2021-2022學(xué)年高二物理競賽課件：定態(tài)問題的常用近似方法

1、定態(tài)問題的常用近似方法2定態(tài)問題的常用近似方法一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)定態(tài)非簡并微擾論令 ，且能級 非簡并，則3其中關(guān)鍵是求 ，并知道 的精確解2、定態(tài)簡并微擾論令 ， 的本征能量為 ，本征函數(shù)為 ，設(shè) 時 是 重簡并的：那么與 對應(yīng)的0級近似波函數(shù)選哪一個？選哪一個也不合適！最好的方法是選取其線性組合，即4實際上在考慮微擾后 要分裂，每一個分裂的能級都應(yīng)對一個新的0級波函數(shù)，并由上式給出。將上式代入一級近似方程可得系數(shù) 滿足方程由久期方程可得 ，并分別代入上式可得一組系數(shù) 從而給出 所對應(yīng)的0級近似波函數(shù)： 5相應(yīng)的一級近似能量為如果 有重根，則某個能態(tài)仍是簡并的，相應(yīng)的0級近似波函數(shù)仍不能確定。因而求

2、解一級近似能量和0級近似波函數(shù)的關(guān)鍵仍是求 在簡并態(tài) 中的矩陣元如果此時 中所有非對角元素均為0，即則 就是0級近似波函數(shù)，此時每一個分裂能級對應(yīng)一個 。為什么？6因為我們已經(jīng)證明：在利用上述程序給出的新的0級波函數(shù)中 是對角化的，故可以選 為0近似波函數(shù)。注意：求解簡并微擾問題的基本思想是：一般 態(tài)中 是非對角化的。我們令 使 在新的 中是對角化的，這等于將 作個幺正變換，使之變成 。在這個新的基矢下， （從而 ）是對角化的。而幺正變換矩陣就由展開系數(shù) 給出。關(guān)鍵是求這個幺正變換矩陣。這個幺正矩陣可以將一組不能使H對角化的基矢變成可以讓其對角化的基矢。7a.根據(jù)體系Hamilton量形式和對

3、稱性b.滿足問題的邊界條件3、變分法1) 確定試探波函數(shù)原則：c.應(yīng)包含一個或多個變分參數(shù)2) 求Hamilton在試探波函數(shù)中的平均值3) 求此平均值對變分參數(shù)的極值4) 求出并由此得到基態(tài)能量和波函數(shù)8二、例題5.2 已知體系的哈密頓量在某力學(xué)量表象中表示為其中試用微擾方法求二級近似能量和一級近似態(tài)矢提示：需要思考兩個問題解：按照微擾論的思想，可將哈密頓寫為1.是否H0表象？2.是否簡并？如不是H0表象,如何給出 的矩陣元？9其中顯然不是H0表象。但由H0的矩陣表示可以求出零級近似能量和相應(yīng)態(tài)矢。二級近似能量和一級近似態(tài)矢為顯然這是屬于非簡并微擾論的內(nèi)容。10其中將上述矩陣元代入近似能量和態(tài)矢表達(dá)式，有11類似計算得到125.3 在表象中的矩陣為其中為實數(shù)，且比小得多，試用微擾論求能量到二級近似分析：這顯