統(tǒng)計(jì)學(xué)教程相關(guān)與回歸

1、相關(guān)與回歸第九講基本內(nèi)容 醫(yī)學(xué)上，許多現(xiàn)象之間都有相互聯(lián)系，例如：身高與體重、父親身高與兒子身高、體溫與脈搏、產(chǎn)前檢查與嬰兒體重、乙肝病毒與乙肝等。 在這些有關(guān)系的現(xiàn)象中，它們之間聯(lián)系的程度和性質(zhì)也各不相同。變量之間的關(guān)系：乙肝病毒感染是前因，得了乙肝是后果，乙肝病毒和乙肝之間是因果關(guān)系；有的現(xiàn)象之間因果不清，只是伴隨關(guān)系，例如丈夫的身高和妻子的身高之間，就不能說(shuō)有因果關(guān)系。 相關(guān)與回歸就是用于研究和解釋兩個(gè)變量之間相互關(guān)系的。 主要內(nèi)容第一節(jié) 直線(xiàn)相關(guān)第二節(jié) 直線(xiàn)回歸第三節(jié) 注意事項(xiàng)第一節(jié) 直線(xiàn)相關(guān)一、相關(guān)的類(lèi)型二、相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式 相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)三、直線(xiàn)相關(guān)的意義為研究父親

2、與成年兒子身高之間的關(guān)系，皮爾遜測(cè)量了1078對(duì)父子的身高。把1078對(duì)數(shù)字表示在坐標(biāo)上。X上的數(shù)代表父親身高，Y上的數(shù)代表兒子的身高1078個(gè)點(diǎn)形成圖形是一個(gè)散點(diǎn)圖。散點(diǎn)圖 為了確定相關(guān)變量之間的關(guān)系，收集一些數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)是成對(duì)的；然后在直角坐標(biāo)系上描述這些點(diǎn)，這一組點(diǎn)集稱(chēng)為散點(diǎn)圖。相關(guān)的類(lèi)型正相關(guān) 負(fù)相關(guān) 完全正相關(guān) 完全負(fù)相關(guān) 稱(chēng)零相關(guān) 相關(guān)系數(shù) 樣本的相關(guān)系數(shù)用r表示r的值在-1和1之間； r的絕對(duì)值越接近1，兩變量的關(guān)聯(lián)程度越強(qiáng)，r的絕對(duì)值越接近0，兩變量的關(guān)聯(lián)程度越弱；正相關(guān)時(shí)，r值在0和1之間，這時(shí)一個(gè)變量增加，另一個(gè)變量也增加；負(fù)相關(guān)時(shí)，r值在-1和0之間，此時(shí)一個(gè)變量增加，

3、另一個(gè)變量將減少。相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式一個(gè)產(chǎn)科醫(yī)師發(fā)現(xiàn)孕婦尿中雌三醇含量與產(chǎn)兒的體重有關(guān)；于是設(shè)想，通過(guò)測(cè)量待產(chǎn)婦尿中雌三醇含量，可以預(yù)測(cè)產(chǎn)兒體重，以便對(duì)低出生體重進(jìn)行預(yù)防。因此收集了31例待產(chǎn)婦24小時(shí)的尿，測(cè)量其中的雌三醇含量，同時(shí)記錄產(chǎn)兒的體重。問(wèn)尿中雌三醇含量與產(chǎn)兒體重之間相關(guān)系數(shù)是多少？是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？分析問(wèn)題：總體-樣本、 目的、變量、關(guān)系 編號(hào)（1）尿雌三醇mg/24h（2產(chǎn)兒體重kg（3）編號(hào)（1）尿雌三醇mg/24h（2）產(chǎn)兒體重kg（3）172.517173.2292.518253.2392.519273.44122.720153.45142.721153.46162.7

4、22153.57162.423163.58143.024193.49163.025183.510163.126173.611173.027183.712193.128203.813213.029224.014242.830253.915153.231244.316163.2 待產(chǎn)婦尿雌三醇含量與產(chǎn)兒體重關(guān)系 14X=534Y=99.2 X2=9876 Y2=324.8XY=1750N=31計(jì)算結(jié)果r的值說(shuō)明了兩個(gè)變量X與Y之間關(guān)聯(lián)的密切程度（絕對(duì)值大?。┡c關(guān)聯(lián)的性質(zhì)（正負(fù)號(hào)）。問(wèn)題：我們能否得出結(jié)論：待產(chǎn)婦尿中雌三醇含量與產(chǎn)兒體重之間成正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)是0.61。為什么？從計(jì)算結(jié)果可以知道，3

5、1例待產(chǎn)婦尿中雌三醇含量與產(chǎn)兒體重之間程正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r0.61。相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 上例中的相關(guān)系數(shù)r等于0.61，說(shuō)明了31例樣本中雌三醇含量與出生體重之間存在相關(guān)關(guān)系。但是，這31例只是總體中的一個(gè)樣本，由此得到的相關(guān)系數(shù)會(huì)存在抽樣誤差。因?yàn)?，總體相關(guān)系數(shù)（）為零時(shí)，由于抽樣誤差，從總體抽出的31例，其r可能不等于零。這就要對(duì)r進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷r不等于零是由于抽樣誤差所致，還是兩個(gè)變量之間確實(shí)存在相關(guān)關(guān)系。 相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，常用t檢驗(yàn)，選用統(tǒng)計(jì)量t的計(jì)算公式如下：=n-2 1. H0 ： =0 H1 ： 0 2. =0.05 3. t=n-2=31-2=29 t=4.144.確定

6、P值：查t值表, t 0.05(29) =2.045 t=4.142.045，由t所推斷的P值小于0.055.結(jié)論： 按=0.05水準(zhǔn)拒絕？，接受？,認(rèn)為臨產(chǎn)婦24小時(shí)內(nèi)尿中雌三醇濃度與產(chǎn)兒體重之間有正相關(guān)關(guān)系。 直線(xiàn)相關(guān)的意義在確實(shí)存在相關(guān)關(guān)系的前提下（？），如果r的絕對(duì)值越大，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)聯(lián)程度越強(qiáng)，那么，已知一個(gè)變量對(duì)預(yù)測(cè)另一個(gè)變量越有幫助；如果r絕對(duì)值越小，則說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)系越弱，一個(gè)變量的信息對(duì)猜測(cè)另一個(gè)變量的值無(wú)多大幫助。一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)樣本量較大，并對(duì)r進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義時(shí)，r的絕對(duì)值大于0.7，則表示兩個(gè)變量高度相關(guān)；r的絕對(duì)值大于0.4，小于等于0.7時(shí)，則

7、表示兩個(gè)變量之間中度相關(guān)；r的絕對(duì)值大于0.2，小于等于0.4時(shí)，則兩個(gè)變量低度相關(guān)。 雌三醇含量與產(chǎn)兒體重有相關(guān)關(guān)系：如果知道了一位待產(chǎn)婦的尿雌三醇含量能推斷出產(chǎn)兒的體重嗎？能預(yù)測(cè)產(chǎn)兒的體重可能在什么范圍內(nèi)？這要用直線(xiàn)回歸的方法來(lái)解決。 第二節(jié) 直線(xiàn)回歸一、回歸方程二、回歸系數(shù)三、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)四、直線(xiàn)回歸的應(yīng)用一個(gè)人的快樂(lè)，不是因?yàn)樗麚碛械亩?，而是因?yàn)樗?jì)較的少休息一、回歸方程二、回歸系數(shù)三、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)四、直線(xiàn)回歸的應(yīng)用第二節(jié) 直線(xiàn)回歸知道了兩個(gè)變量之間有直線(xiàn)相關(guān)關(guān)系，并且一個(gè)變量的變化會(huì)引起另一個(gè)變量的變化，這時(shí)，如果它們之間存在準(zhǔn)確、嚴(yán)格的關(guān)系，它們的變化可用函數(shù)方程來(lái)表示

8、，叫它們是函數(shù)關(guān)系，它們之間的關(guān)系式叫函數(shù)方程。實(shí)際上，由于其它因素的干擾，許多雙變量之間的關(guān)系并不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，不能用函數(shù)方程反映，為了區(qū)別于兩變量間的函數(shù)方程，我們稱(chēng)這種關(guān)系式為直線(xiàn)回歸方程，這種關(guān)系為直線(xiàn)回歸。直線(xiàn)回歸就是用來(lái)描述一個(gè)變量如何依賴(lài)于另一個(gè)變量其任務(wù)就是要找出一個(gè)變量隨另一個(gè)變量變化的直線(xiàn)方程，我們把這個(gè)直線(xiàn)方程叫做直線(xiàn)回歸方程。 回歸方程 abX=+ 式中的 是由自變量X推算應(yīng)變量Y的估計(jì)值，a是回歸直線(xiàn)在Y 軸上的截距，即X=0時(shí)的Y值；b為樣本的回歸系數(shù)，即回歸直線(xiàn)的斜率，表示當(dāng)X變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，Y平均變動(dòng)b個(gè)單位。如果a、b已知，代入上式，就可求得直線(xiàn)回歸方程。

9、 y回歸系數(shù)根據(jù)上例的數(shù)據(jù)，求待產(chǎn)婦尿中雌三醇含量與產(chǎn)兒體重之間的回歸方程。從相關(guān)系數(shù)的計(jì)算中，已經(jīng)求得： 這就是我們求得的二者關(guān)系的回歸方程 回歸直線(xiàn)的描繪 根據(jù)求得的回歸方程，可以在自變量X的實(shí)測(cè)范圍內(nèi)任取兩個(gè)值，代入方程中，求得相應(yīng)的兩個(gè)Y值，以這兩對(duì)數(shù)據(jù)找出對(duì)應(yīng)的兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，將兩點(diǎn)連接為一條直線(xiàn)，就是該方程的回歸直線(xiàn)。回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)（0，a ），（ ）。這兩點(diǎn)可以用來(lái)核對(duì)圖線(xiàn)繪制是否正確。 =2.15+0.061X 是否一定能說(shuō)明雌三醇與產(chǎn)兒體重之間存在回歸關(guān)系？ 與直線(xiàn)相關(guān)一樣，直線(xiàn)回歸方程也是從樣本資料計(jì)算而得的，同樣也存在著抽樣誤差問(wèn)題。所以，需要對(duì)樣本的回歸系數(shù)b進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)

10、，以判斷b是否從回歸系數(shù)為零的總體中抽得。為了判斷抽樣誤差的影響，需對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)?？傮w的回歸系數(shù)一般用表示。 采用t檢驗(yàn)方法其中Sy.x為各觀察值Y到回歸直線(xiàn)的距離的標(biāo)準(zhǔn)差，表示去除X影響后Y的變異程度， 回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)H0：=0 H1：0=0.05計(jì)算統(tǒng)計(jì)量： t=4.14； =31-2=29，t 0.05(29)=2.045計(jì)算概率值P： P0.05做出推論：按=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1認(rèn)為待產(chǎn)婦24小時(shí)尿中雌三醇含量與產(chǎn)兒體重之間存在直線(xiàn)回歸關(guān)系。,直線(xiàn)回歸的應(yīng)用 描述兩變量之間的依存關(guān)系：通過(guò)回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),若認(rèn)為兩變量之間存在直線(xiàn)回歸關(guān)系,則可用直線(xiàn)回歸

11、來(lái)描述。利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè) ：把自變量代入回歸方程，對(duì)應(yīng)變量進(jìn)行估計(jì)，可求出應(yīng)變量的波動(dòng)范圍。例如，已知某待產(chǎn)婦的尿雌三醇濃度，代入回歸方程，再用區(qū)間估計(jì)的方法，即可知道生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)兒的體重的范圍。 利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制 ：空氣質(zhì)量與汽車(chē)數(shù)量 第三節(jié) 應(yīng)用時(shí)注意事項(xiàng)一、注意事項(xiàng) 二、相關(guān)與回歸的區(qū)別三、相關(guān)與回歸的聯(lián)系應(yīng)用直線(xiàn)相關(guān)與回歸的注意事項(xiàng) 1.實(shí)際意義 進(jìn)行相關(guān)回歸分析要有實(shí)際意義，不可把毫無(wú)關(guān)系的兩個(gè)事物或現(xiàn)象用來(lái)作相關(guān)回歸分析。例如，有人說(shuō)，孩子長(zhǎng)，公園里的小樹(shù)也在長(zhǎng)。求孩子和小樹(shù)之間的相關(guān)關(guān)系就毫無(wú)意義，用孩子的身高推測(cè)小樹(shù)的高度則更加慌謬。 2.相關(guān)關(guān)系 相關(guān)關(guān)系不一定是因

12、果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系，并不能證明事物間有內(nèi)在聯(lián)系，例如，有人發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在校兒童，鞋的大小與閱讀技能有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。然而，學(xué)會(huì)新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個(gè)因素 年齡。當(dāng)兒童長(zhǎng)大一些，他們的閱讀能力會(huì)提高而且由于長(zhǎng)大也穿不下原來(lái)的鞋。 3.利用散點(diǎn)圖對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先做散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無(wú)關(guān)系、關(guān)系的密切程度、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析。4.變量范圍相關(guān)分析和回歸方程僅適用于樣本的原始數(shù)據(jù)范圍之內(nèi)，出了這個(gè)范圍，我們不能得出兩變量的相關(guān)關(guān)系和原來(lái)的回歸關(guān)系。相關(guān)與回歸的區(qū)別 1.意義 ：相關(guān)反映兩變量的相互關(guān)系，即在兩個(gè)變量中，任何一個(gè)的變化都會(huì)引起另

13、一個(gè)的變化，是一種雙向變化的關(guān)系?；貧w是反映兩個(gè)變量的依存關(guān)系，一個(gè)變量的改變會(huì)引起另一個(gè)變量的變化，是一種單向的關(guān)系。2.應(yīng)用：研究?jī)蓚€(gè)變量的相互關(guān)系用相關(guān)分析。研究?jī)蓚€(gè)變量的依存關(guān)系用回歸分析。3.研究性質(zhì)：相關(guān)是對(duì)兩個(gè)變量之間的關(guān)系進(jìn)行描述，看兩個(gè)變量是否有關(guān)，關(guān)系是否密切，關(guān)系的性質(zhì)是什么，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)?；貧w是對(duì)兩個(gè)變量做定量描述，研究?jī)蓚€(gè)變量的數(shù)量關(guān)系，已知一個(gè)變量值可以預(yù)測(cè)出另一個(gè)變量值，可以得到定量結(jié)果。 4.相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)b ：r與b的絕對(duì)值反映的意義不同。r的絕對(duì)值越大，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)越趨向于一條直線(xiàn)，表明兩變量的關(guān)系越密切，相關(guān)程度越高。b的絕對(duì)值越大，回歸直線(xiàn)越陡，說(shuō)明當(dāng)X變化一個(gè)單位時(shí)，Y的平均變化就越大。反之也是一樣。 相關(guān)與回歸的聯(lián)系1.關(guān)系 能進(jìn)行回歸分析的變量之間存在相關(guān)關(guān)系。所以，對(duì)于兩組新數(shù)據(jù)可先做散點(diǎn)圖，求出它們的相關(guān)系數(shù)，對(duì)于確有相關(guān)關(guān)系的變量再進(jìn)行回歸分析，求出回歸方程。 2. r與b 符號(hào)一致：r為正時(shí)，b也為正，表示兩變量是正相關(guān)，是同向變化。r為負(fù)時(shí)，b也為負(fù)，表示兩變量是負(fù)相關(guān)，是反向變化。 r與b的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果一致：可用r的顯著檢驗(yàn)代替b的顯著性檢驗(yàn)。 小結(jié)第一節(jié) 直線(xiàn)相