數(shù)學(xué)模型的知識

1、第十六章 數(shù)學(xué)模型16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類16.2 數(shù)學(xué)建模舉例 湖南教育出版社下頁16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 1. 模型與數(shù)學(xué)模型2數(shù)學(xué)模型的分類3建模的一般步驟4建模能力的培養(yǎng)首頁上頁下頁16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 1. 模型與數(shù)學(xué)模型 為了某個特定的目的，將事物的某一部分信息精簡、提煉而構(gòu)造的事物原型替代物，稱為模型. 對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)其特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，稱為數(shù)學(xué)模型（Mathematical Modelling）.具體模型:飛機模型、水壩模型、建筑模型、演習(xí)模型 抽象模型:模擬

2、模型、思維模型、數(shù)學(xué)模型 首頁上頁下頁數(shù)學(xué)模型和建立數(shù)學(xué)模型簡稱為模型和建模.解釋: 用數(shù)學(xué)模型說明事物發(fā)生的原因判斷: 用數(shù)學(xué)模型來判斷原來認識的可靠性預(yù)見: 用數(shù)學(xué)模型預(yù)測未來事物的發(fā)展16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 首頁上頁下頁2數(shù)學(xué)模型的分類16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 經(jīng)濟模型 生態(tài)模型 人口模型1按研究對象所在領(lǐng)域 交通模型 戰(zhàn)爭模型 環(huán)境模型城鎮(zhèn)規(guī)劃模型 水資源模型首頁上頁下頁 初等模型 幾何模型 代數(shù)模型 微分方程模型2按建立模型的數(shù)學(xué)方法 離散數(shù)學(xué)模型 運籌模型 概率模型 模糊模型 灰色系統(tǒng)模型16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 首頁上頁下頁 描述模型 預(yù)報模型3按建模目的 分

3、析模型 優(yōu)化模型 決策模型 控制模型16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 首頁上頁下頁 白箱模型5按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度 灰箱模型 黑箱模型16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 確定性模型和隨機性模型；4按模型的表現(xiàn)形式 靜態(tài)模型和動態(tài)模型； 離散模型和連續(xù)模型. 如果研究對象的機理(內(nèi)部結(jié)構(gòu)和性能)比較清楚,則稱為白箱.如力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等.首頁上頁下頁 如果研究對象的機理完全不知或知之甚少，則稱為黑箱.如社會科學(xué)、學(xué)習(xí)科學(xué)等.16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 如果研究對象的機理尚不十分清楚，則稱為灰箱.如生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通管理、生命等系統(tǒng)中的許多現(xiàn)象.首頁上頁下頁模型1 記時刻t時已售出的電飯煲總數(shù)

4、為x（t）.由于產(chǎn)品的新穎、方便，已在使用的電飯煲實際上起到了宣傳品的作用，吸引著尚未購買的顧客.粗略假設(shè)每一電飯煲在單位時間內(nèi)平均吸引m個顧客，即x（t）滿足微分方程16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 3建模的一般步驟例1 （新產(chǎn)品的推銷與廣告問題）經(jīng)濟學(xué)家和社會學(xué)家很早就在關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題.怎樣建立一個數(shù)學(xué)模型來描述它，并由此分析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？第二次世界大戰(zhàn)后日本家用電器業(yè)界建立的電飯煲銷售模型是個成功實例.現(xiàn)在我們來對這個模型的建立過程進行分析.首頁上頁下頁（1） 分析 若取t=0為新產(chǎn)品誕生時刻，則x（0）=0，于是（2）式指出x（t）=0 。這一結(jié)果顯然與事實不符

5、.其中C是積分常數(shù).（2） 16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 首頁上頁下頁 若通過努力已有x0數(shù)量的產(chǎn)品投入使用,則調(diào)查情況表明：實際銷售量x (t)在開始階段的增長情況與(2)式十分相符. 在(2)式中，若令 ，則得出 .但這也與事實不符.實際上 是有上界的，因為每個家庭一般只需12只電飯煲就夠了！模型2 設(shè)需求量有一個上界 。則尚未使用的人數(shù)大致為 ，于是由統(tǒng)計規(guī)律知16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 正比于首頁上頁下頁記比例系數(shù)為k，則x（t）滿足微分方程（4）式常稱為Logistic模型.它的圖像有時也叫增長曲線或Logistic曲線.（3） （4） 16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 （3）式

6、是一個可分離變量的微分方程，它的解為其中C為積分常數(shù).首頁上頁下頁16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 首頁上頁下頁分析 容易看出，. 由 ，可以得出16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 根據(jù)（4）式可以分別求出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)為首頁上頁下頁16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟如下： （1）準備：了解問題的實際背景，明確建模目的，收集建模必須的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等。 （2）假設(shè)：根據(jù)對象的特征和建模目的，對問題進行適當而合理的簡化，提幾條恰當?shù)募僭O(shè). （3）模型構(gòu)成：根據(jù)所作假設(shè)，利用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（公式、表格、圖形）.（4）模型求解.首頁上頁下頁 （6）模型檢驗

7、：把數(shù)學(xué)分析的結(jié)果“翻譯”回到實際問題，用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)來檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、正確性.16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 （5）模型分析：對模型求解的結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析.（7）模型應(yīng)用.上述過程中的主要步驟及其關(guān)系，可用下圖表示.首頁上頁下頁 3運用知識工具的能力.16.1 數(shù)學(xué)模型的概念及分類 4建模能力的培養(yǎng) 建模鍛煉以下幾個方面的能力： 1解實際問題的能力. 2抽象分析問題的能力. 4試驗調(diào)試能力.5創(chuàng)新思維能力.首頁上頁下頁16.2 數(shù)學(xué)建模舉例 例1（鋪瓷磚問題）欲用40塊方型瓷磚鋪設(shè)如下圖所示的地面,但當時商店只有長方形瓷磚,每塊大小等于方型的兩塊.某人買了20塊長方形瓷磚,試為他設(shè)計

8、一種方案來鋪地面.首頁上頁下頁 證明 在鋪瓷磚問題中，同色的兩個格子具有相同的奇偶性，異色的格子具有相反的奇偶性.長方形瓷磚顯然只能覆蓋具有相反奇偶性的一對方格.因此,把19塊長方形瓷磚在地面上鋪好后,只有在剩下的兩個方格具有相同的奇偶性時,才有可能把最后一塊長方形瓷磚鋪上.由于剩下的兩個方格具有相同的奇偶性,因此無法鋪上最后一塊長方形瓷磚. 建模 將圖上黑、白相間地染色，然后仔細觀察，發(fā)現(xiàn)共有19個白格和21個黑格.一塊長方形瓷磚可蓋住一白一黑兩格，所以鋪上19塊長方形瓷磚后,（無論用什么方式）總要剩下2個黑格沒有鋪,而一塊長方形瓷磚是無法蓋住2個黑格的,惟一辦法是把最后一塊長方形瓷磚一斷為

9、二.16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁 假定椅子中心不動,每條腿的著地點視為幾何學(xué)上的點,A、B、C、D表示,把AC和BD連線看作坐標系中的x軸和y軸,轉(zhuǎn)動椅子看成坐標軸的旋轉(zhuǎn),如下圖所示. 例2（椅子問題）4條腿長度相同的椅子放在起伏不平的地面上,4條腿能否一定同時著地？ 假設(shè)： 椅子的四條腿一樣長,4腳的連線是正方形. 地面是數(shù)學(xué)上的光滑曲面,即沿任意方向切面能 連續(xù)移動.16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁表示AC轉(zhuǎn)動后與初始位置X軸的夾角,g ()表示A、C兩腿與地面距離之和,f ()表示B、D兩腿與地面距離之和,當?shù)孛婀饣瑫r,f ()、g ()皆為連續(xù)函數(shù).因三條腿總能同時著地,所以f

10、 () g ()=0.16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁證明 令h ()=g ()f (), 有 h(0)g(0)f(0)0.將椅子轉(zhuǎn)動 ，即將AC與BD位置互換，設(shè)初始位置=0時, g(0)=0,f(0)0. 椅子問題抽象成如下問題：已知 f ()、g ()為連續(xù)函數(shù),g(0)=0,f(0)0,且對任意的, 都有g(shù) () f ()=0.求證 存在0 ,使g(0 )= f(0 )=0 ,00 16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁即g(0)f(0).h ()是連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，必定存在使16.2 數(shù)學(xué)建模舉例對任意的,均有g(shù) () f ()0,所以有首頁上頁下頁 報童已經(jīng)掌握了報紙

11、需求量的隨機規(guī)律(直接或間接經(jīng)驗),他每天銷售r份報的概率是f (r) (r=0，1，2，). 例3 (聰明的報童) 報童每天清晨從報社購進報紙零售,晚上將沒有賣掉的報紙退回.報童每天都要考慮一件事情：如果購進太多,賣不完,要賠錢；如果購進太少,不夠賣,會少賺錢.請你為報童籌劃一下,他應(yīng)如何確定每天購進報紙的數(shù)量,才能賺最多的錢？ 假設(shè) 報紙每份的購進價為b,零售價為a,退回價為c,顯然應(yīng)該有abc,即 每賣出一份報紙賺 ab ,退回一份賠bc .16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁 建模 記報童每天購進n份報紙時的平均收入為G (n),如果這天的需求量rn ,則他售出r份,退回nr份;如果這天

12、的需求量rn,則n份將全部售出.（1） 分析 設(shè)每天購進量為n份.因為需求量r是隨機的,r可以小于n,亦可大于n,導(dǎo)致報童每天的收入隨機波動.所以建模的目標不能是他每天的收入,而應(yīng)該是他長期(數(shù)月,數(shù)年)賣報的日平均收入.從概率論的觀點看,相當于計算報童每天收入的期望值.由于需求量為r的概率是f (r),所以16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁 需求量r的取值和購進量n都相當大,將r視為連續(xù)變量更有利于分析和計算,這時概率f (r)可看成概率密度函數(shù)p (r),（1）式變成對上式關(guān)于n求導(dǎo),得（2）目標歸結(jié)為：當 f (r), a, b, c已知時,求n使G (n)達到最大.16.2 數(shù)學(xué)建模舉

13、例首頁上頁下頁因為當購進n份報紙時, 是需求量r不超過n的概率,即賣不完的概率； （3）式即是為使報童日平均收入達到最大,購進量n應(yīng)滿足的關(guān)系式. （3） 令16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁 是需求量 r 超過n的概率,即賣完了的概率. 所以（3）式的現(xiàn)實意義是：最佳的購進份數(shù)n應(yīng)該使賣不完與賣完的概率之比,恰好等于賣出一份賺的錢ab與退回一份賠的錢bc之比.顯然,當報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時,報童購進的份數(shù)就應(yīng)該越多,這個結(jié)論與日常生活的經(jīng)驗相當吻合.16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁 建模 患者服藥后,隨時間的推移,藥品在體內(nèi)逐漸被吸收,起生化反應(yīng),也就是體內(nèi)藥品

14、的濃度逐漸降低. 藥品濃度的變化量與服藥量成線性比,即 例4 (服藥問題) 醫(yī)生給病人開處方時,必須注明兩點：每次服藥的劑量和時間間隔.劑量太大,藥品會對身體產(chǎn)生嚴重不良的后果;劑量不足,則達不到治病的目的.為采用適當?shù)膭┝?請研究藥品在體內(nèi)的分布情況. 假設(shè) 患者的服藥是一個常數(shù)y0,相鄰兩次服藥的間隔為T,T是一常量； 令y (t)表示t時刻藥品在患者體內(nèi)的濃度,y(0)表示t = 0時患者服藥量y0.16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁當t = T 時,由于經(jīng)過時間間隔T ,患者第二次服藥,劑量仍為y0.所以t = T,(k0為常數(shù),取決于藥品的種類). （1）同樣,當 時,體內(nèi)藥品濃度求

15、解 （1）的解為16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁利用等比數(shù)列求和公式,得 當t=3T時,體內(nèi)藥品濃度為并且當t=2T時,患者第三次服藥,劑量仍為y0,所以當t=nT時,體內(nèi)藥品濃度達到16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁確定.根據(jù)患者病情,如果藥物劑量水平需要接近 時，近似地有如果間隔時間T為確定量,那么劑量y0可由16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁當患者多次服藥后,體內(nèi)藥品濃度緩慢地趨于極限值 16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁當t=T時,根據(jù)假設(shè),需要增加劑量y1,使且每間隔時間T繼續(xù)服藥,使體內(nèi)藥品濃度達到y(tǒng)c,假設(shè) 患者開始服藥,就采用劑量 每間隔時間T,患者服用的劑量為y1(事實上y

16、1=y0).若藥品濃度的變化仍遵循 的規(guī)律,那么t 0,T 時,體內(nèi)藥品濃度為 （身體所需要的量）,即16.2 數(shù)學(xué)建模舉例第二種服藥方法.首頁上頁下頁 例5 (油管的鋪設(shè)線路問題) 如下圖,某大型項目欲從A0鋪設(shè)一條石油管道至A6,其間必須經(jīng)過5個中間站.第一站可以在A1,B1兩地之中任選一個,類似地,第二、第三、第四、第五站可供選擇的地點分別是A2,B2,C2,D2, A3,B3,C3, A4,B4,C4, A5,B5.連接兩地的管道距離用兩點連線上的數(shù)字表示(兩點間若無連線,表示兩地間不能鋪管).請設(shè)計一條線路使總距離最短.16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁下頁16.2 數(shù)學(xué)建模舉例首頁上頁

17、下頁 k = 6 時：設(shè)f6(A5)表示由A5到A6的最短距離,f6(B5)表示由B5到A6的最短距離.顯然 建模 從最后一段開始,用從后向前逐步遞推的辦法,求出各點到A6的最短線路,最后求得從A0到A6的最短線路. k =5 時：從A4出發(fā),有兩種選擇,到A5或B5,如果f5(A4)表示由A4到A6的最短距離,d5(A4,A5)表示A4到A5的距離,u5(A4)表示相應(yīng)的選擇或決策,則16.2 數(shù)學(xué)建模舉例u5(A4)=A5,最短線路是：首頁上頁下頁u5(B4)=B5,最短線路是： 從B4出發(fā),也有兩種選擇,即到A5或B5. f5(B4),d5(B4,A5),d5(B4,B5),u5(B4)的定義與中相似,則16.2 數(shù)學(xué)建模舉例從C4出發(fā),同樣有u5(C4)=B5,最短線路是：首頁上頁下頁u4(A3)= B4,最短線路是： k = 4