簡諧振動速度和加速度

1、關(guān)于簡諧振動的速度和加速度第一張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月10-1 諧振動簡諧振動（simple harmonic motion, SHM）：一、諧振動的特征及其表達(dá)式受力特點： 線性回復(fù)力 動力學(xué)特征 物體運動時，離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時間變化。第二張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月其解為 令簡諧振動的特征方程 簡諧振動表達(dá)式第三張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月vm=A 稱為速度幅值 ； am=2A 稱為加速度幅值 。 簡諧振動的速度和加速度：第四張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月簡諧振動的運動學(xué)特征方程 第五張，PPT共

2、六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月由初始條件(x0 ， v0 )求解振幅和初相位：設(shè) t =0時，振動位移：x = x0振動速度：v = v0第六張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二、描述諧振動的特征量 2. 周期(period) T : 完成一次完全振動所經(jīng)歷的時間。1. 振幅(amplitude) : A （即最大位移，x=A ）角頻率 （或稱圓頻率） ：頻率(frequency) : 單位時間內(nèi)完成完全振動的次數(shù)。 = 1/TAxtOT第七張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月相位差： = ( 2 t + 20 ) -(1t + 10)對兩同頻率的諧振動 = 20 - 10初相差

3、 當(dāng) = 2k ，( k =0,1,2,)，兩振動步調(diào)相同，稱同相。 初相位（initial phase） ：0 （ t + 0 ）描述振動狀態(tài)3. 相位（phase）： 當(dāng) = (2k+1)， ( k =0,1,2,)，兩振動步調(diào)相反， 稱反相。 若 0 20- 10 )的物體，在光滑水平面內(nèi)做直線運動。求解其運動。解：彈簧、物體的動能分別為 當(dāng)物體處于位移x 速度為v時，彈簧元 dl 的質(zhì)量為 位移為速度為第二十八張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月系統(tǒng)彈性勢能為系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有對時間求導(dǎo)，常量常量仍為簡諧振動第二十九張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月10-2 阻尼振動 振

4、動物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所做的振動，稱為無阻尼自由振動。 在回復(fù)力和阻力作用下的振動稱為阻尼振動。阻尼：消耗振動系統(tǒng)能量的原因。 阻尼種類：摩擦阻尼 輻射阻尼 對在流體(液體、氣體)中運動的物體，當(dāng)物體速度較小時，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示為 ：阻力系數(shù)第三十張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月阻尼振動方程：引入 阻尼因子 固有頻率在小阻尼條件下 ，微分方程的解為 其中 和 為積分常數(shù)，由初始條件決定。第三十一張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月阻尼振動的準(zhǔn)周期性余弦項表征了在彈性力和阻力作用下的周期運動； 減幅振動反映了阻尼對振幅的影響。阻尼振動的周期

5、：第三十二張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月阻尼振動的三種情形： 欠阻尼 過阻尼 臨界阻尼第三十三張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月10-3 受迫振動 共振一、受迫振動 物體在周期性外力（驅(qū)動力）的持續(xù)作用下發(fā)生的振動稱為受迫振動（forced vibration）。驅(qū)動力：運動方程：設(shè)第三十四張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)阻尼較小, 0時, 方程的解：暫態(tài)項穩(wěn)定項穩(wěn)定振動狀態(tài)：第三十五張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 在穩(wěn)定振動狀態(tài)下，受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率。第三十六張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月穩(wěn)態(tài)時振動物體速度： 在受迫振動中，

6、周期性的驅(qū)動力對振動系統(tǒng)提供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相等，則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動狀態(tài)。第三十七張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二、共振 當(dāng)驅(qū)動力的角頻率等于某個特定值時，位移振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為位移共振（displacement resonance）。第三十八張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 受迫振動速度在一定條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象稱為速度共振（velocity resonance）。 在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以認(rèn)為等同。第三十九張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月10-4 電磁振蕩一、LC電路的振蕩 電路中電壓和電流的周期性變化稱

7、為電磁振蕩。LC振蕩電路 向左合上開關(guān)，使電源給電容器充電，然后將開關(guān)接通LC 回路，出現(xiàn)電磁振蕩效應(yīng)。第四十張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 電荷與電流（電場能量與磁場能量）隨時間作周期性變化，且不斷相互轉(zhuǎn)換。若電路中無能量損耗，這種變化將一直持續(xù)下去，稱為(無阻尼)自由振蕩。CL+Q-Q+Q-QLC回路的振蕩過程II第四十一張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè) t 時刻電容器極板上電荷量為 q，電路中電流為 i ，順時針方向為電流正向，振蕩角頻率（無阻尼）自由振蕩的定量分析CLiQ0是電荷量振幅，0是振蕩初相。第四十二張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月電荷和電流

8、都做簡諧振動，電流的振動超前電荷/2。第四十三張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月電場能量為 磁場能量為 電磁場總能量守恒第四十四張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二、受迫振蕩 電共振 LRC 電路在外加周期性電動勢持續(xù)作用下產(chǎn)生的振蕩，稱為受迫振蕩。對受迫振蕩：電動勢：穩(wěn)態(tài)解：第四十五張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月其中 當(dāng)電路滿足 時，電流振幅最大，稱為電共振。電流振幅最大值為即第四十六張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月三、力電類比機(jī)械振動電磁振蕩(串聯(lián)電路)位移 x速度 v質(zhì)量 m勁度系數(shù) k阻力系數(shù) 驅(qū)動力 F彈性勢能 kx2/2動能 mv2/2電荷 q

9、電流 i電感 L電容的倒數(shù) 1/C電阻 R電動勢 電場能量 q2/2C磁場能量 Li2/2第四十七張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月10-5 一維諧振動的合成一、同一直線上兩個同頻率諧振動的合成 某一質(zhì)點同時參與兩個獨立的、同方向、同頻率的簡諧振動，其振動位移分別為 合振動： 合振動仍為同方向同頻率的簡諧振動。（由振動的疊加原理）第四十八張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月合振動：（1）若則（2）若則第四十九張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月求合振動。例10-3解：第五十張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月討論第五十一張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二、同

10、一直線上兩個不同頻率諧振動的合成 拍 設(shè)同方向、角頻率分別為 和 的兩簡諧振動（ ），它們所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量分別為 和 相對于 的轉(zhuǎn)動角速度：第五十二張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月振幅：隨時間緩慢變化拍：合振動的振幅時強(qiáng)時弱的現(xiàn)象( |2-1| 2, 1時)拍的周期：拍的頻率：諧振因子：第五十三張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十四張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月10-6 二維諧振動的合成 兩相互垂直同頻率簡諧振動的合成, 其振動軌跡為一橢圓。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。 同頻率垂直簡諧振動的合成消去 t ，得 第五十五張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022

11、年6月yx討論幾種特殊情形：1.質(zhì)點做線振動s第五十六張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月yx質(zhì)點做線振動合振動的振幅：第五十七張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月yx質(zhì)點振動軌跡為右旋正橢圓。特別當(dāng)A1=A2時，合成為右旋圓軌跡。2.y方向振動超前于x方向質(zhì)點振動軌跡為左旋正橢圓。第五十八張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月兩同頻率垂直簡諧振動在不同相位差時的合成第五十九張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 不同頻率垂直簡諧振動的合成2. 當(dāng)兩振動頻率恰成整數(shù)比時，得封閉穩(wěn)定軌道，稱為李薩如(Lissajous)圖。 看成 ，但相位差緩慢變化。合運動軌跡將按不同相位差

12、的合成圖形依次緩慢變化。第六十張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月x:y李薩如圖第六十一張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月10-7 振動的分解 頻譜若周期性振動的頻率為 0則各分振動的頻率為 0, 20, 30, 周期性振動可分解為一系列頻率分立的簡諧振動離散頻譜。傅里葉分析：對周期性函數(shù) f (t)(基頻 , 二次諧頻 , 三次諧頻 , )第六十二張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十三張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月tx0t0tx1t0 x3t0 x50 x1+x3+x5+x00tx0方波的分解第六十四張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月10-8 非線性振動與混沌單擺運動方程： 擺角很小時線性微分方程解為線性（簡諧）振動： 擺角較大時非線性微分方程解為非線性振動。第六十五張，PPT共六十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 振動物體在非線性回復(fù)力作用下所做的振動