趣題：無限多層嵌套的邏輯推理

1、大家一定見過很多我不知道，我也不知道，我還是不知道，我還是不知道，我 知道了，我也知道了的問題。但是，我想大家一定沒有見過下面這樣的問題。A、B兩人在主持人C的帶領下玩一個游戲。C向兩人宣布游戲規(guī)則：一 會兒我會隨機產(chǎn)生兩個不同的形如n - 1/2k - 1/2k+r的數(shù)，其中n、k是正整 數(shù)，r是非負整數(shù)。然后，我會把這兩個數(shù)分別交給你們。你們每個人都只知 道自己手中的數(shù)是多少，但不知道對方手中的數(shù)是多少。你們需要猜測，誰手中 的數(shù)更大一些。這里，我們假設所有人的邏輯推理能力都是無限強的，并且這 一點本身也成為了共識。C按照規(guī)則隨機產(chǎn)生了兩個數(shù)，把它們交給了 A和 B，然后問他們是否知道誰手

2、中的數(shù)更大。于是有了這樣的一段對話。A :我不知道。B :我也不知道。A :我還是不知道。B :我也還是不知道。C :這樣下去是沒有用的！可以告訴你們，不管你們像這樣來來回回說多少輪， 你們?nèi)匀欢紱]法知道，誰手中的數(shù)更大一些。A :哇，這個信息量好像有點兒大！不過，即使知道了這一點，我還是不知道 誰手中的數(shù)更大。B :我也還是不知道。A :我繼續(xù)不知道。B :我也繼續(xù)不知道。C :還是套用剛才的話，不管你們像這樣繼續(xù)說多少輪，你們?nèi)匀粵]法知道誰手中的數(shù)更大。A :哦.不過，我還是不知道誰手中的數(shù)更大。B :而且我也還是不知道。我們究竟什么時候才能知道呢？C :事實上啊，如果我們?nèi)齻€就像這樣繼續(xù)

3、重復剛才的一切一一你們倆互相說一堆不知道，我告訴你們這樣永遠沒用，然后你們繼續(xù)互說不知道，我繼續(xù)說這不管用一一那么不管這一切重復多少次，你們?nèi)匀徊恢勒l手中的數(shù)更大!A :哇，這次的信息量就真的大了。只可惜，我還是不知道誰的數(shù)更大一些。B :我也還是不知道。A :是嗎？好，那我現(xiàn)在終于知道誰的數(shù)更大了。B :這樣的話，那我也知道了。而且，我還知道我們倆手中的數(shù)具體是多少了。A :那我也知道了。那么，C究竟把哪兩個數(shù)給了 A和B ？上面的題目明顯來自于這樣一個老題：C隨機產(chǎn)生了兩個不同的正整數(shù)，分別 交給了 A、B，并讓兩人猜測誰手中的數(shù)更大。然后A說不知道，B說不 知道，A說還是不知道，B也說

4、還是不知道，然后A說知道了，B說不但 知道了，而且這兩個數(shù)具體是多少都知道了。問這兩個數(shù)是多少。解答過程并不復雜。首先，A說了一個不知道。這當然不奇怪，一開始就說知 道了才奇怪呢。我們不妨反過來想想，什么情況下A 一開始就會說知道了 呢？容易想到，這一定是因為A手中的數(shù)是1。由于C產(chǎn)生了兩個不同的正 整數(shù)，因此當A手中的數(shù)是1時，他就知道了 B手中的數(shù)必然更大。然而， A實際上說的是不知道，這說明A手中拿到的數(shù)不是1。也就是說，A手 中的數(shù)至少是2。B聽到了 A的回答后，也推出了這一點。那么，什么情況下B會立即說知道 了呢？當然，如果B手中的數(shù)是1，他就立即知道A手中的數(shù)更大了，因 為A手中的

5、數(shù)至少是2。另外，如果B手中的數(shù)是2，他也會立即知道A 手中的數(shù)更大既然A手中的數(shù)至少是2，并且又不等于自己手中的數(shù)， 因而必然更大一些。當然，B說的實際上是不知道，這說明B手中的數(shù)至少 是3。A聽到了 B的回答后，也推出了這一點。但是，A又說了個不知道。這說 明，A拿到的既不是2，也不是3，否則他都能推出B手中的數(shù)更大。因 此，A手中的數(shù)至少是4。同理，根據(jù)B的下一個不知道可以推出，B手 中的數(shù)既不是3，也不是4，至少是5。此時，A說知道了。這說明，A 手中的數(shù)肯定是4和5當中的一個，他據(jù)此推出了 B手中的數(shù)更大。但是， B為什么能緊接著推出A手中的數(shù)具體是多少呢？這一定是因為，B手中的 數(shù)

6、就是5，因而能斷定A手中的數(shù)只可能是4。所以，A、B兩人手中 的數(shù)分別是4和5。這就是舊版的題目。它和本文最開頭的那個新版的題目有什么聯(lián)系呢？用下面兩 張圖來說明真是再合適不過了。在舊版的題目中，把兩人手中可能的數(shù)（也就是 C能產(chǎn)生出來的數(shù)）全都標在數(shù)軸上，那大概是這樣：123456而在新版的題目中，把兩人手中可能的數(shù)（也就是C能產(chǎn)生出來的數(shù)）全都標 在數(shù)軸上，則大概是這樣：你會發(fā)現(xiàn)這種情況非常有意思。最小的一批數(shù)是0, 1/4, 3/8, 7/16, .，這樣數(shù) 下去會有無窮多個數(shù)。但是，這無窮多個數(shù)的后面還有1/2, 5/8, 11/16等數(shù)， 而且這一系列數(shù)本身又是無窮多的；在這無窮多個

7、數(shù)的后面又還有3/4, 13/16 等數(shù)，它們也有無窮多個事實上，我們會遇到無窮多個類似于這樣的無窮多 個數(shù)，而最關鍵的就是，在這無窮多個無窮的后面，還有1,5/4, 11/8等數(shù)。在 新版的題目中，A、B、C之間的游戲就是在這樣的“場所”上進行的。和舊題類似，在新題中，兩人一遍又一遍地宣稱自己“不知道”，本質(zhì)上就是對序 列0, 1/4, 3/8, 7/16, .從前往后進行排除。然而，C跳出來說“這樣下去是沒 有用的”，就意味著任何一方手上的數(shù)都不可能是該序列里的數(shù)，本質(zhì)上相當于 幫兩人一下子排除掉了這無窮多種可能。如果此時A說自己“知道了”，那一定 是因為他手里拿著的是除掉這無窮多個數(shù)之后剩下的最小的數(shù)，即1/2。然而， A仍然說自己“不知道”，并且B也繼續(xù)說自己“不知道”，并如此往復。此時， 他們就相當于是在序列1/2, 5/8, 11/16, .上斗智了。而C又說了一遍剛才的 話，本質(zhì)上相當于又幫兩人把這一系列數(shù)都排除掉了。兩人繼續(xù)開始考慮下一系 列數(shù)的可能。最后，C告訴兩人，這個模式重復多少次都不管用。于是，再下一系列的數(shù)， 再下一系列的數(shù)，以及后面無窮多個系列的數(shù)，都被排除掉了。兩人都知道了， 他們手上的數(shù)都至少是1。當A再次說“不知道”的時候，說