大學(xué)物理競(jìng)賽專題輔導(dǎo)之力學(xué)

1、大學(xué)物理競(jìng)賽專題輔導(dǎo)之力學(xué)力學(xué)基本定律加速度作用力萬(wàn)有引力庫(kù)侖力運(yùn)動(dòng)軌道橢圓、拋物線、雙曲線洛倫茲力圓周運(yùn)動(dòng)彈性力電磁相互作用動(dòng)靜摩擦力、安培力、核力.能夠由牛頓第二定律嚴(yán)格求解坐標(biāo)的問題并不多8/10/20222山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽力學(xué)動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)能三大定理動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)能定理沖量定理沖量矩定理力學(xué)的守恒定律動(dòng)量、角動(dòng)量、能量守恒8/10/20223山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽力學(xué)的物理模型質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)組、剛體8/10/20224山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【例題】如圖在光滑水平面上有質(zhì)量為M的均勻分布的、半徑R的圓環(huán)。質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m(m0的質(zhì)點(diǎn)，初始時(shí)位于圓環(huán)最高點(diǎn)a處，以初速度v0

2、沿水平方向向左運(yùn)動(dòng)，如果在以后的運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)能夠沿圓環(huán)外側(cè)不脫落圓環(huán)，達(dá)到圓環(huán)最低點(diǎn)b。試計(jì)算(1)質(zhì)點(diǎn)在a點(diǎn)不脫落圓環(huán)，初始速度滿足的條件(2)質(zhì)點(diǎn)在b處不脫落圓環(huán)，初始速度應(yīng)該滿足什么條件?(3)質(zhì)點(diǎn)在0q0的限制，因此初始速度滿足的條件是(1)(2)設(shè)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最低點(diǎn)b處的速度大小為v,則機(jī)械能守恒得到(2)8/10/202214山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽同樣按照條件 。這里法向動(dòng)力學(xué)方程得到整理為求根分解因式得得到不等式其中兩個(gè)根分別是 (3)8/10/202215山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽可見兩個(gè)根都是大于零的。由此把(3)式兩邊平方把(2)式能量守恒代入得初始速度滿足的條件但其中(4)

3、8/10/202216山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽因此質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最低點(diǎn)b處不脫落，初始速度滿足的條件是(5)(3)質(zhì)點(diǎn)在左半圓環(huán)q處不脫離，設(shè)此處速度為v,仍然按照條件 討論.機(jī)械能守恒得到不脫離的條件是同樣的方法得到不等式(6)(7)8/10/202217山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽其中兩個(gè)根分別是討論：如果 則上面的解 （8)式改為把(6)式機(jī)械能守恒代入，以及v00的要求，得到(9)討論：如果 則上面的解 ,（8)式改寫為(10)(8)8/10/202218山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽把(10)式進(jìn)一步利用機(jī)械能守恒(6)式得到把v1代入該式左端得到又因?yàn)?，所以上式中8/10/202219山東

4、大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽因而左端這樣得到兩種夾角范圍初始速度滿足的條件是( )代進(jìn)v2的表示得到這個(gè)條件是這個(gè)條件對(duì)于兩種角度范圍都成立。為了滿足質(zhì)點(diǎn)在左半圓環(huán)都不脫離，(12)式右端應(yīng)該取最小值。易見q=0滿足最小值條件。得到初始速度滿足的條件是(12)8/10/202220山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽(11)(4)質(zhì)點(diǎn)返回到最高點(diǎn)不脫離的條件根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，這個(gè)條件就是(11)式。8/10/202221山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 【例題】在天花板的O點(diǎn)懸掛一個(gè)光滑的輕質(zhì)小環(huán)P,小環(huán)可繞固定點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)度為l的輕繩穿過小環(huán)P，其兩端分別連接質(zhì)量為m1與m2的小球A1與A2，已知m1m2。設(shè)兩個(gè)

5、小球同時(shí)做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，在任意時(shí)刻兩個(gè)小球均在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)的角速度是(1)計(jì)算兩個(gè)小球到p的距離l1與l2.Pl1l2m2m1f2f1O(2)計(jì)算兩個(gè)小球與細(xì)繩構(gòu)成系統(tǒng)所受外力對(duì)P點(diǎn)的力矩之和。(3)計(jì)算系統(tǒng)對(duì)P點(diǎn)的角動(dòng)量。以及守恒角動(dòng)量的大小。8/10/202222山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 【解】如圖所示，兩個(gè)小球連線與豎直方向夾角分別是f1與f2，小球m1與m2的分別受到重力mg與繩子張力T的作用，兩球通過繩子連接受張力相等。滿足方程Pl1l2m2m1f2f1OTmgf由此得到因?yàn)榻撬俣认嗤?，進(jìn)而得到(1)(2)(3)8/10/202223山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽結(jié)果表明兩個(gè)小

6、球到P點(diǎn)的垂直距離相等。因?yàn)閮汕蛲ㄟ^細(xì)繩連接，受張力相等，得到關(guān)系改寫成為(4)聯(lián)立(3)(4)得到(5)但存在關(guān)系(6)利用(5)(6)求出(7)8/10/202224山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽Pl1l2m2m1gf2f1O【解】(2)計(jì)算兩個(gè)小球與細(xì)繩構(gòu)成系統(tǒng)所受外力對(duì)P點(diǎn)的力矩之和。兩個(gè)小球的重力對(duì)P點(diǎn)的力矩方向相反。設(shè)指向外面為正方向，則按定義利用(7)式擺線長(zhǎng)度的結(jié)果得到利用(2)式可求出方向指向內(nèi),方向指向外。則8/10/202225山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽已知m1m2,則 力矩的方向指向外為正，得到至于繩子張力因?yàn)榱Φ淖饔镁€過P點(diǎn)，力矩為零。進(jìn)而求出8/10/202226山東大

7、學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 【解】(3) 系統(tǒng)對(duì)P點(diǎn)的角動(dòng)量按照角動(dòng)量的定義Pl1f1m1v1對(duì)于質(zhì)點(diǎn)m1如圖可知圖示位置速度v1方向指向版面內(nèi)，l1的方向由P指向質(zhì)點(diǎn)，則角動(dòng)量方向如圖所示J1同理可以求出m2相對(duì)P的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)做圓錐運(yùn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量的方向也隨之改變。8/10/202227山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽Pl1f1m1v1J1角動(dòng)量在豎直方向的分量是8/10/202228山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽由以上分析知道兩個(gè)小球在同一個(gè)水平面內(nèi)做半徑不同，角速度相同的圓周運(yùn)動(dòng)，角動(dòng)量沿著豎直方向分量守恒。Pl1f1m1v1 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的水平分量方向相反，總的水平分量是雖然這個(gè)分量的大小不變，但方向在

8、改變，因此角動(dòng)量的水平分量不守恒！重力在水平方向的力矩不為零！8/10/202229山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【例題】如圖兩根不可伸長(zhǎng)的柔軟的細(xì)繩，長(zhǎng)度分別是l1與l2，且l10.需要通過受力分析與討論，得到可能的平衡狀態(tài)，進(jìn)一步求出AB的長(zhǎng)度。8/10/202230山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【解(1)】 如圖AB=0時(shí)(A與B重合)，AC連線沿豎直線方向，此時(shí)細(xì)繩AC拉直，BC松弛。重力mg與繩子AC的張力T相等。這種平衡與摩擦系數(shù)的取值無(wú)關(guān)！A BCml1l2當(dāng)小環(huán)B離開A到達(dá)橫桿右邊某位置時(shí)，如果滿足條件A BCml2l1由于細(xì)繩BC沒有質(zhì)量，系統(tǒng)受到小球的重力mg與繩子AC的張力T相互

9、平衡外，沒有任何其他外力作用，系統(tǒng)仍然處于平衡狀態(tài)。這種平衡與小環(huán)的摩擦系數(shù)無(wú)關(guān)。(1)8/10/202231山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽設(shè)小環(huán)B再向右移動(dòng)一段小距離Dx,上面條件(1)不再滿足。AB長(zhǎng)度表示為小環(huán)B受到沿細(xì)繩BC方向張力作用T2,張力T2在豎直方向分力、向左的水平分力以及靜摩擦力分別是AmC T2q2如果小環(huán)B在水平方向的力滿足關(guān)系BF2f2N2平衡被破壞，質(zhì)點(diǎn)B返回向左運(yùn)動(dòng)。8/10/202232山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽利用以上力的表示及幾何關(guān)系求出摩擦系數(shù)滿足關(guān)系時(shí)，小環(huán)B將返回左向運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)被破壞。ABmC T2q2同樣小環(huán)A受到沿著AC方向張力T1作用，其平

10、衡狀態(tài)同樣與張力T1以及摩擦力f1之間的關(guān)系決定。但T1近似沿著豎直方向，其水平分力小于靜摩擦力，因而不發(fā)生滑動(dòng)。對(duì)于一種極端情況：m1=0,此時(shí)小環(huán)將沿著AB桿滑動(dòng)。平衡狀態(tài)被破壞。8/10/202233山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽總之在條件系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是：AC連線沿豎直方向,AB 之間距離范圍是或者【解(2)】問題成為，討論在以下條件時(shí)系統(tǒng)的平衡問題8/10/202234山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽如圖所示系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。分別分析環(huán)A與B的受力情況。A D Bq1f1q2f2T1T2Cm環(huán)A受到張力、水平分力與摩擦力作用,分別是當(dāng)AB距離繼續(xù)增大，達(dá)到條件可見當(dāng)桿AB距離再變大(距離DC變

11、小時(shí))時(shí),使得tgf1的值滿足上面條件時(shí)環(huán)A將沿著桿向內(nèi)滑動(dòng)而不再靜止,系統(tǒng)不再平衡。F1f18/10/202235山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽同理分析環(huán)B的受力情況.得到環(huán)B發(fā)生滑動(dòng)的條件是進(jìn)一步分析這兩個(gè)條件滿足時(shí)需要具備的條件。8/10/202236山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽如圖夾角f1與f2在幾何條件下相互聯(lián)系，用h表示C到AB桿的距離，則A D Bq1f1q2f2T1T2Cmh由正弦定理得到當(dāng)AB距離增大時(shí)，夾角q1與q2都減少，夾角f1與f2則隨著增大,其正切函數(shù)值也增大。而環(huán)和環(huán)首哪一個(gè)先滑動(dòng)或同時(shí)滑動(dòng)取決于那個(gè)條件首先滿足8/10/202237山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽設(shè)環(huán)開始滑

12、動(dòng)時(shí),h用hA表示,則得到A D Bq1f1q2f2T1T2Cmh設(shè)B環(huán)開始滑動(dòng)時(shí),h用hB表示,同樣得到可以通過比較桿AB增長(zhǎng)過程中，通過距離hA與hB來(lái)判斷哪個(gè)環(huán)首先滑動(dòng)，進(jìn)而求的AB的長(zhǎng)度。8/10/202238山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽A D Bq1f1q2f2T1T2Cmh(1)如果 ,首先達(dá)到A球滑動(dòng)的條件。由以上各式得到關(guān)系以及關(guān)系8/10/202239山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽進(jìn)一步求出AB的長(zhǎng)度是總之，在條件系統(tǒng)保持平衡狀態(tài)，AB的長(zhǎng)度限制為8/10/202240山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽(2)如果 ,由以上各式得到關(guān)系小環(huán)B首先滑動(dòng)，系統(tǒng)失去平衡狀態(tài)。此時(shí)有關(guān)系以及關(guān)系8/

13、10/202241山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽進(jìn)一步求出AB的長(zhǎng)度是總之，在條件系統(tǒng)保持平衡狀態(tài)，AB的長(zhǎng)度限制為8/10/202242山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽討論：如果滿足條件則給出關(guān)系 ，兩個(gè)小環(huán)將同時(shí)滑動(dòng), 此時(shí)AB的距離是保持系統(tǒng)力學(xué)平衡的條件是8/10/202243山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【例題】質(zhì)量M的宇航站載有質(zhì)量m的衛(wèi)星一起繞地球做半徑nR的圓周運(yùn)動(dòng)，R是地球的半徑，n=1.25。在園軌道某位置上，沿著運(yùn)動(dòng)方向衛(wèi)星被射出后做橢圓運(yùn)動(dòng)，其遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離為8nR,衛(wèi)星繞地球一周后正好與宇航站相遇，問兩者的質(zhì)量比值m/M多大？nRR8/10/202244山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)

14、賽【解】衛(wèi)星被射出前，在地球引力下做圓周運(yùn)動(dòng)，速度為u(1)設(shè)在圓周軌道上C點(diǎn)，衛(wèi)星m被射出后，衛(wèi)星速度為v，宇航站M的速度為V，則動(dòng)量守恒(2)此后衛(wèi)星與宇航站分別以速度v與V繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)。假設(shè)兩者速度方向相同。8/10/202245山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽萬(wàn)有引力作用下園軌道、橢圓軌道的討論半徑R0園運(yùn)動(dòng)的能量與運(yùn)動(dòng)方程分別是Mm求出園軌道的能量橢圓軌道的能量與長(zhǎng)半徑有關(guān)是8/10/202246山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽在軌道上某處質(zhì)點(diǎn)m速度有所增加，但總能量小于零，園軌道變成橢圓軌道。必有關(guān)系Mm這個(gè)位置是新橢圓軌道的近地點(diǎn)。按照幾何關(guān)系得到如果質(zhì)點(diǎn)的速度有所減少，總能量減少。園軌

15、道成為橢圓軌道。但是 ，這個(gè)位置是橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，且8/10/202247山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽因?yàn)镸m,則Vb,所有當(dāng)該式括號(hào)中第一項(xiàng)為零時(shí)，取極大值。所用時(shí)間最短。8/10/202264山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽由此得到質(zhì)點(diǎn)沿著任意直徑下落用時(shí)間最短的直徑是討論：由于 ,所以長(zhǎng)短半徑應(yīng)滿足條件(4)得到條件(5)而如果(6)則不存在極值。在條件(5)滿足時(shí)，把(4)式代入(3)式得到時(shí)間的極小值。這個(gè)條件對(duì)應(yīng)著對(duì)稱的兩個(gè)極角所表征的直徑。8/10/202265山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽討論當(dāng) 滿足時(shí)，在 范圍內(nèi)，時(shí)間t隨q單調(diào)變化，沒有極值。在 ，時(shí)間 ，在由上式求出時(shí)間的極小值是8

16、/10/202266山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽時(shí)間t隨極角q變化的示意圖8/10/202267山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【例題】水塘里有一只青蛙停在一片荷葉的中央，青蛙質(zhì)量為m,荷葉質(zhì)量為M，看成半徑為R的園。 (1)若青蛙能夠一次跳離荷葉，那么青蛙應(yīng)做多少功？ (2)如果青蛙由所在荷葉中央起跳，剛好落在緊挨著的另一片完全相同的荷葉中央，隨之一起向前滑動(dòng)，試求機(jī)械能損失與青蛙所做功的比值。 設(shè)青蛙跳離或者跳落荷葉時(shí)，荷葉均不產(chǎn)生豎直方向的運(yùn)動(dòng)，只能夠在水面上無(wú)阻力的滑動(dòng)。8/10/202268山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【解1】設(shè)青蛙起跳后瞬間相對(duì)地面的水平速度與豎直速度分別是vx與vy,荷葉后

17、退的速度為v,則起跳過程中青蛙所做的功是(1)系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒(2)在荷葉參考系中，青蛙起跳后相對(duì)荷葉的水平速度是(3)按照題目要求，青蛙要離開荷葉，即青蛙相對(duì)荷葉中央的位移必須滿足條件8/10/202269山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽容易求出進(jìn)而利用 整理給出關(guān)系求出青蛙豎直速度滿足的條件(4)把(2)(4)代入(1)式，得到青蛙做功的限制(5)進(jìn)一步利用公式 ，改寫(5)式 8/10/202270山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽(6)因此青蛙能夠跳出荷葉，所做的功至少應(yīng)是(2)如果青蛙由所在荷葉中央起跳，剛好落在緊挨著的另一片完全相同的荷葉中央，隨之一起向前滑動(dòng)，試求機(jī)械能損失與青蛙所做功的

18、比值。8/10/202271山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【解2】設(shè)青蛙起跳后瞬間相對(duì)水面的速度v,豎直分量與水平分量之夾角為q.則可以利用拋體公式處理射程問題。到達(dá)另一片完全相同荷葉的中央，水平射程是由此求出起跳時(shí)速率的表示(1)青蛙起跳時(shí)與荷葉系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒(2)8/10/202272山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽設(shè)青蛙跳到另一片荷葉中心后，兩者具有共同的水平速度V，再次利用水平方向動(dòng)量守恒得到(3)青蛙起跳時(shí)做的功是(4)青蛙的機(jī)械能損失是分別代入(2)(3)(4),得到8/10/202273山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽進(jìn)一步求出比值是因?yàn)樗赃@個(gè)比值的范圍是8/10/202274山東大學(xué)

19、劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【例題】如圖一輛以速度v0運(yùn)動(dòng)的車子A撞上一輛靜止的車子B，碰撞后兩車一起運(yùn)動(dòng)直至停止，歷時(shí)10秒。在這個(gè)過程中原來(lái)放在車子B車尾的1米長(zhǎng)的物塊剛好移動(dòng)到車A的車頂。已知兩車質(zhì)量相等，物塊的質(zhì)量是一個(gè)車子質(zhì)量的1/140，物塊與車頂?shù)哪Σ料禂?shù)是車與地面摩擦系數(shù)的69倍，求車A初始速度v0多大？ABv0CABCv8/10/202275山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【分析與解答】車子A與發(fā)生完全非彈碰撞，可以忽略一切常規(guī)力；利用動(dòng)量守恒解決。AB碰撞瞬間作為一個(gè)整體運(yùn)動(dòng)，而物塊C相對(duì)車子發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，在時(shí)間t1內(nèi)相對(duì)滑動(dòng)停止，物塊恰好移動(dòng)到車子A的前端。利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)解決。A、B、C三

20、者作為整體向前繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，在摩擦阻力作用下，逐漸減速直到停止，這段時(shí)間為t2.且總的時(shí)間是t=t1+t2=10s.8/10/202276山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽A與發(fā)生完全非彈碰撞，設(shè)共同速度為v.動(dòng)量守恒給出兩者向前運(yùn)動(dòng)的速度(1)設(shè)物塊質(zhì)量為m,車的質(zhì)量M=140m,車子與地面之間的摩擦系數(shù)為m,物塊與車之間的摩擦系數(shù)為m1,則m1=69m.兩車在地面及物塊向后的摩擦力作用下的減加速度是(2)8/10/202277山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽按牛頓三定律物塊受到車子向前的摩擦力，相對(duì)地面的加速度是(3)而物塊相對(duì)車子的加速度則是(4)物塊在這個(gè)相對(duì)加速度下做勻變速運(yùn)動(dòng)，在t1時(shí)間內(nèi)速度變?yōu)榱?/p>

21、，通過的距離為l=1m.可以利用運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系求解。首先給出箱子相對(duì)車子的初、末速度。初速度就是車子相對(duì)地面速度，但方向相反，末速度為零停止。ff1f1v8/10/202278山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽l=1m利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式(5)以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式 ,求出(6)相對(duì)車的物理量經(jīng)過t1時(shí)間后，箱子相對(duì)車子靜止，此時(shí)兩車(以及物塊)相對(duì)地面的速度v1，在這個(gè)時(shí)間內(nèi)由運(yùn)動(dòng)學(xué)給出由(1)式得到物塊的初速度8/10/202279山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽由t1時(shí)刻起，三者以初速度v1在地面摩擦力作用下做減速運(yùn)動(dòng)，直到經(jīng)過t2時(shí)間停止。加速度是(8)(9)利用關(guān)系 代入數(shù)據(jù)求出利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出(10)(7)8/

22、10/202280山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【解2】據(jù)前分析，得到AB碰撞后共同速度為(1)由此開始，車AB一起向前運(yùn)動(dòng)，箱子C則向左相對(duì)滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過10秒時(shí)間三者都停止。在這個(gè)過程中，箱子與車之間摩擦力做功損耗能量，這個(gè)摩擦力做功的數(shù)值為m1mgl,另一方面系統(tǒng)受到地面摩擦力作用同樣損耗能量，這個(gè)地面摩擦力作用時(shí)間是t=10s.可以看成系統(tǒng)受到一個(gè)沖量作用：m(2M+m)gt 設(shè)箱子與車之間摩擦力做功使得三者的速度減少為v1，得到關(guān)系(2)8/10/202281山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽系統(tǒng)此時(shí)具有的動(dòng)量是 在地面摩擦力沖量作用下最后變?yōu)榱?，按沖量定理得到(3)利用以上3式可以求出與m有關(guān)

23、的初速度事實(shí)上，以上3個(gè)方程包括4個(gè)量:v、v0、v1與m，顯然需要進(jìn)一步列出有關(guān)方程。利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系得到則問題全部解決。8/10/202282山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【例題】如圖所示，固定的半徑R豎直放置的圓環(huán)，有一個(gè)質(zhì)量m的珠子套在圓環(huán)上，兩者之間摩擦系數(shù)為m.初始時(shí)珠子位于圓環(huán)的最低點(diǎn)P，在一個(gè)附加的切向力作用下，以不變的速度v從P點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)Q。求該過程中摩擦力做的功。PQm【分析與求解】質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持恒定速率v，做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是重力mg與支持力N兩者合力提供，因此N的大小與方向與圓周運(yùn)動(dòng)的速度有關(guān)。8/10/202283山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽mgN ANPQxB

24、OqBq設(shè)如圖，珠子在任意q處，受到重力mg以及正壓力N作用，則有方程(1)上式中余弦函數(shù)cosq會(huì)取負(fù)值，如果珠子的速率v足夠大，環(huán)對(duì)珠子的支持力N的方向始終指向圓心。如果珠子的速率v不是足夠大，可能出現(xiàn)N=0的位置qB,繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N會(huì)改變方向，方向背離圓心。這個(gè)速率的臨界值可由在最高點(diǎn)Q處的N=0來(lái)確定。8/10/202284山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽mgN ANPQxBOqBq在最高點(diǎn)Q處正壓力N=0，則有(2)設(shè)珠子的速率滿足條件利用(1)式求出N=0的位置qB如圖所示(3)當(dāng)珠子由p到B的運(yùn)動(dòng)過程中，利用(1)式的N表示式得到摩擦力通過任意小位移DS摩擦力做的功是8/10/20

25、2285山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽qDqDsDx利用基本幾何關(guān)系得到珠子由q=0到q=qB摩擦力做的功利用了基本關(guān)系進(jìn)一步計(jì)算珠子由qB到Q時(shí)摩擦力做的功，此時(shí)N改變符號(hào)，但摩擦力仍然與運(yùn)動(dòng)方向相反。(4)8/10/202286山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽(5)利用以上(4)(5)以及(3)得到摩擦力做的總功為(6)對(duì)于另外一種情況，中間不存在N=0的點(diǎn)，則摩擦力做的總功是8/10/202287山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【例題】質(zhì)量很大的車廂相對(duì)地面以速度v0勻速運(yùn)動(dòng)，車廂內(nèi)一半徑為R的固定光滑的半圓柱面，頂部有一個(gè)質(zhì)量為m的物塊，開始時(shí)靜止，因?yàn)槭艿揭粋€(gè)擾動(dòng)，物塊在圖示平面內(nèi)下滑，直到離開柱體

26、，試求在此過程中圓柱面支持力N對(duì)物塊所做的功。Rqvm8/10/202288山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【分析與解】在車廂慣性參考系，支持力始終與物塊位移垂直，因此支持力也不做功。應(yīng)該在地面參考系考慮做功問題。首先在車廂慣性參考系求解物塊離開圓柱時(shí)的位置與速度。此位置支持力為零。機(jī)械能守恒與圓周運(yùn)動(dòng)方程為(1)解出物塊脫離圓柱時(shí)的夾角與相對(duì)車廂的速度是(2)8/10/202289山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽qv0設(shè)物塊向右滑動(dòng)脫離圓柱。物塊相對(duì)地面的速度為V，則有關(guān)系(4)利用功能原理得到物塊能量的改變，即支持力做的功(5)聯(lián)立以上5式，得到(6)V如果物塊向左滑動(dòng)離開圓柱體，則8/10/2022

27、90山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽x0 xAyzEOq 【例題】如圖所示，xy平面是絕緣、剛性平面，坐標(biāo)軸Oz軸豎直向上.在A(x0,0,0)處一帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn),電荷量為-q.外加均勻電場(chǎng)強(qiáng)度為E的電場(chǎng),E與x軸垂直,與z軸夾角為q。質(zhì)點(diǎn)用一穿過坐標(biāo)原點(diǎn)O的細(xì)線牽引，質(zhì)點(diǎn)與剛性平面的動(dòng)摩擦系數(shù)與靜摩擦系數(shù)都為mtgq,不計(jì)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。質(zhì)點(diǎn)在剛性平面上緩慢的移動(dòng)，任何時(shí)刻都可以認(rèn)為處在力平衡狀態(tài)。質(zhì)點(diǎn)的軌道是一條二次曲線,求出這條二次曲線的方程。8/10/202291山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽x0 xAyzEOq【分析力】質(zhì)點(diǎn)在電場(chǎng)力F、細(xì)繩拉力T、摩擦力f以及剛性面支持力N共同作用下在剛性平面上作力

28、平衡下緩慢運(yùn)動(dòng)。其中被動(dòng)力摩擦力的方向與速度方向相反（即軌道的切線方向),由此可以得到質(zhì)點(diǎn)的軌道方程。把均勻電場(chǎng)投影到y(tǒng)、z方向，如圖得到關(guān)系(1)8/10/202292山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽x0 xAzEOqy 質(zhì)點(diǎn)受到的摩擦力與N有關(guān)，正好與電場(chǎng)力相等，表成為 摩擦力的方向決定于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向。 質(zhì)點(diǎn)受到電場(chǎng)力分解到y(tǒng)、z方向(2)在z方向還受到桌面向上的支持力N作用，與電場(chǎng)力相平衡，得到關(guān)系(3)8/10/202293山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 質(zhì)點(diǎn)在電場(chǎng)分力Fy,摩擦力f以及細(xì)繩拉力T作用下在Oxy平面緩慢運(yùn)動(dòng)。任意時(shí)刻三個(gè)力相互平衡，如圖所示受力平衡方程為 (4) 整理(4)式得

29、到關(guān)系(5)注意到摩擦力f的大小與電場(chǎng)力Fy的大小相等,(5)式化成為該方程的解是(6)舍去T=0的無(wú)意義解。xyfFyTf8/10/202294山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽考慮到夾角范圍 則(6)式的 把這個(gè)結(jié)果代入(4)中，得到摩擦力的表示因?yàn)槟Σ亮κ冀K沿著軌道的切線方向，因此(8)式給出了軌道切線方向的斜率。由此可以得到軌道方程。下面做出討論，給出質(zhì)點(diǎn)軌道方程是園。(7)進(jìn)一步求出(8)8/10/202295山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 當(dāng)f=p/2時(shí)，與Oy軸對(duì)應(yīng)。k=,一般情況是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上后，沿著y軸運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)O,這不是二次曲線軌道，與題意不符。因此必定是軌道在坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與

30、x軸垂直。討論：當(dāng)f=0時(shí)，對(duì)應(yīng)圖中OA線，即開始的起點(diǎn)。k=,即在起點(diǎn)A時(shí)，軌道的切線與x軸垂直。xyAO8/10/202296山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽二次曲線中，曲線上兩點(diǎn)切線相互平行(與x軸垂直)，只能是園或橢圓。而A、O兩點(diǎn)的切線與連線AO垂直，因此連線ox坐標(biāo)軸就是軌道曲線的軸線，另一軸線在OA的垂直平分線上且與oy軸平行，二次曲線與這個(gè)軸線交點(diǎn)的切線斜率為0。由(8)式得夾角(9)因此軌道曲線是園。其方程是xyAO8/10/202297山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 【例題】如圖所示,帶正電小球質(zhì)量為0.10kg,電荷量為810-4C.從水平地面上A點(diǎn)以與x軸正方向成300夾角的初速

31、度v0拋出(v0位于Oxy豎直平面內(nèi)),小球到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)(最高點(diǎn)位于Oy軸上),在全空間立刻產(chǎn)生一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)E,強(qiáng)度為2.50103N/C,方向平行與Oxy平面,且與x軸負(fù)方向成q夾角,當(dāng)帶電小球再次通過y軸時(shí),勻強(qiáng)電場(chǎng)立刻消失,試分析討論當(dāng)夾角q改變時(shí)(0q1800 ),帶電小球的運(yùn)動(dòng)情況,并畫出帶電小球在各種情況下的運(yùn)動(dòng)軌跡略圖。 A30 xyqB8/10/202298山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 【分析】帶正電小球到達(dá)最高點(diǎn)加入勻強(qiáng)電場(chǎng)后，受到兩個(gè)力作用，重力mg與電場(chǎng)力qE,由于電場(chǎng)力在x與y方向的分量與q角有關(guān)系。按照提供的數(shù)據(jù)得到小球自B點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，初始速度是小球在電場(chǎng)區(qū)受到的力分

32、別是8/10/202299山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【1】當(dāng)電場(chǎng)力y分量與重力相等： ，按照題設(shè)具體數(shù)據(jù)，要求q=300,帶電小球僅受到在x軸負(fù)方向的電場(chǎng)力作用 ，而小球在最高點(diǎn)B處具有x軸正方向的速度v0cosa,因此小球先沿著x軸正向勻減速運(yùn)動(dòng)，到速度為零時(shí)，再反向作初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)。到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)，電場(chǎng)消失，僅受重力作用，帶電小球作初速度-v0cosa的平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡與開始時(shí)相同，但運(yùn)動(dòng)方向相反。afxX方向加速度與最大位移分別是8/10/2022100山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【2】設(shè)夾角 ,小球通過最高點(diǎn)B后 電場(chǎng)力與重力滿足 ,小球在y方向受力與初速度是小球水平方向的初速度與

33、電場(chǎng)力是Bv0cosa可見在負(fù)y方向作加速運(yùn)動(dòng)，在x方向作減加速運(yùn)動(dòng)。按照兩個(gè)方向上能否同時(shí)到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)的不同情況，可以分成三種情況。8/10/2022101山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽在x方向往返一次回到坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)間是 滿足該條件時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)方向能夠同時(shí)到達(dá)O點(diǎn).豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)，到達(dá)y=0所需要的時(shí)間(1)（2）(1)令此兩式相等，得到夾角滿足的條件進(jìn)一步解出(3)(4)8/10/2022102山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽（2）當(dāng) 時(shí)， ,質(zhì)點(diǎn)先在y方向到達(dá)y=0,而x方向沒有到達(dá)x=0,因此質(zhì)點(diǎn)在O點(diǎn)右側(cè)到達(dá)x軸.（3)當(dāng) 時(shí)， ，如上述情況剛好相反，質(zhì)點(diǎn)已經(jīng)在x方向到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)，

34、在y方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，因此質(zhì)點(diǎn)在O點(diǎn)左側(cè)到達(dá)x軸。三種情況的圖像如下圖所示。(1)同時(shí)到達(dá)原點(diǎn)(2)先y后x到達(dá)原點(diǎn)(2)先x后y到達(dá)原點(diǎn)8/10/2022103山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【3】當(dāng)夾角在 范圍時(shí)，電場(chǎng)力y分量與重力滿足關(guān)系 。在y方向受力與初速度是在x方向受力與初速度是8/10/2022104山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽小球到達(dá)最高點(diǎn)B以后，在水平方向作減加速運(yùn)動(dòng)，直到速度為零后，在負(fù)x方向作加速運(yùn)動(dòng)。而沿著y軸正向一直作加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球到達(dá)y軸時(shí)，小球具有正y方向的速度以及負(fù)x方向的速度。小球開始作斜拋運(yùn)動(dòng)。Bx8/10/2022105山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【4】當(dāng)夾角在 范圍

35、時(shí)，帶電小球受到y(tǒng)軸正方向的電場(chǎng)力 作用，在x方向則受到正方向的作用力 作用。小球到達(dá)最高點(diǎn)B以后，在水平方向作加速運(yùn)動(dòng),在y軸正向作加速運(yùn)動(dòng)。8/10/2022106山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【5】當(dāng)時(shí)，受力與初速度分別是小球到達(dá)最高點(diǎn)B以后，在水平方向作勻加速運(yùn)動(dòng)。y方向不運(yùn)動(dòng)。8/10/2022107山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【6】當(dāng)夾角在范圍時(shí)，存在關(guān)系小球y與x方向受力與初始速度小球到達(dá)最高點(diǎn)B以后，在水平方向作加速運(yùn)動(dòng)，在y軸負(fù)向作加速運(yùn)動(dòng)。8/10/2022108山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽m1m2兩個(gè)小球都受到重力作用，它們之間又有彈性力作用，可以直接求解，也可以利用兩體方法求解

36、，為了相互比較，下面采取不同的辦法求解。 8/10/2022109山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽m1kxOlCm2建立實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系Ox，取豎直向下正，坐標(biāo)原點(diǎn)O與此時(shí)質(zhì)點(diǎn)m1的位置重合。首先求出質(zhì)心的初始位置.【解1】直接由牛頓第二定律求解求出兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)到質(zhì)心的距離分別是質(zhì)心在重力作用下做一維加速運(yùn)動(dòng)(1)（2）8/10/2022110山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽令(1)式中的 ，得到兩段彈簧的自然長(zhǎng)度分別是以質(zhì)心C為分界點(diǎn)，把連接質(zhì)點(diǎn)m1與m2的彈簧分成兩個(gè)等效的彈簧。設(shè)與小球m1與質(zhì)心之間的彈簧為k1,l10,m2與質(zhì)心之間的為k2，l20.設(shè)彈簧的原長(zhǎng)l0.系統(tǒng)平衡時(shí)滿足條件(3)系統(tǒng)處于靜止時(shí)

37、，已知彈簧的長(zhǎng)度為l,彈性力是8/10/2022111山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽另一方面在質(zhì)心系中,兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的彈性力分別是顯然它們是相等的，即由此得等效彈簧的勁度系數(shù)(4)首先計(jì)算質(zhì)點(diǎn)m2相對(duì)質(zhì)心的坐標(biāo)。建立質(zhì)心坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為C，正方向向下為正。m2相對(duì)固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)為x2,相對(duì)質(zhì)心的坐標(biāo)為8/10/2022112山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽已知質(zhì)心的加速度為重力加速度g，質(zhì)點(diǎn)m2受到重力m2g與彈性力m1CxCx2顯然滿足關(guān)系質(zhì)點(diǎn)m2在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中的加速度a等于質(zhì)心的加速度aC與相對(duì)質(zhì)心角速度的和按照牛頓第二定律整理后得到(5)利用了基本關(guān)系8/10/2022113山東大學(xué)劉希明輔

38、導(dǎo)物理競(jìng)賽這是諧振動(dòng)方程。諧振動(dòng)角頻率是方程的一般解是利用這兩個(gè)條件，定出 初始條件是重新寫出動(dòng)力學(xué)方程8/10/2022114山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽得到m2相對(duì)質(zhì)心的坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系是(6)m2相對(duì)實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系是（7）8/10/2022115山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽至于質(zhì)點(diǎn)m1相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程按照基本關(guān)系求出以及m1相對(duì)實(shí)驗(yàn)室的坐標(biāo)是8/10/2022116山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 折合質(zhì)量與諧振角頻率分別是是【解2】用兩體方法求解 取m1平動(dòng)坐標(biāo)系，取豎直向下為正方向的坐標(biāo)軸Ox，坐標(biāo)原點(diǎn)O與此時(shí)質(zhì)點(diǎn)m1的位置重合。有方程(1)（2）方程的一般解是 （3）8/1

39、0/2022117山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽運(yùn)動(dòng)的初始條件是 得到利用以上條件，求出最后得到滿足初始條件的特解(4)利用初始平衡條件8/10/2022118山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽(5)由此得到m1與m2相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程。進(jìn)一步得到它們?cè)趯?shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程。注意這里取的是m1平動(dòng)坐標(biāo)系，相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程成為而質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程在解法(1)中已經(jīng)求出。8/10/2022119山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽如圖,在均強(qiáng)磁場(chǎng)B區(qū)域有兩根足夠長(zhǎng)的固定的平行導(dǎo)線，在它們上面放著兩根平行導(dǎo)體棒，形成矩形回路。導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m,電阻都是 R 長(zhǎng)度均為 l,導(dǎo)體棒與平行導(dǎo)線之間的摩擦力忽略不計(jì)。開始時(shí)左棒

40、靜止，右棒以初速度 v0 向右運(yùn)動(dòng)，計(jì)算右棒向右的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。v0mRlbBa8/10/2022120山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽分析：右棒向右運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，產(chǎn)生逆時(shí)針方向的回路電流 I. 電流沿著 由下至上的方向流經(jīng)右棒，右棒產(chǎn)生方向向左安培力F1= IBl ，則右棒減速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而減少感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；電流經(jīng)左棒也產(chǎn)生安培力F2，其方向向右，左棒向右加速運(yùn)動(dòng)，由此產(chǎn)生與右棒相反的電動(dòng)勢(shì)，回路中總的電動(dòng)勢(shì)減少，電流隨之減少，又使得兩棒安培力減少；右棒減速趨緩，左棒加速也趨緩最后兩梆速度趨于一致，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)降為零，電流也為零。8/10/2022121山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 【解

41、】設(shè)某時(shí)刻右棒速度為v1,左棒的速度為 v2,方向皆向右；左棒受安培力 F2 方向向右，右棒受安培力 F1 方向向左兩者大小相等。v2v1F2 F1回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為(1)感應(yīng)電流強(qiáng)度是（2）右棒受安培力方向向左，大小是(3)8/10/2022122山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽在此力作用下，右棒做減速運(yùn)動(dòng),減加速度是左棒受安培力與右棒相同，但方向相反。左棒向右做加速運(yùn)動(dòng)，加速度是可見，兩棒加速度大小相同，但右棒速度減慢，左棒速度增大。隨著時(shí)間的推延，右棒速度v1不斷減少，左棒速度v2不斷增加。同時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)以及兩個(gè)棒受的力都隨著減少。當(dāng)兩棒速度相同時(shí)v1= v2，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零，安培力為零，兩棒

42、速度不再變化。(4)（5）8/10/2022123山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽把動(dòng)量守恒用于左、右棒任意速度時(shí)因?yàn)樽?、右棒受力等大反向，因此?dòng)量守恒。設(shè)兩棒速度相同時(shí)為v,則有關(guān)系 (7)(6)求出共同速度是 (9)(8)求出關(guān)系把(9)代入(4)中，得到方程(4)8/10/2022124山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽積分求出右棒速度隨時(shí)間的變化關(guān)系 (11)(10)8/10/2022125山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽按照兩體問題求解，折合質(zhì)量是m=m/2,作用內(nèi)力就是安培力 (1)相對(duì)速度是，在此力作用下，兩體運(yùn)動(dòng)方程是 (2)按照關(guān)系，得到初始時(shí)相對(duì)速度（3）積分(2)求出相對(duì)速度與時(shí)間的關(guān)系 (

43、4)8/10/2022126山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽進(jìn)而求出右棒相對(duì)質(zhì)心的速度右棒相對(duì)實(shí)驗(yàn)室的速度由質(zhì)心速度與相對(duì)質(zhì)心速度得到 這是完全相同的結(jié)果。（4）(5)8/10/2022127山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【例題】在一根較長(zhǎng)的絕緣輕質(zhì)彈簧的兩端各系一個(gè)帶正電的小球，彈簧的原長(zhǎng)為l0,彈性系數(shù)為k,兩個(gè)小球的質(zhì)量與荷電分別是m1、q1與m2、q2.整個(gè)空間外加均勻電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E。開始彈簧保持原長(zhǎng)，方向沿著電場(chǎng)強(qiáng)度方向，兩個(gè)小球靜止。試求加入電場(chǎng)后彈簧的最大長(zhǎng)度(忽略兩個(gè)小球之間的相互作用)。m1q1m2q2kloE質(zhì)心將做加速運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)小球相對(duì)質(zhì)心靜止或做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。可求出它們之間的距離

44、。8/10/2022128山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 【解】系統(tǒng)受到外力是電場(chǎng)力，兩個(gè)小球受到內(nèi)力是彈性力，解決這個(gè)問題可以用不同的方法。首先分析質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)受力是(1)質(zhì)心的加速度是(2)靜止平衡時(shí)質(zhì)心到兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的距離分別是（3）在質(zhì)心坐標(biāo)系中，兩根等效彈簧的彈性系數(shù)分別是(4)8/10/2022129山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 設(shè)兩球在質(zhì)心坐標(biāo)系中處于平衡位置時(shí)，其坐標(biāo)分別是x1與x2,其平衡方程分別是(5)Cx2x1由以上各式求出(6)對(duì)這個(gè)結(jié)果做出討論.(1)如果 ，兩個(gè)小球在質(zhì)心坐標(biāo)系中的坐標(biāo)就是原長(zhǎng)，因此兩個(gè)小球的最大距離就是l0,彈簧保持自然長(zhǎng)度。(2)如果 ，則8/10/2

45、022130山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽表明處于平衡位置的兩個(gè)小球，彈簧處于拉伸狀態(tài)。亦即兩個(gè)小球平衡位置處于原長(zhǎng)的外側(cè)。每個(gè)小球?qū)⒃谄胶馕恢酶浇骱?jiǎn)諧振動(dòng)，小球m1的振幅是x1-l10,能夠達(dá)到的最遠(yuǎn)點(diǎn)c到質(zhì)心的距離是2x1-l10.Cl10 x1aoc同樣分析m2的情況，得到最遠(yuǎn)點(diǎn)到質(zhì)心的距離是2x2-l20.求出兩個(gè)小球的最大距離及彈簧的最大伸長(zhǎng)是（7）8/10/2022131山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽(3)如果 ，則表明小球處于平衡位置時(shí)，彈簧處于壓縮狀態(tài)。平衡位置在初始位置的內(nèi)側(cè)。小球在此平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，能夠到達(dá)的離質(zhì)心C的最遠(yuǎn)距離就是初始位置到質(zhì)心的距離l10與l20,因此彈

46、簧的最大伸長(zhǎng)是原長(zhǎng)l0.Cl10 x1oca8/10/2022132山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 【例題】?jī)蓚€(gè)完全相同的球面擺，一個(gè)栓在另一個(gè)的下面。兩個(gè)擺球各自在一個(gè)水平面內(nèi)做角速度相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)兩根擺線與豎直方向的夾角都很小，而且在運(yùn)動(dòng)過程中兩根擺線始終保持在同一個(gè)豎直平面內(nèi)。在小角度近似下求此雙擺系統(tǒng)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度以及半徑的比例?！窘狻咳鐖D設(shè)擺長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m,圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為w,擺線與豎直方向的夾角分別為a與b,上下擺線的張力分別為T1與T2。小球還受到重力作用。則滿足方程8/10/2022133山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽abT1mgT2mg第一種情況 (1)上面的質(zhì)點(diǎn)力平

47、衡方程與圓周運(yùn)動(dòng)方程下面質(zhì)點(diǎn)力平衡方程及圓周運(yùn)動(dòng)方程是(2)上、下小球圓周運(yùn)動(dòng)半徑是8/10/2022134山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽由方程(2)消去張力T2，得到關(guān)系(3)聯(lián)立方程(1)(2)消去張力T1與T2，得到關(guān)系(4)考慮到小角度近似因?yàn)橐蠼嵌萢、b都不為零，由(5)兩式分別解出由此(3)(4)寫成(5)8/10/2022135山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 上式右邊兩項(xiàng)相等，進(jìn)一步化成由此解出角速度是把其中的 代入(5)式，得到夾角之間的關(guān)系 (6)這是圖1所示的兩個(gè)夾角都大于零的情況。(7)8/10/2022136山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽利用這個(gè)角度關(guān)系(7)，可以進(jìn)一步求出上下

48、兩個(gè)小球圓周運(yùn)動(dòng)半徑之間的關(guān)系。(8)對(duì)于(6)式的另一個(gè)解 同樣代入(5)式求出夾角是按照相同的辦法求出兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)半徑之間的比值是(9)(10)8/10/2022137山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽ab這個(gè)結(jié)果b20表明如圖所示的物理圖像。需要進(jìn)一步從動(dòng)力學(xué)角度分析。按照同樣的分析寫出圖示的動(dòng)力學(xué)方程。 可見只有取b0就得到第一種情況的方程。因此這種情況也是動(dòng)力學(xué)允許的可能情況。8/10/2022138山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽事實(shí)上，直接由(5)式出發(fā)(5)可以直接求出夾角之間的關(guān)系進(jìn)而求出圓周運(yùn)動(dòng)半徑之間的比值。8/10/2022139山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 【例題】單擺擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺球

49、質(zhì)量為m,從左側(cè)與豎直方向夾角a處?kù)o止下擺，在右側(cè)與懸點(diǎn)相距r、與豎直方向夾角b(b0，代入上式，求出初始角度a滿足的條件是(4)【解】(2)討論小球能夠擊中釘子Q的條件。 設(shè)小球初始繞釘子Q做半徑L-r的圓周運(yùn)動(dòng)。在夾角為q0時(shí)張力為零，速度為v0。v0由下式給出(5)8/10/2022142山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽小球由此位置開始做斜拋運(yùn)動(dòng)，其初始速度分量分別為(6)v0Qq0L-r釘子Q在圖示坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是設(shè)在t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)與釘子相碰，則兩者的坐標(biāo)重合(7)8/10/2022143山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽由此兩式消去時(shí)間t,解出（8）聯(lián)立(5)與(8)得到取為進(jìn)一步討論初始夾角a滿足什

50、么條件，恰使小球與釘子相碰。把(9)式代入張力表示式(3)中，并令張力為零。(9)8/10/2022144山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽化整為求出兩者能夠相碰時(shí)初始角度為(10)8/10/2022145山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 【例題】如圖所示，固定的圓柱體半徑R，一足夠長(zhǎng)的細(xì)繩長(zhǎng)度L由圓柱體頂端A與質(zhì)量m的小球P聯(lián)結(jié)（L2pR)。小球P與圓柱體頂端A處在同一水平面上，細(xì)繩張緊。小球由此開始自由下落。下落過程中細(xì)繩與圓柱體相切于Q點(diǎn)。(1)求小球在軌跡最低點(diǎn)時(shí)的速度；(2)求繩子張力為零時(shí)小球的位置以及其他位置時(shí)張力的符號(hào)；(3)進(jìn)一步計(jì)算張力為零后運(yùn)動(dòng)過程中小球達(dá)到最高位置時(shí)的速度。為了便于計(jì)

51、算，各量滿足關(guān)系A(chǔ)RpA8/10/2022146山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 PARqyQR(1-cosq)ssinq 【解】設(shè)某時(shí)刻小球連線與圓柱面切點(diǎn)為Q，半徑OQ與PQ垂直，設(shè)與OQ與y軸夾角q,弧QA長(zhǎng)度為Rq,設(shè)PQ的長(zhǎng)度為s，則滿足關(guān)系(1) 運(yùn)動(dòng)過程中,Q點(diǎn)做以O(shè)為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為Rw,由(1)知細(xì)繩縮短的速度大小也就是Rw。設(shè)小球的速度為v,其方向與QP垂直。取A點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，小球由靜止開始自由下落，則圖示位置的勢(shì)能為Ov8/10/2022147山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽機(jī)械能守恒得到方程(2)當(dāng)qp/2時(shí),小球達(dá)最低位置。由(2)、(1)求出此時(shí)的速度為(3)(2)計(jì)

52、算小球在運(yùn)動(dòng)中受到繩子的張力T.由(2)式求出小球一般位置時(shí)的速度是此時(shí)小球做以Q為圓心，半徑為s的圓周運(yùn)動(dòng)。小球受到繩子的張力T以及重力mg的作用，滿足方程(4)8/10/2022148山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽Tmgq把速度表達(dá)式(4)式代入上式，得到張力的表達(dá)式利用了基本公式再利用基本關(guān)系(1)式,上式張力又改寫為Q8/10/2022149山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽(5)利用題設(shè)基本量滿足的條件令(5)式的張力T=0，求出此時(shí)的臨界角利用附加條件求出臨界角(6)8/10/2022150山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽為了計(jì)算一般位置q 時(shí)T的大小，引入張力(5)式表示成 這是一個(gè)超越方程，可以

53、利用曲線相交方法求解T=0的解。Qp張力T=0vs8/10/2022151山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽y1y2qs0p/2p3p/22p角度范圍y1-y2sinqT符號(hào)+-+0-0+-曲線y1與y2的交點(diǎn)給出T0的角度qs=9p/8,在其它角度q時(shí)張力的符號(hào)還與sinq有關(guān)，右表給出相應(yīng)的結(jié)果。 由表可以看出，在范圍qsqR,如果此后擺球m運(yùn)動(dòng)過程中細(xì)繩始終保持伸直，給出比值a=D/L的極小值。不計(jì)滑動(dòng)摩擦力作用。MmLAhR8/10/2022157山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽mPQAOMhDq如圖所示。設(shè)OA與OQ之夾角為q,PQ長(zhǎng)度為s,初始時(shí)重物離切點(diǎn)高度為h,而細(xì)繩長(zhǎng)度不變，有關(guān)系s(1)

54、 利用關(guān)系DaL,為方便，令l=L-D,則有(2) 重物M下降距離D后停止運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取最高點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，用E表示擺錘獲得的機(jī)械能，則8/10/2022158山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽顯然擺錘的機(jī)械能是(3)這個(gè)能量包括擺錘的動(dòng)能與勢(shì)能(4)求出擺錘的速度是(5)而擺錘做以Q為圓心，做半徑s的圓周運(yùn)動(dòng)，滿足方程是 (6)8/10/2022159山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽把(5)式代入(6)求出張力的表示(7)按照細(xì)繩始終伸直的要求，在任何位置張力都大于零。由此討論滿足的條件，為此引入函數(shù)(8)利用已知條件： ，上式成為(9)其中8/10/2022160山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 由(

55、9)式可以看出f(q)的極小值是(10)把(10)代入張力表示式(7)中，得到張力恒大于零的條件是(11)移項(xiàng)后化成為8/10/2022161山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽進(jìn)一步利用條件： ，上式的(12)得到張力恒大于零的關(guān)系把l=L-D=L(1-a)代入上式右邊，得到由此不等式得到比值a滿足的條件是(13)8/10/2022162山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽可見比值a=D/L的極小值是(14)8/10/2022163山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【例】圓錐擺。擺長(zhǎng)l,擺球質(zhì)量m,繞豎直轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角速度為w，求繩子與鉛直方向之夾角a與角速度之間的關(guān)系。malwmgTa分析力重力mg，張力T8/10/20

56、22164山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽列出方程可以求出討論：當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度w很小時(shí)，使得g/lw21，導(dǎo)致cosa而無(wú)意義！但無(wú)論w多么小，一定存在確定的a！問題的原因是(1)式兩邊除了可能為零的sina!(1)(2)8/10/2022165山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽方程(1)應(yīng)該寫成方程的解還包括結(jié)合(2)式得到三個(gè)平衡位置8/10/2022166山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽進(jìn)一步討論三個(gè)平衡位置的穩(wěn)定性.研究擺球受力：繩子的張力T、重力mg以及慣性離心力把以上各力在切向投影,表成mgTaaa利用該式判斷出在三個(gè)平衡點(diǎn)附近上式的符號(hào)?？梢缘玫綌[球夾角a稍微偏離平衡位置時(shí)受到的力是否加大偏離(不穩(wěn)定

57、）或減少偏離（穩(wěn)定平衡位置）8/10/2022167山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽 a0-0+p-p+_+_+_+可以看出：對(duì)于第一種情況在a=0附近，夾角減少時(shí)力為負(fù)的，促進(jìn)進(jìn)一步減少，夾角增加時(shí)力為正的，同樣促進(jìn)進(jìn)一步加大，因此不是穩(wěn)定平衡位置！8/10/2022168山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽mgTaaa總之得到穩(wěn)定平衡位置是當(dāng)當(dāng)8/10/2022169山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽方程 中夾角與角速度的關(guān)系畫出cosa關(guān)于w的曲線,可以得到 cosaw當(dāng) 時(shí),唯一的穩(wěn)定解是a=0.當(dāng) 時(shí),存在兩個(gè)可能的解.但a=p是不穩(wěn)定的，另一個(gè)解是穩(wěn)定的。108/10/2022170山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理

58、競(jìng)賽【例題】如圖，質(zhì)量為m的物塊置于傾角q的固定斜面上，物塊與斜面之間的摩擦系數(shù)m，mL0時(shí)，靜摩擦力f0方向向下；L0方向向上。amgNL0(3)8/10/2022178山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽（2) LL0:如果L偏離L0開始減少，由(4)式得N也隨著減少，導(dǎo)致Ncosamg,小環(huán)有下滑趨勢(shì)，產(chǎn)生沿著桿向上的靜摩擦力f，且f隨著L的減少而增大，保證N與f的豎直分力與重力mg平衡(2)式成立。隨N變少引起f增大，必然使得(1)中的向心力 減少，但圓周運(yùn)動(dòng)半徑 也減少，能夠因此能夠維持穩(wěn)定圓周運(yùn)動(dòng)。隨著L的繼續(xù)減少到L1時(shí)，靜摩擦力取得極大值，小環(huán)開始滑動(dòng)，此時(shí)摩擦力為mN。L減少,N減少,

59、靜摩擦力f方向向上且隨著增大。8/10/2022179山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽把 代入(3)(4)中求出這個(gè)極限位置L1是wamgNfL0 (5)(3)當(dāng)L繼續(xù)減少到LL0情況，當(dāng)L偏離L0增大時(shí)，由(4)式得N也隨著增大，導(dǎo)致Ncosamg,小環(huán)有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)，產(chǎn)生沿著桿向下的摩擦力，此時(shí)N與f的豎直分力一起與重力mg平衡, N與f的水平分力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力。當(dāng)?shù)竭_(dá)極限位置L2時(shí)，靜摩擦力變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦力f=-mN。8/10/2022181山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽把 代入(3)(4)中求出這個(gè)極端位置L2是(6)(5) 當(dāng)L繼續(xù)增大到LL2時(shí)， N也繼續(xù)增大，最大靜摩擦力f=-mN也增

60、大，但方向向下。此時(shí)N與f的豎直分力小環(huán)將繼續(xù)上滑，運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定 由此得到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的范圍是 (7)8/10/2022182山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽fLL0LL2后小環(huán)上滑L1L28/10/2022183山東大學(xué)劉希明輔導(dǎo)物理競(jìng)賽【分析】(1)如果小球沒有自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，由高h(yuǎn)處落地時(shí)速度 經(jīng)過極短的時(shí)間 在地面沖擊力N的作用下，速度改變方向,速度大小為 依次反復(fù)，最后速度為零?！纠}】實(shí)心剛性小球質(zhì)量m,半徑R，置于高h(yuǎn)處初始速度為零，但以角速度w0自轉(zhuǎn)，在重力作用下自由下落，與地面碰撞的恢復(fù)系數(shù)為e,摩擦系數(shù)為m。(1) 計(jì)算小球與地面碰撞后質(zhì)心的速度及自轉(zhuǎn)角速度。(2)小球第一、二次落地點(diǎn)之間的