非正交基底中利用平面法向量計算空間中角與距離方法

1、非正交基底中利用平面法向量計算空間角與距離方法我們知道利用空間向量的坐標(biāo)和待定系數(shù)法可以求出直線的方向向量和平 面的法向量，進而計算空間角與距離的大小。但是，課本上所介紹的方法都是在 正交基底的情況下，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算進行計算。而往往有些 幾何圖形中找不到正交基底，不能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，那是不是就不能利用 這種方法了呢？本文就是通過幾個例子，探究這種計算方法在非正交基底中的應(yīng) 用，使得這種方法能運用到更多的題目中去，加強學(xué)生解題方法的多樣性，從而 進一步加深學(xué)生對空間向量基本定理的理解。例1、如圖，已知平行六面體ABCD- A1 B1C1 D1的底面ABCD是菱形，且 TO

2、C o 1-5 h z ZC1CB = ZCCD = ZBCD = 60。. CD=1，qC =2，c求異面直線A1C與DA所成角的余弦值；求直線CD與平面BDC所成角的正弦值.Mb1L寸為求平面ABCD與平面A1B C D的距離cD解：設(shè)CD = a，CB = b， CC = c，則 a = b = 1, c = 2, a,b,c兩兩夾角都是600，1- .a = b = 1， c = 4，ab = ，ac = bc = 1CA DA2f f fc- f ab + b2 + bc111+ 1 + 1 2J *fc fc- f1 fc-la2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2

3、bc bJ1 +1 + 4 +1 + 2 + 2 1(I) CA1 = a + b + c，DA = CB = b，/. cos； CA , D551122(II)設(shè)平面BDC】的法向量為 n = xa + yb + zc，則.，BD = b - a，DC = c -a )(一)1 1n BD = 0. V r - n DC1 = 0a + yb + za b 一 a = - x + y = 022 I y = xa + yb + z) 一 = y + 3z = 0y + 6Z = 02可得平面BD?的法向量為n = 6a + 6b -c，從而直線CD與平面BDq所成角的正弦值為sin 9 =

4、CD nCD n)a + 6b - ca 6a + 6b - c1 *36 + 36 + 4 + 36 -12 -122-2211 TOC o 1-5 h z r *r(III)設(shè) 平面ABCD 的法向量為 n = xa + yb + zc，則. CD = a , CB = b心 )0 i仁 E n Xa + yb + z a = x + y + z = 0(n CD = 0/2I y = xn CB =尸& + yb + zC )Q= 1 x + y + z = 0i3 y + 2 Z = 02可得平面ABCD的法向量為n = 2a + 2b - 3c，從而平面ABCD與平面ABC D的距i

5、iii4 + 4 + 36 + 4 -12 -122 + 2 -122；6V例2、(2006年江西卷)如圖，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD= J，BD = CD=i，另一個側(cè)面ABC是正三角形求證：AD1BC求二面角B-AC-D余弦值的大小在線段AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30。角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。 F-中*P-f解：設(shè) AB = a ， AC = b ， AD = c則 i -i l i -i.一 . .、一、；6a = |b| = V2，C = 3, a,b夾角是600,ac,bc夾角余弦都是，r?

6、2 c - 2.a = b = 2， c” = 3， ab = i， ac = bc = 2C _)(i) AD = c，BC = b - a，AD BC = cb - /= 0 n AD BC(2)設(shè)平面ABC的法向量為n = xa + yb + zc，則 AB = a， AC = bn AB = 0 nAC=0-一)。a + yb + zc 怎 a = 2x + y + 2z = 0)C) na + yb + zc b = x + 2 y + 2z = 0y=x3 y + 2 z = 0可得 平ABC 的法向量為 n = 2a + 2b 3c， n = 2a + 2b 3c =偵 3e*

7、* _.-;-.-設(shè)平面ACD的法向量為m = pa + qb + rc，則 AD = c，(- - 一m AD = 0mAC = 0(-) C)a + qb + rc c= 2p + 2q + 3r = 0n(一_ C)pa + qb + rc b = p + 2q + 2r = 0FAC = bI p + r = 02q + r = 0可得平面人。2的法向量為m = 2a +方-2c, m = 2a +方-2c = J2從而二面角B-AC-D余弦值為cos 0 =2a + b 2c 2a + 2b 3ca + b 2ca + 2b 3c63 TOC o 1-5 h z to*Hfrf(3)

8、設(shè) AE = kAC = kb,則 ED = c kb設(shè)平面BCD 的法向量為 n = xa + yb + zc，則ij BC = b a , CD = c bnBC=0.n vn cd=0 )( ) r a + yb + zc b a= x + y = 0 I y = x _ - _ ) I _ ) .a + yb + zc c b= x + z = 0 Ix + z = 0E 十.- J - J -可得平面BCD 的法向量為 n = a + b c, n = a + b c = 1從而直線ED與平 WBCD所成角的正弦值為sin 0ED nED nC -) c kb a + b cc kb a + b c1 k2k 2 4k + 31 n k = 1322（ 顯）l 一即AE= 1 -握=J2 1,所以存在E點使EC=1即可以使直線