2022年三次函數(shù)的對稱性中心問題

1、三次函數(shù)再探討 - 對稱中心問題 武漢市長虹中學(xué) 郭永清三次函數(shù)存在對稱中心嗎我們先從幾個特別的函數(shù)入手,三次函數(shù)fxax3cx（a0 是奇函數(shù),其圖象關(guān)于00,對稱,三次函數(shù)fxax3bxda0 的圖象關(guān)于點0 ,d對稱,那么對于一般的三次函數(shù)fxax3bx2cxda0 有沒有對稱中心呢答案是確定的,有對稱中心,其對稱中心是b,fb；3 a3 a在證明之前,先回憶一個結(jié)論：定理 1：函數(shù)yfx的圖像關(guān)于點Ma,b 對稱,就在fxf2ax 2b證明：設(shè)A x ,y是yf x圖像上任意一點,就A 關(guān)于點Ma,b的對稱點B 2ax,2 by也在函數(shù)yf x 圖像上,即2 byf2 ax, 又yfx

2、,所以fxf2 ax2 b定理 2：三次函數(shù)fx ax3bx2cxda0的對稱中心是b,fb3 a3 ab 3 ay證明 1：設(shè)A x,y是yfx圖像上任意一點,只要能證明點B-2 bx , 2f3 a也在函數(shù)圖像上；f2 b3 axa2 bx 3b 2 bx2c 2 bx dd3 a3 a3 af3 8 b4 b2x2 2 bx3 ax4 b34 b2xbx22 bccx27 a23 a9 a23 a3 a3 4 b2 bcd3 ax2 bxcx27 a23 abdcba b3 b b23 a3 a3 a3 ayfx ax3bx2cxd2 f b y 2 a b 3 2 b b 2 2 c

3、b 2 d ax 3 bx 2 cx d3 a 3 a 3 a 3 a34 b2 2 bc d ax 3 bx 2 cx27 a 3 a所以 f x f 2 bx 2 f b 3 a 3 a所以三次函數(shù) f x ax 3bx 2cx d a 0 的對稱中心是 b, f b3 a 3 a證明 2：由于 f x ax 3bx a 0 的對稱中心是 0,0, 所以3f x a x x 0 b x x 0 y 0 的對稱中心為 x 0y 0 , 即 x 0 , f x 0 f x ax 3 bx 2 cx d3 b 2 b 2 b 3 b 2 b 3a x 3 x 3 x 3 a x a cx d3

4、a 3 a 3 a 3 a 3 ab 3 b 2 b 3a x 3 a c x a d3 a 3 a 3 ab 3 b 2 b b 3 b 2 ba x 3 a c x a d 3 a c 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a而 a b 3d 3 a b 2c b a b 3d b b 2c b f b3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a3 2 b bf x ax bx cx d a 0 的圖象關(guān)于 , f 對稱；3 a 3 a證明 3：設(shè)函數(shù) f x ax 3bx 2cx d a 0 的對稱中心為（m,n）；按向量 a m , n 將函數(shù)的圖象平移,就所得函數(shù) y

5、 f x m n 是奇函數(shù),所以f x m f x m 2 n 03 2 3 2a x m b x m c x m d a x m b x m c x m d-2n=0化簡得：上式對 恒成立,故3 amb0cmdn0得3 am2 bm,；所以,函數(shù)的對稱中心是（）；定理 3：如三次函數(shù)有極值,就它的對稱中心是兩個極值點的中點證明：不妨設(shè)3ax22 bxc0為fx的導(dǎo)方程,判別式4b212ac0, 設(shè)fx兩極值點為A x 1,fx 1,Bx2,fx2ax 23bx 22cx 2ddfx 1fx 23 ax 1bx 12cx 1x 22 dax 13x 23b x 12x 22c x 1x 22

6、dax 1x 2x 1x 223x 1x 2bx 1x 222x 1x 2c x 1又x 1x 22 b,x 1x 2c3 a3 a2 b3 acb2 b22 bcc2 b3 a2 dfx 1fx2a2b33 a3a3a3 a3 a2ab32b b22cb2d3a3 a3afx 1x2fb23 a所以此時的對稱中心是兩個極值點的中點,同時也是函數(shù)fx 的拐點；A m ,n對稱,定理 4：yf x 是可導(dǎo)函數(shù),如yfx的圖像關(guān)于點f2 mx2n就yf x 的圖像關(guān)于直線xm對稱證明：yfx的圖像關(guān)于A m ,n對稱,就fx由fxlim0fxxfx2mxlim x02 nfxx2 nfxxf2mx

7、lim x0f2mxx fxxlim x0fxfxx lim xfxxfxfx）；所以其導(dǎo)函數(shù)x0 xyf x圖像關(guān)于直線xm對稱；的對稱中心是（三次函數(shù)的圖像關(guān)于直線xb對稱；3 a定理 5：過三次函數(shù)的對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且只有一條證明：設(shè)三次函數(shù)x 0,始終線與三次曲線切于點Q（x 0,ax 03bx 02cx 0d）,且直線過點（）；直線方程可寫為：y 3 ax 022 bx 0c x3 ax 0bx 02cx 0d又fbab3bb2cbd3 a3 a3 a3 adab3bb2cbdcx 03 a3 a3 a3 ax 022 bx 0c bx 0ax 03bx 023 a（x 0b303a化簡為：bx03 a這說明切點就是對稱中心；經(jīng)典例題觀賞：1.求fx x33 x26x7的對稱中心；2. 求 f x 1x 3x 2的極值和對稱中心；33.（2022 年重慶高考題）設(shè)函數(shù) f x x x 1 x a , a 1（1）求導(dǎo)函數(shù) f x , 并證明 f x 有兩個不同的極值點 x 1,x 2（2）如不等式 f x 1 f x 2 0 成立,求 a 的取值范疇；4. 已知 f x x