湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高一下學期期末考試數(shù)學試題Word版含解析

1、湖南省長沙市長郡中學 2019-2020學年下學期期末考試高一數(shù)學試題 TOC o 1-5 h z 、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.兩數(shù)J2 1與J2 i的等比中項是（）1A. 1B. 1C. 1D.2【答案】C【解析】試題分析：設兩數(shù)的等比中項為x x2J2 1 J2 1 1 x 1 ,等比中項為-1或1考點：等比中項.如果b a 0,那么下列不等式錯誤的是（）22A. a bB. a b 0D. b aC. a b 0利用不等式的性質(zhì)或比較法對各選項中不等式的正誤進行判斷2. 2b a 0, ab0,ab04Ua ba b a b 0,a2 b2,可得出 b

2、 a ,因此，A選項錯誤，故選：A.【點睛】本題考查判斷不等式的正誤，常利用不等式的性質(zhì)或比較法來進行判斷，考查推理能力，屬于基 礎題.袋中有9個大小相同的小球，其中 4個白球，3個紅球，2個黑球，現(xiàn)在從中任意取一個，則取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為（A. 9B.D.【分析】 利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率【詳解】從袋中9個球中任取一個球，取出的球恰好是一個紅色或黑色小球的基本事件數(shù)為5,5因此，取出 球恰好是紅色或者黑色小球的概率為5,故選：D.9【點睛】本題考查古典概型概率的計算，解題時要確定出全部基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù),并利用古典概型的概率公式進行計

3、算，考查計算能力，屬于基礎題A. 14.若經(jīng)過兩點A 4,2 y-1、B的直線的傾斜C. 0y的值.由直線AB的傾斜角得線 AB的余出1,再不3【詳解】由于直線 A4選:3y 2,則y等于（ 41 2y 1由斜率公式得匕丁率公式B該直線的斜率為tanD.【點睛】本題考查利用斜率公式求參數(shù)，同時也涉及了直線傾斜角與斜率之間的關系，考查計算能力,屬于基礎題5.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是（）.y【答案】A【解析】試題分析：由斜二測畫法的規(guī)則知與 x軸平行或重合的線段與 x軸平行或重合，其長度不變，與y軸平行 或重合的線段與x軸平行或重合，其長度

4、變成原來的一半，正方形的對角線在 y軸上，可求得其長度為，故在平面圖中其在 y軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼?2倍，長度為2Q ,觀察四個選項，A選項符合題意.故 應選A.考點：斜二測畫法。點評：注意斜二測畫法中線段長度的變化。.在等差數(shù)列 an中，a3 a9 24 a5 a7，則a6()A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】 【分析】利用等差中項的性質(zhì)得出關于a6的等式，可解出a6的值.【詳解】由等差中項的性質(zhì)可得a3 a9 a5 a7 2a6,由于 a3a24aa7,即 a3a24& a7，即 2a6242a6,解得 a 6 ,故選：B.【點睛】本題考查等差中項性質(zhì)的應用，解題時充

5、分利用等差中項的性質(zhì)進行計算，可簡化計算，考查運 算能力，屬于基礎題. TOC o 1-5 h z .半徑為R的半圓卷成一個圓錐，它的體積是（）A.-3R3B.3R3C.6LR3D.-6R3248248【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長等于半圓弧長可計算出圓錐底面圓半徑r ,由勾股定理可計算出圓錐的高h Jr2 r 2 ,再利用錐體體積公式可計算出圓錐的體積【詳解】設圓錐的底面圓半徑為r ,高為h,則圓錐底面圓周長為 2 rh 病7、卜二 在R， .22所以，圓錐的體積為 V 1 r2h 133R2 1r魚R3故選：A. 2224【點睛】本題考查圓錐體積的計算，解題的關鍵就是要計算

6、出圓錐底面圓的半徑和高，解題時要從已知條 TOC o 1-5 h z 件列等式計算，并分析出一些幾何等量關系，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題.一 一，、2._ 一.不等式x 3x 0的解集為（）A.x0 x3B.x3x0或 0 x 3C.x 3 x 0d.x3x3【答案】B【解析】【分析】,， 一，、r 一、，2-一將不等式表布為 x 3 x 0,得出0 x 3,再解該不等式可得出解集.【詳解】將原不等式表示為x2 3 x 0,解得0 x 3,解該不等式可得3 x 0或0 x 3.一，.2_一一 ,、.一因此，不等式x 3x 0的解集為x 3 x 0或0 x 3，故選：B.【點睛】本題

7、考查二次不等式的解法與絕對值不等式的解法，考查運算求解能力，屬于中等題9.在各項均為正數(shù)的數(shù)列an中，對任意m,n N都有am n aman.若a6 64,則a等于（）D. 1024A. 256B. 510C. 512【答案】【解析】依題意可得，a6 a3 a3 64，則a38因為數(shù)列 4的各項均為正數(shù)，所以 a3 8所以 a9 a6 a364 8 512 ,故選 CA.10.同時擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和為5的概率為（B.D.112【解析】同時擲兩枚骰子點數(shù)有 36個結果，其中點數(shù)和為5有（1, 4）, （4, 1）, （2, 3）, （3, 2）共有4種結果,所以概率為4/36=1/911.

8、正四面體 ABCD中，E是AB的中點，則異面直線 CE與BD所成角的余弦值為（）A.B.C.D. 3取AD中點F ,通過中位線平移 BD可得到所求角為FEC ,利用余弦定理可求得所求角的余弦值【詳解】取AD中點F ,連接EF,CFEF/BD：E,F分別為AB,AD中點異面直線CE與BD所成角即為EF與CE所成角 FEC設正四面體棱長為 a TOC o 1-5 h z CE CF Ja2 1a2 也a , EF 1a ,422EF2 CE2 CF2.3cos FEC 2EF CE 6即異面直線CE與BD所成角的余弦值為：36本題正確選項：D【點睛】本題考查求解異面直線所成角的問題，關鍵是能夠通過

9、平移找到所求角，再結合解三角形的知識 求解得到結果.2_112.已知直線 li ：3x a 1 y 2 0, I2 : x a 1 y a 0 ,若 liL 則 a 的值為（ 3A. a 1或 a 2B. a 1C. a 2D. a 2【答案】B由兩直線平行的等價條件列等式求出實數(shù)a的值.,3 a 1 a2 11i/12,則1，整理得3 a 23a 3a 2 0,解得a 1,故選：B.a 2【點睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)的值，解題時要利用直線平行的等價條件列等式求解，一般是轉(zhuǎn) 化為斜率相等來求解，考查運算求解能力，屬于基礎題 1213.在數(shù)列 an中，若a11, a2 -,2 an i1

10、1n anan 21N，設數(shù)列bn滿足log 2 bn一則bn的前n項和Sn為（）A. 2n 1B. 2n 2【答案】D【解析】【分析】Cn 1n 1.21D. 22，1，,1，1,利用等差中項法得知數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)已知條件可求出等差數(shù)列的首項與公差,anan由此可得1出數(shù)列 一 的通項公式，利用對數(shù)與指數(shù)的互化可得出數(shù)列 anbn的通項公式，并得知數(shù)列bn為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前 n項和公式可求出 Sn.【詳解】由2an 1anan 21可得 an 111an an 21an 1 TOC o 1-5 h z 11 _ .11_.可知一是首項為一.1,公差為一一211的等差數(shù)列,anaa

11、2a11-1.1i所以一 n,即an.由log2 bn-n ,可得bn2,annan所以，數(shù)列bn是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列,因此，數(shù)列 bn的前n項和為S2 1 2n1 22n 1 2，故選：D.【點睛】本題考查利用等差中項法判斷等差數(shù)列，同時也考查了對數(shù)與指數(shù)的互化以及等比數(shù)列的求和公 式，解題的關鍵在于結合已知條件確定數(shù)列的類型，并求出數(shù)列的通項公式，考查運算求解能力，屬于中 等題.14.若滿足條件C 60, AB 而 BC a的三角形ABCt兩個，那么a的取值范圍是（）A. 1, .2B.e.3C. 3,2D. 1,2【解析】 【分析】利用正弦定理，用a表示出sinA,結合C的

12、取值范圍，可知 A 60：,120；根據(jù)存在兩個三角形的條件, 即可求得a的取值范圍。 TOC o 1-5 h z AB BCa【詳解】根據(jù)正弦定理可知AB- -BC，代入可求得sin A asin C sin A2因為 C 60 ,所以 A 60：,120；若滿足有兩個三角形 ABC則-I a 1 HYPERLINK l bookmark137 o Current Document 22所以 a 、. 3,2所以選C【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的簡單應用，判斷三角形的個數(shù)情況，屬于基礎題。15.曲線 M M 1與過原點的直線l沒有交點，則l的傾斜角的取值范圍是（） HYPERLIN

13、K l bookmark19 o Current Document 3、3 HYPERLINK l bookmark119 o Current Document 一22八A. 0, B. ,C. ,D. 0,一3 “ 33 333【答案】A【解析】【分析】y|x作出曲線; 1 1圖形，得出各射線所在直線的傾斜角，觀察直線l在繞著原點旋車t時，直線l與曲線M Jxl i沒有交點時，直線l的傾斜角的變化，由此得出的取值范圍. HYPERLINK l bookmark98 o Current Document 3.3【詳解】當x 0, y 0時，由M M i得Y爺 1,該射線所在直線的傾斜角為 一；

14、3.33.33當x 0, 丫0時，由必 里 1得2 ? 1 ,該射線所在直線的傾斜角為 2-;3 .33 33。時，由”偏y 1,該射線所在直線的傾斜角為 3y作出曲線3皿由爍號31得太-1,該射線所在直線的傾斜角為 33 2-3x/31的圖象如下圖所示:由圖象可知，要使得過原點的直線i與曲線1沒有交點, 2 一，則直線l的傾斜角的取值范圍是 0,- J ,，故選：A.利用數(shù)形結合【點睛】本題考查直線傾斜角的取值范圍，考查數(shù)形結合思想，解題的關鍵就是作出圖形, 思想進行求解，屬于中等題二、填空題.y x.已知實數(shù)x,y滿足約束條件 x y 1,則目標函數(shù)z 2x y的最大值為 y 1【答案】3

15、【解析】【分析】y=-2 x ,平移該直線，當經(jīng)過點B時,畫不等式組表示的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃求范圍即可【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線,， y 1 m y 1 rr，z取得最大值，由，得，即B(2,-1),所以zmax2 2 ( 1) 3.x y 1 x 2故答案為：3【點睛】本題考查線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合思想，準確計算是關鍵，是基礎題.已知數(shù)列 an為等差數(shù)列，a7 a5 4, an 21 ,若Sk 9,則k 【答案】3【解析】【分析】設等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)已知條件列方程組解出a1和d的值，可求出S的表達式，再由Sk 9可解出k的值.【詳解】設等差數(shù)列a

16、7an的公差為d ,由a11212d 4a1 10d,解得21a112k N ,因此，k 3,故答案為：3.通常建立關于首項和公差的方程組求解，考查k k 12Skka1 d k k k 1 k 9,2【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和，對于等差數(shù)列的問題, 方程思想，屬于中等題.若過點P(2,3)作圓M ： x2 2x y2 0的切線l ,則直線l的方程為 【答案】4x 3y 1 0或x 2 0【解析】【分析】討論斜率不存在時是否有切線，當斜率存在時，運用點到直線距離等于半徑求出斜率【詳解】圓M : x2 2x y2 0即x當斜率不存在時，x 2為圓的切線當斜率存在時，設切線方程為 即 kx y

17、 2 kk 31 k2 m 4解得k 3此時切線方程為0 ,即 4x 3y綜上所述，則直線l的方程為4x 3y 1 0 或 x【點睛】本題主要考查了過圓外一點求切線方程，在求解過程中先討論斜率不存在的情況，然后討論斜率存在的情況，利用點到直線距離公式求出結果，較為基礎。19.某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1（萬元）與倉庫到車站的距離（公里）成反比.而每月庫存貨物的運費y2 （萬元）與倉庫到車站的距離（公里）成正比.如果在距車站10公里處建倉庫，這兩項費用 y1和y2分別為2萬元和8萬元，由于地理位置原因.倉庫距離車站不超過 4公里.那么要使這兩項費用之和最小,最少的費用為萬元.【答案】8.

18、2設倉庫與車站距離為 x公里,可得出火、y2關于x的函數(shù)關系式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性求出y1 y的最小值.【詳解】設倉庫與車站距離,一 ，20 x公里，由已知y120 x,y2 0.8x.費用之和y y1 y2 0.8x20 -求中0 xx 4,由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y 0.8x所以，當x 4時，y取得最小值8.2萬元,20、在區(qū)間x故答案為：0,4上單調(diào)遞減,8.2.【點睛】本題考查利用雙勾函數(shù)求最值，解題的關鍵就是根據(jù)題意建立函數(shù)關系式，再利用基本不等式求 最值時，若等號取不到時，可利用相應的雙勾函數(shù)的單調(diào)性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬 于中等題.如圖是一正方體的表面

19、展開圖 .B、N、Q都是所在棱的中點.則在原正方體中： MN與CD異面;2 MN 平面PQC ；平面MPQ 平面CQN ；EQ與平面AQB形成的線面角的正弦值是 ；二3面角M BQ- E的余弦值為4.其中真命題的序號是5【答案】【解析】【分析】 將正方體的表面展開圖還原成正方體，利用正方體中線線、線面以及面面關系，以及直線與平面所成角的 定義和二面角的定義進行判斷【詳解】根據(jù)條件將正方體進行還原如下圖所示:對于命題，由圖形可知，直線 MN與CD異面，命題正確;對于命題，N、Q分別為所在棱的中點，易證四邊形MNQP為平行四邊形,I所以，MNPQ , MN 平面PQC , PQ 平面PQC , M

20、N 平面PQC ,命題正確;對于命題，在正方體中， MP 平面PQC ,由于四邊形 MNQP為平行四邊形，QN/MP , QN 平面PQC .：CQ、PQ 平面 PQC , QN CQ, QN PQ.則二面角C QN P所成的角為 CQP ,顯然 CQP不是直角，則平面MPQ與平面CQN不垂直，命題錯誤； 對于命題，設正方體的棱長為 2,易知EF 平面AQB ,則EQ與平面AQB所成的角為 EQF ,由勾股定理可得 ae 2應，eq Jae2 aq2 3，EF 22在Rt EFQ中，sin EQF 一，即直線EQ與平面AQB所成線面角的正弦值為 ,命題正確； EQ 33對于命題，在正方體中，M

21、P 平面MEFG ,且BQ/MP , BQ 平面MEFG .；BE、BM 平面 MEFG , BQ BE , BQ BM ,所以，二面角M BQ E的平面角為 MBE ,在MBE中，由勾股定理得 bm BE JbF2 EF2 J5，ME 2,222由余弦定理得cos MBE BM_BE一ME 3 ,命題錯誤.2BM BE 5故答案為：.【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面關系的判斷以及線面角、二面角的計算，判斷時要從空間中有關線線、線面、面面關系的平行或垂直的判定或性質(zhì)定理出發(fā)進行推導，在計算空間角時，則應利用空間角的定義來求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題三、

22、解答題(解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.).已知 x 0 , y0,2x8yxy0 .(1)求xy的最小值；(2)求x y的最小值.【答案】（1） 64 ,（2） x+y的最小值為18.【解析】試題分析：（1）利用基本不等式構建不等式即可得出;(2)由2x 8y xy,變形得利用“乘1法”和基本不等式即可得出.試題解析：（1）由2x8yxy#- x2_8 21,又 x 0 , y 0,故 1 822xy8 xy1,故xy64 ,當且僅當16時等號成立，xy min 64(2)由22x8yxy0,得1,則=102x8yx102 2x 8y. y x18.當且僅當2xy8y1,即12時等號

23、成立.，6min 18【點睛】本題考查了基本不等式的應用，熟練掌握“乘1法”和變形利用基本不等式是解題的關鍵.22.銳角 ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、W, cr 2.3. A右 bcosC ccosB asin A.3(1)求 A;(2)若SABC 5J3, a J21,求 AABC 的周長.【答案】（1） A ； （2） 9折.3【解析】（1）利用正弦定理邊角互化思想，結合兩角和的正弦公式可計算出sin A的值，結合 A為銳角，可得出角A的值;（2）利用三角形的面積公式可求出bc 20,利用余弦定理得出 b c 9,由此可得出 ABC的周長.【詳解】（1）依據(jù)題設條件的特點，由正

24、弦定理,得 sinBcosC cosBsinC2 3 . 2 ,sin A,有 sin B C3從而sin B C sin A R3sin2 A ,解得sin A 3A為銳角，因此，A 一；3231 S:；abc -bcsin A 58，故 bc 20, 匕 2由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A 21,即 21 b2 c2 bc b c 2 2bc bc,2b c 21 3bc 21 3 20 81, b c 9,故ABC的周長為a b c 9 V21 -【點睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應用，同時也考查余弦定理和三角形面積公式解三角形，要熟悉正弦定理和余弦定理解三角形所適用

25、的基本類型，同時在解題時充分利用邊角互化思想，可以簡化計算,考查運算求解能力，屬于中等題 .23.如圖，邊長為 2的正方形 ABCD中,F是BC的中點，將 3ER3CF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點重合(1)點E是AB的中點，點于點A 。求證：AD EF1 (2)當BE BF BC時，求三棱錐 A EFD的體積。4【答案】(1)證明AD平面 AEF ; (2). 1712試題分析：(1)由題意，AD AE,ADAF, AD 平面 AEF , . . A D EF。(2)把AEF當作底面，因為角 FAD =90 ,所以AD為高;2 22212,ef.172 2過A作A H垂直于EF, H為E

26、F中點(等腰三角形三線合一)BE= BF= -BC- , EF2 BE2 BF242_ _32_ 2_2AF2 BF , AH 2AF 2HF2,AH2考點：折疊問題，垂直關系，體積計算。點評：中檔題，對于折疊問題，要特別注意“變”與“不變”的幾何元素，及幾何元素之間的關系。本題計算幾何體體積時，應用了 “等體積法”，簡化了解題過程。24.已知圓 C:x2 y2 2x 3 0.(1)求圓C的半徑和圓心坐標；(2)斜率為1的直線m與圓C相交于D、E兩點，求 CDE面積最大時直線 m的方程.【答案】(1)圓C的圓心坐標為1,0 ,半徑為2; x y 3 0或x y 1 0.【解析】【分析】(1)將

27、圓C的方程化為標準方程，可得出圓C的圓心坐標和半徑；(2)設直線m的方程為y xb,即xyb0,設圓心到直線 m的距離d ,計算出直線 m截圓C的弦長DE| 2,4 d2 ,利用基本不等式可得出CDE的最大值以及等號成立時對應的d的值，利用點的到直線的距離可解出實數(shù) b的值.2 o【詳解】(1)將圓C的方程化為標準方程得 x 1 y2 4,因此，圓C的圓心坐標為 1,0 ,半徑為2 ;(2)設直線m的方程為y xb,即xyb 0 ,設圓心到直線 m的距離d ,則0 d 2,且DE 24 d2 ,12,CDE的面積為S CDE - DE d當且僅當d J2時等號成立，由點到直線的距離公式得d解得

28、b 3或1因此，直線m的方程為x 丫30或*丫1 0 .【點睛】本題考查圓的一般方程與標準方程之間的互化，以及直線截圓所形成的三角形的面積，解題時要 充分利用幾何法將直線截圓所得弦長表示出來，在求最值時，可利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性來求解,考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題25.已知正項數(shù)列 an的前n項和為Sn,對任意n N，點an，Sn都在函數(shù) f x2x2的圖象上.(1)求數(shù)列 an的通項公式;(2)若數(shù)列bn2n 1 an,求數(shù)列bn的前n項和Tn ；(3)已知數(shù)列&滿足Cnl1- nN,右對任思n n，存在xC!C2(II Cnf xo a成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1) an2n； Tn6 2n3 2n 1 ； ( 3)91,80(1)將點 an，Sn代入函數(shù)yf X的解析式得到Sn 2ana1Si可求出a1的值，令n 2,由 Sn 2an 2得 Sn 12an 1 2,兩式相減得出數(shù)列an為等比數(shù)列,確定