fù)數(shù)形式麥克

3、斯韋方程組 6.2.1 復(fù)數(shù)形式麥克斯韋方程組 對(duì)表2-1麥克斯韋方程組的式(a)今有 式中是對(duì)空間坐標(biāo)的微分算子, 它和取實(shí)部符號(hào)Re可以調(diào)換次序。從而得 由表2-1中式(b)、 (c)、 (d)分別得 其復(fù)數(shù)形式為 6.2.2 復(fù)數(shù)形式的本構(gòu)關(guān)系和邊界條件在簡(jiǎn)單媒質(zhì)中, 電磁場(chǎng)復(fù)矢量的關(guān)系為 利用這些關(guān)系后, 復(fù)麥?zhǔn)戏匠探M(6-12)化為 非齊次復(fù)矢量波動(dòng)方程: 式中 在無(wú)源區(qū), =0, 上述方程化為齊次復(fù)矢量波動(dòng)方程: 對(duì)有限區(qū)域求解波動(dòng)方程時(shí), 需要利用邊界條件。邊界條件的復(fù)數(shù)形式與瞬時(shí)形式相同, 只是各物理量不是瞬時(shí)值而是復(fù)數(shù)值: 例6.1 在自由空間某點(diǎn)存在頻率為5 GHz的時(shí)諧電

4、磁場(chǎng), 其磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為 (1)求磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值H(t); (2)求電場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值E(t)。 解 （1）（2）由知6.3 復(fù)坡印廷矢量和復(fù)坡印廷定理6.3.1 復(fù)坡印廷矢量 由復(fù)數(shù)公式(6-5a)知, 從而得坡印廷矢量瞬時(shí)值為 它在一個(gè)周期T=2/內(nèi)的平均值為 設(shè)電壓和電流的復(fù)振幅分別為 則 可見(jiàn)有功功率和無(wú)功功率分別為 6.3.2 復(fù)坡印廷定理 對(duì)其兩端取體積分, 便得到相應(yīng)的積分形式: 這就是用復(fù)矢量表達(dá)的坡印廷定理, 稱(chēng)為復(fù)坡印廷定理。 分別取其實(shí)部和虛部, 得 代表單位體積中電磁場(chǎng)儲(chǔ)能的最大時(shí)間變化率, 說(shuō)明如下。 設(shè) 則單位體積電 , 磁場(chǎng)儲(chǔ)能瞬時(shí)值為 其一周內(nèi)平均值為單位體積電、

5、磁場(chǎng)儲(chǔ)能瞬時(shí)值為 由于儲(chǔ)能是電磁場(chǎng)的無(wú)功功率部分, 其磁場(chǎng)與電場(chǎng)的相位將是正交的, 即 。于是 因此該時(shí)間變化率的最大值為 例6.2 兩無(wú)限大理想導(dǎo)體平板相距d, 坐標(biāo)如圖6-2所示。在平行板間存在時(shí)諧電磁場(chǎng), 其電場(chǎng)強(qiáng)度為 (1)求磁場(chǎng)強(qiáng)度H(t); ;(2)求坡印廷矢量S(t)及平均功率流密度; ;(3)求導(dǎo)體表面的面電流分布。 解 (1)(2)(3) x=0板： x=d板：6.4 理想介質(zhì)中的平面波 6.4.1 平面波的電磁場(chǎng) 式(6-21)化為下述標(biāo)量波動(dòng)方程: 設(shè)Ex僅與坐標(biāo)z有關(guān)而與x, y無(wú)關(guān), 則 故式(6-31)化為 這是二階常微分方程, 其解為 對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)值為 圖6-3 電

6、磁波的瞬時(shí)波形 電場(chǎng)復(fù)振幅和瞬時(shí)值可表示為 式中E0是z=0處電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅。t稱(chēng)為時(shí)間相位, kz稱(chēng)為空間相位。 空間相位相同的場(chǎng)點(diǎn)所組成的曲面稱(chēng)為等相面 , 波前或波面。 可見(jiàn), z=const.的平面為波面。因此稱(chēng)這種電磁波為平面電磁波。 又因Ex與x, y無(wú)關(guān), 在z=const.的波面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)相等。這種在波面上場(chǎng)強(qiáng)均勻分布的平面波稱(chēng)為均勻平面波。它是最基本的電磁波形式。 空間相位kz變化2所經(jīng)過(guò)的距離稱(chēng)為波長(zhǎng)或相位波長(zhǎng), 以表示。 由k=2得 k稱(chēng)為波數(shù), 因?yàn)? 空間相位變化2相當(dāng)于一個(gè)全波, k表示單位長(zhǎng)度內(nèi)所具有的全波數(shù)目。 時(shí)間相位t變化2所經(jīng)歷的時(shí)間稱(chēng)為周期, 以T表示;

7、 而一秒內(nèi)相位變化2的次數(shù)稱(chēng)為頻率, 用f表示。因T=2, 得 等相面(波前)傳播的速度稱(chēng)為相速。我們來(lái)考察波前上的一個(gè)特定點(diǎn), 這樣的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于cos(t-kz)=const. 即t-kz=const., 由此可得dt-kdz=0, 故相速為對(duì)于真空, 可見(jiàn), 電磁波在真空中的相速等于真空中的光速, 其更精確的值是2.997 924 58108m/s。 在一般介質(zhì)中0, 0, 故vpc, 稱(chēng)為慢波。相應(yīng)地, 介質(zhì)中的(相位)波長(zhǎng)也比真空中的波長(zhǎng)短, 因?yàn)?電磁波的磁場(chǎng)強(qiáng)度可由表2-1麥?zhǔn)戏匠探M式(a)得出: 式中 具有阻抗的量綱, 單位為歐姆(), 它的值與媒質(zhì)的參數(shù)有關(guān), 因此它被稱(chēng)為媒質(zhì)的

8、波阻抗。在真空中它是 , 更精確的值是376.730 35。 即 這些關(guān)系簡(jiǎn)單地給出了均勻平面波的電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H的互換關(guān)系及重要特性。 6.4.2 平面波的傳播特性 因此, 對(duì)此特定的場(chǎng)有 圖6-4 均勻平面波的電磁場(chǎng)分布 某一時(shí)刻E和H沿z軸的變化(E和H相互垂直, 同相); xz平面上的瞬時(shí)E和H(S=EH處處指向傳播方向) (3) 復(fù)坡印廷矢量為 (1) 由式(6-40a)和式(6-40b)知, E, H互相垂直, 并由式(6-40c)和式(6-40d) 知, E, H都與傳播方向 相垂直, 即都無(wú)縱向分量, 因此它是橫波, 稱(chēng)為橫電磁波, 或TEM(Transverse Electro

9、-Magnetic)波。 (2) 式(6-40a)和式(6-40b)表明, E, H處處同相, 二者振幅之比為媒質(zhì)的波阻抗(實(shí)數(shù))。 均勻平面波沿傳播方向傳輸實(shí)功率, 且沿途無(wú)衰減(無(wú)損耗); 無(wú)虛功率。 (4) 瞬時(shí)電、磁能密度分別為 可見(jiàn), 任一時(shí)刻電能密度與磁能密度相等, 各為總電磁能密度的一半。 總電磁能密度的平均值為 因 均勻平面波的能量傳播速度等于其相速: 例6.3 我國(guó)實(shí)用通信衛(wèi)星(CHINASAT-1)(DFH-2A)轉(zhuǎn)播的中央電視臺(tái)第二套節(jié)目中心頻率為3.928 GHz, 它在我國(guó)上海的等效全向輻射功率(EIRP)為P=36 dBW。 (1) 求上海地面站接收的功率流密度,

10、設(shè)它離衛(wèi)星37 900km; (2) 求地面站處電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度振幅, 并以自選的坐標(biāo)寫(xiě)出其瞬時(shí)值表示式; (3) 若中央臺(tái)北京發(fā)射站離衛(wèi)星381 700km, 則接收信號(hào)比中央臺(tái)至少延遲了多久? 解 (1) 功率P以dBW計(jì)的定義是 故以W(瓦)計(jì)的功率為 為便于計(jì)算, 該功率密度由衛(wèi)星對(duì)接收點(diǎn)方向的等效全向輻射功率P來(lái)計(jì)算, 它規(guī)定為設(shè)想P向四面八方均勻輻射時(shí)接收點(diǎn)處的功率密度, 從而得 (2) 故 可見(jiàn)衛(wèi)星電視信號(hào)到達(dá)地面的電場(chǎng)強(qiáng)度約13V/m。它比本地電視臺(tái)播發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)值(VHF和UHF頻段規(guī)定值分別為500V/m和3 mV/m)弱得多。 電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值可表示為:式中 (3

11、) 6.4.3 電磁波譜 圖6-5 電磁波譜 6.5 導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面波 6.5.1 導(dǎo)電媒質(zhì)的分類(lèi) 導(dǎo)電媒質(zhì)又稱(chēng)為有(損)耗媒質(zhì), 是指0的媒質(zhì)。電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時(shí), 根據(jù)歐姆定律, 將出現(xiàn)傳導(dǎo)電流Jc=E, 也稱(chēng)為歐姆電流。此時(shí)麥?zhǔn)戏匠淌?6-17b)中J=Je+Jc, Je是外加的源電流。 在無(wú)源區(qū)Je=0, 于是有 式中 按/比值的量級(jí), 可把導(dǎo)電媒質(zhì)分為三類(lèi): 電介質(zhì): 不良導(dǎo)體: 良導(dǎo)體: 圖6-6 幾種媒質(zhì)的 與頻率的關(guān)系(對(duì)數(shù)坐標(biāo)) 表6-1 幾種媒質(zhì)的電參數(shù) 6.5.2 平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特性 對(duì)于沿+z方向傳播的波, 其解的形式為E0e-ekz, 故 采用等效復(fù)

12、介電常數(shù) 后, 平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的場(chǎng)表達(dá)式和傳播參數(shù)可仿照理想介質(zhì)情況來(lái)得出。 在無(wú)源區(qū), 設(shè)其時(shí)諧電磁場(chǎng)的電場(chǎng)復(fù)矢量為 , 則由式(6-31)知, Ex的波動(dòng)方程為: (6-45)(6-46)磁場(chǎng)復(fù)矢量為式中復(fù)數(shù) 稱(chēng)為傳播常數(shù)，它可以寫(xiě)成如下形式：(6-49) 稱(chēng)為相位常數(shù), 稱(chēng)為衰減常數(shù)。 將上式代入式(6-45)的 , 兩邊平方后有 上式兩邊的實(shí)部和虛部應(yīng)分別相等, 即 由上二方程解得 將式(6-49)代入式(6-46)知, 其瞬時(shí)表示式為(設(shè)E0為實(shí)數(shù)) 可見(jiàn), 場(chǎng)強(qiáng)振幅隨z的增加按指數(shù)律不斷衰減。 衰減的產(chǎn)生是由于傳播過(guò)程中一部分電磁能轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?熱損耗)。衰減量可用場(chǎng)量衰減值的自

13、然對(duì)數(shù)來(lái)計(jì)量, 記為奈比(Np)。若電磁波傳播l距離后振幅由|E1|衰減為|E2|, 則(6-51b) 工程上又常用dB來(lái)計(jì)算衰減量, 其定義為 當(dāng)|E1|/|E2|=e=2.718 3, 衰減量為1Np, 或20lg 2.718 3=8.686dB, 故 衰減常數(shù)的單位為Np/m或dB/m。 場(chǎng)強(qiáng)相位隨z的增加按z滯后, 即波沿z方向傳播 。波的相速為 可見(jiàn),在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時(shí), 波的相速比, 相同的理想介質(zhì)情況慢, 且越大, vp越慢。該相速還隨頻率而變化, 頻率低, 則相速慢。這樣, 攜帶信號(hào)的電磁波其不同的頻率分量將以不同的相速傳播。經(jīng)過(guò)一段距離后, 它們的相位關(guān)系將發(fā)生變化, 從而導(dǎo)

14、致信號(hào)失真。 這種現(xiàn)象稱(chēng)為色散。導(dǎo)電媒質(zhì)是色散媒質(zhì)。 導(dǎo)電媒質(zhì)的波阻抗為 則 得 可見(jiàn), 波阻抗具有感性相角。 這意味著電場(chǎng)引前于磁場(chǎng), 二者不再同相。此時(shí)磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為 其瞬時(shí)值為 圖6-7 導(dǎo)電媒質(zhì)中平面電磁波瞬時(shí)圖形 (6-55b)(6-55a) 磁場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電場(chǎng)強(qiáng)度相垂直, 并都垂直于傳播方向 ,因此導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面波是橫電磁波。這個(gè)性質(zhì)與理想介質(zhì)中的平面電磁波是相同的。導(dǎo)電媒質(zhì)中的復(fù)坡印廷矢量為 由于電場(chǎng)與磁場(chǎng)不同相, 復(fù)功率密度不但有實(shí)部, 還有虛部, 即既有單向流動(dòng)的功率, 又有來(lái)回流動(dòng)的交換功率(虛功率)。利用式(6-51b)和式(6-55b)可知, 其瞬時(shí)坡印廷矢量為(

15、6-56) 上式第二項(xiàng)是時(shí)間的周期函數(shù), 周期為2/2=T/2。對(duì)一固定的觀察點(diǎn)(z=z1)而言, 在這個(gè)周期內(nèi)該瞬時(shí)功率項(xiàng)在正負(fù)間來(lái)回變換, 意味著一會(huì)兒向+z方向流動(dòng), 一會(huì)兒又向-z方向流動(dòng) , 而一周內(nèi)沿+z方向的總功率流密度為零, 因此這部分功率為虛功率.因=0/4, 第一項(xiàng)為正值, 代表向+Z方向流動(dòng)的實(shí)功率. 它也正是一周內(nèi)沿+z方向的平均功率流密度Sav . 對(duì)式(6-56)取實(shí)部可得到相同的結(jié)果: 式中cos 與的關(guān)系可利用式(6-54b)導(dǎo)出, 得 若0, 即0, 將使平均功率流密度減小 . 該平均功率流密度隨 z的增大按e-2z關(guān)系迅速衰減 . 電 , 磁場(chǎng)儲(chǔ)能在一周內(nèi)的

16、平均值分別如下: 能量傳播速度為 可見(jiàn), 導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面波的能速與相速相同 表 6-2 理想介質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)傳播特性比較 對(duì)于電介質(zhì)(低損耗介質(zhì)), 。例如聚四氟乙烯, 聚苯乙烯, 聚乙烯及有機(jī)玻璃等材料, 在高頻和超高頻范圍內(nèi)均有 。 則其平面波傳播常數(shù)為 即 波阻抗為 6.5.3 平面波在良導(dǎo)體中的傳播特性, 集膚深度和表面電阻 對(duì)于良導(dǎo)體, /1, 傳導(dǎo)電流密度遠(yuǎn)大于位移電流密度(EjE). 例如銀, 銅, 鋁等金屬, 在整個(gè)無(wú)線(xiàn)是頻率范圍上都有/102. 其中平面波的傳播常數(shù)為 波阻抗為 (6-64a)由式(6-64a)得平面波在良導(dǎo)體中傳播的相速為 良導(dǎo)體中的相速與頻率的平方成正比

17、。當(dāng)f=100MHz,對(duì)銅(=5.8107S/m)有 這遠(yuǎn)比真空中的光速慢. 相應(yīng)的波長(zhǎng)也比真空中波長(zhǎng)(3m)短得多: 該頻率上銅中的波阻抗是 可見(jiàn)1, 因此良導(dǎo)體中ExHy良導(dǎo)體中平面波的電弱場(chǎng)分量和電流密度為 H0和J0是導(dǎo)體表面(z=0)處的磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)振幅和電流密度復(fù)振幅. Hy的相位比Ex滯后45, 因此其復(fù)功率流密度半有虛功率:z=0處平均功率流密度為 這代表導(dǎo)體表面每單位面積所吸收的平均功率, 也就是單位面積導(dǎo)體內(nèi)傳導(dǎo)電流的熱損耗功率: (6-71a)(6-71b) 值得注意的是, 電磁波在良導(dǎo)體中衰減極快#. 由于良導(dǎo)體的一般在107(s/m)量級(jí), 使高頻率電磁波傳入良體后,

18、往往在微米量級(jí)的距離內(nèi)就衰減得近于零了. 所以高頻電磁場(chǎng)只能存于導(dǎo)體表面的一個(gè)薄層內(nèi). 這個(gè)現(xiàn)象稱(chēng)為集膚效應(yīng). 電磁波場(chǎng)強(qiáng)振幅衰減到表面處的1/e即36.8%的深度, 稱(chēng)為集膚深度(或穿透深度)。即 得 (6-72) 導(dǎo)電性能越好(越大), 工作頻率越高, 則集膚深度越小. 例如, 銀的導(dǎo)電率為6.15107(S/m), 導(dǎo)磁率為0=410-7(H/m), 由于(6-72)得 當(dāng)頻率f=3GHz(對(duì)應(yīng)的自由空間波長(zhǎng)為0=10(cm), 得=1.1710-6m=1.17m. 因此, 雖然微波器件通常用黃銅制成, 但只要在其導(dǎo)電層的表面涂上若干微米(如7m)銀, 就能保證表面電流主要在銀層通過(guò).

19、一此導(dǎo)體的值列在表 6-3 中 表 6-3 導(dǎo)體的集膚效應(yīng)特性 場(chǎng)強(qiáng)或電流密度振幅隨z的變化曲線(xiàn)如圖 6-8 所示. 如果要求經(jīng)z=l距離后, 場(chǎng)強(qiáng)振幅衰減至E=E010-6, 則 可見(jiàn)只要經(jīng)過(guò)13.8個(gè)集膚深度, 場(chǎng)強(qiáng)振幅就衰減到只有表面值的百萬(wàn)分之一. 因此很薄的金屬片對(duì)無(wú)線(xiàn)電波都有很好的屏蔽作用, 如中頻變壓器的鋁罩, 晶體管的金屬外殼, 都很了地起了隔離外部電磁場(chǎng)對(duì)其內(nèi)部影響的作用。圖 6-8 場(chǎng)強(qiáng)或電流密度振幅在導(dǎo)體的分布 導(dǎo)體表面處切向電場(chǎng)強(qiáng)度Ex與切向磁場(chǎng)強(qiáng)度Hy之比定義為導(dǎo)體的表面阻抗, 即 可見(jiàn), 導(dǎo)體的表面阻抗等于其波阻抗. Rs和Xs分別稱(chēng)為表面電阻和表面電抗, 并有 這

20、意味著,表面電阻相當(dāng)于單位長(zhǎng)度單位寬度而厚度為的導(dǎo)體塊的直流電阻. 參看圖6-9, 圖中流過(guò)單位寬度平面導(dǎo)體的部電流(z由0至)為 圖 6-9 平面導(dǎo)體 從電路觀點(diǎn)，該電流通過(guò)表面電阻所損耗的功率為 此結(jié)果與式(6-71a)和式(6-71b)相同. 這就是說(shuō), 設(shè)想面電流Js均勻地集中在導(dǎo)體表面厚度內(nèi), 此時(shí)導(dǎo)體的直流是阻所吸收的功率就等于電磁波垂直傳入導(dǎo)體的耗散的熱損耗功率. 這樣, 我們可方便地利用式(6-71b)由Rs求得導(dǎo)體的損耗功率. Rs是平面導(dǎo)體單位長(zhǎng)度單位寬度上的電阻, 因而也稱(chēng)為表面電阻率. 對(duì)于有限面積的導(dǎo)體, 用Rs乘以長(zhǎng)度l再除以寬度w就得出其總電阻. Rs和一樣, 往

21、往被當(dāng)作導(dǎo)體導(dǎo)電性的參數(shù)來(lái)對(duì)待, 已列在表6-3 中. 我們看到 , 可見(jiàn)高頻對(duì)導(dǎo)體的電阻遠(yuǎn)比低頻或直流電阻大. 這是由于集膚效應(yīng), 使高頻對(duì)電流在導(dǎo)體上所流過(guò)的截面積減小了, 從而使電阻增大 Rs 例 6.4 海水r=80, r=1, =4 S/m. 頻率為3KHz和30MHz的電磁波在海平面處(剛好在海平面下側(cè)的海水中)電場(chǎng)強(qiáng)度為1V/m (1) 求電場(chǎng)強(qiáng)度衰減為1V/m處的水深. 應(yīng)選用哪個(gè)頻率作潛水艇的水下通信? (2) 求3kHz的電磁波從海平面下側(cè)向海水中傳播的平均功率流密度 解(1) f=3 kHz: 此時(shí)海水為良導(dǎo)體, 由式(6-64a)得 f=30 MHz: 海水為不良導(dǎo)體,

22、 由式(6-50b)得 可見(jiàn), 選高頻30MHz衰減太大, 應(yīng)采用特低頻3KHz左右. 但具體頻率的選取還應(yīng)作更全面的論證. 例如, f取低些, 如2kHz, 衰減將更小些; 但天線(xiàn)尺寸會(huì)大些(見(jiàn)第八章), 且傳輸給定信號(hào)所需的時(shí)間也長(zhǎng)些. 受這些因素制約, 看來(lái)f也不宜取得過(guò)低 (2) 由式(6-71a) 例 6.5 一微波爐(如圖6-10所示)利用磁控管輸出的2.45GHz微波加熱食品。在該頻率上, 牛排的等效復(fù)介電常數(shù)為 (1) 求微波傳入牛排的集膚深度. 在牛排內(nèi)8mm處的微波場(chǎng)強(qiáng)是表面處的百分之幾? (2) 微波爐中盛牛排的盤(pán)子用發(fā)泡聚苯乙烯制成,其=1.030, tane=0.31

23、0-4, 說(shuō)明為何用微波加熱時(shí)牛排被燒熟而該盤(pán)子并不會(huì)燒掉 圖 6-10 簡(jiǎn)易型微波爐 解(1) 牛排為不良導(dǎo)體, 利用式(6-50b)得 可見(jiàn), 微波加熱比之其它加熱方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是, 功率能直接傳入食品中, 即能對(duì)食品的內(nèi)部進(jìn)行加熱. 同時(shí), 微波場(chǎng)分布在三維空間中, 加熱均勻且快 (2) 發(fā)泡聚苯乙烯是低耗介質(zhì), 利用式(6-62)得其集膚深度為 可見(jiàn)其集膚深度很大, 意味著微波在其中傳播的熱損耗極小, 因此稱(chēng)這種材料對(duì)微波是“透明”的. 它所消耗的熱極小, 所以不會(huì)被燒掉。6.6 等離子體中平面波 6.6.1 等離子體的等效介電常數(shù) 電磁波通過(guò)等離子體時(shí), 將產(chǎn)生位移電流Jd和運(yùn)流是流

24、Jv. 由于離子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子, 例如氮原子的質(zhì)量就比電子大25800倍, 因此運(yùn)流電流主要是由電子運(yùn)動(dòng)引起的, 離子的緩慢移動(dòng)可以忽略. 設(shè)每單位體積中的電子數(shù)為N, 電子運(yùn)動(dòng)的平均速度為V, 電子帶電量為e=1.60210-19C, 則運(yùn)流電流密度為 在高頻電磁場(chǎng)作用下, 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)速度可利用牛頓定律得出. 設(shè)高頻電場(chǎng)為 , 則單位個(gè)電子受力為 式中m為電子質(zhì)量, m=9.1110-31kg. 忽略高頻磁場(chǎng)的作用力-evB(比-eE小得多), 并且不計(jì)電子運(yùn)動(dòng)時(shí)的碰撞, 則上兩式應(yīng)相等, 從而得 由牛頓第二定律知等離子體中的全電流為 于是, 等離子體可看作是一種介電媒質(zhì), 其相對(duì)介電

25、常數(shù)為 或 fp稱(chēng)為等離子體頻率. 例如, 白天電離層最大電子密度典型值約為N=1012（個(gè)/m3）, 得fp=9.0 MHz 。6.6.2 平面波在等離子體中的傳播特性 引入等效介電常數(shù)后, 平面電磁波在等離子體中的傳播可利用 6.4 節(jié)的結(jié)果. 忽略等離子體中電子的碰撞效應(yīng), 亦即忽略等離子體中的熱損耗, 此時(shí)等效介電常數(shù)是實(shí)數(shù). 傳播常數(shù)為 (1) ffp: k為實(shí)數(shù), , 故電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為 這意味著, 電磁波將無(wú)衰減地傳播(已忽略了損耗) (2) f=fp : k=0, 則E=E0, 電場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值為 E=E0cos t (6-80)它不是空間的函數(shù), 因此不發(fā)生傳播 (3) F f

26、p: k為虛數(shù), ,故電場(chǎng)強(qiáng)度為 此時(shí)也沒(méi)有波的傳播, 場(chǎng)沿z按指數(shù)衰減. 下面我用坡印廷失量來(lái)證明, 這時(shí)沿z向的平均傳輸功率為零. 設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為 向, Ex=E, 磁場(chǎng)強(qiáng)度為 故平均功率流密度為 由上可知, 頻率高(ffp)的電磁波將無(wú)衰減地在等離子體中傳播; 而頻率低(ffp)的電磁波不能在等離子體中傳播 6.7 電磁波的色散和群速 6.7.1 色散現(xiàn)象與群速 色散的名稱(chēng)來(lái)源于光學(xué). 當(dāng)一束陽(yáng)光射在三棱鏡上時(shí), 在三棱鏡的另一邊就可看到紅, 橙, 黃, 綠, 藍(lán), 靛, 紫七色光散開(kāi)的圖像. 這就是光譜段是磁波的色散現(xiàn)象. 這是由于不同頻率的光在同一媒質(zhì)中具有不同的折射率, 亦即具有不同

27、的相速所致. 前面我們已定義了相速, 它是單一頻率的平面波(“單色波”)等相面的傳播速度. 良導(dǎo)體中的相速為 這時(shí)的相速是頻率的函數(shù). 這種波的相速隨頻率而變的現(xiàn)象就稱(chēng)為色散 假定信號(hào)由兩個(gè)振幅相同, 角頻率分別為0+和0-(0)的余弦波組成. 由于角頻率不同, 兩個(gè)波的相位數(shù)也有所不同, 分別為0+. 于是有 合成波的振幅隨時(shí)間按余弦變化, 是一調(diào)幅波, 調(diào)制的頻率為. 這個(gè)按余弦變化的調(diào)制波稱(chēng)為包絡(luò)(參看圖6-11). 該包絡(luò)移動(dòng)的相速度定義為群速(group velocity)vg。令調(diào)制波的相位為常數(shù): 由此得 當(dāng)0時(shí), 上式可寫(xiě)成 (6-48)圖 6-11 調(diào)幅波的相速和群速6.7.

28、2 群速與相速的關(guān)系 由群速和相速的定義知從而得 可見(jiàn), 當(dāng)dvp/d=0, 則vg=vp, 這是無(wú)色散情況, 群速等于相速. 當(dāng)dvp/d0, 即相速是頻率的函數(shù)時(shí), vgvp. 這時(shí)又分兩類(lèi)情況: (1) , 則vgvp, 這類(lèi)色散稱(chēng)為正常色散; (2) , 則vgvp, 這類(lèi)色散稱(chēng)為非正常色散. 導(dǎo)體的色散就是非正常色散. 這里“非正?！币辉~并沒(méi)有特別的含義, 只是表示它與正常色散的類(lèi)型不同而已。 常常把群速當(dāng)作能量傳播的速度. 在許多重要的情況下正是如此, 但是并非普遍成立. 例如一些非正常色散的場(chǎng)合, 包括簡(jiǎn)單的有耗傳輸線(xiàn)中, 二者就是不相等的 。 例 6.6 求等離子體中ffp電磁

29、波的群速與相速的關(guān)系 解 由式(3-78)知 從而得群速為 此時(shí)的相速為 可見(jiàn) 圖6-12 等離子體中電磁波的相速vp和群速vg6.8 電磁波的極化 6.8.1 線(xiàn)極化 考察沿z向傳播的平面波, 其電場(chǎng)矢量位于xy平面(模電磁波). 作為一般情況, 可同時(shí)有沿x向和沿y向的電場(chǎng)分量, 則電場(chǎng)矢量瞬時(shí)值可表為(6-89) 其中是二分量間的相位差. 為確定E(t)的端點(diǎn)和軌跡, 可從式(6-89)中消去(wt-kz)而得到Ex(t)和Ey(t)間的方程. 當(dāng)=0或, 則得到Ex(t)和Ey(t)間的關(guān)系如下:這是斜率為(E2/E1) 的直線(xiàn), “+”號(hào)對(duì)應(yīng)于=0, “-”號(hào)對(duì)應(yīng)于=. E (t)方

30、向與x軸的夾角為 圖 6-13 (a) 線(xiàn)極化 (b)圓極化 (c)橢圓極化 6.8.2 圓極化 當(dāng) 由式(6-89a)得 這是半徑為E0的圓, 如圖 6-13(b) 所示. E(t)的大小不隨t而變化, 而E(t)的方向與x軸夾角為 (6-92)這表明, 對(duì)于給定z值的某點(diǎn), 隨時(shí)間t的增加, E(t)的方向以角頻率作等速旋轉(zhuǎn). E(t)矢量端點(diǎn)軌跡為圓, 故稱(chēng)為圓極化, 記為CP(Circular Polarization). (6-93)此時(shí)電場(chǎng)復(fù)矢量為 (6-95)(6-94)當(dāng)Ey相位引前Ex90(=/2), E(t) 旋向與波的傳播方向 成左手螺旋關(guān)系, 稱(chēng)為左旋圓極化(LHCP)

31、; 而當(dāng)Ey相位落后Ex90(=-/2), E(t)旋向與傳播方向 成右手螺旋關(guān)系, 稱(chēng)為右旋圓極化波(RHCP). 這樣, y向和x向電場(chǎng)分量的復(fù)振幅有如下關(guān)系: 或表示為 分別為左, 右旋圓極化波電場(chǎng)的單位矢量 由上, 兩個(gè)相位相差/2, 振幅相等的空間上正交的線(xiàn)極化波, 可合成一個(gè)圓極化波; 反之, 一個(gè)圓極化波可分解為兩個(gè)相位相差/2, 振幅相等的空間上正交的線(xiàn)極化波 (6-96) 容易證明, 兩個(gè)旋向相反, 振幅相等的圓極化波可合成一個(gè)線(xiàn)極化波; 反之亦成立. 例如, (6-97)6.8.3 橢圓極化 最一般的情況是式(6-89a)中的相位差為任意值且兩個(gè)分量的振幅不相等(E1E2). 此時(shí)消去該式中的cos (t-kz), 有 得 (6-98) 這是一般形式的橢圓方程, 因此合成的電場(chǎng)矢量的端點(diǎn)軌跡是一個(gè)橢圓, 如圖 6-13c 所示, 稱(chēng)之為橢圓極化, 記為EP(Elliptcal Polarization). 若將原坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角, 采用新坐標(biāo)系(u,v), 可將橢圓方程(6-98)化為標(biāo)準(zhǔn)形式: A, B分別為橢圓半長(zhǎng)軸和半短軸, 二者之比稱(chēng)為極化橢圓的軸比rA(Axial ratio)即 (6-99) 極化橢圓長(zhǎng)軸對(duì)x軸的夾角, 稱(chēng)為極化橢圓的傾角(Tilt angle) 極化橢圓的軸比, 傾角及旋向是描述極化特性的3個(gè)特征量. 為