行列式的計(jì)算方法開題報(bào)告

1、開題報(bào)告信息與計(jì)算科學(xué)行列式的計(jì)算方法一選題的背景、意義1.1選題的背景1行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的，他在1683年寫了一部叫 做解伏題之法的著作，標(biāo)題的意思是“解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和 它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。1693年4月，萊布尼茨在寫給洛比達(dá)的一封信中使用并給出了行列式，并給出方程組 的系數(shù)行列式為零的條件。同時(shí)代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作解伏題元法中也提出了 行列式的概念與算法。1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆(G.Cramer，17041752)在其著作線性代數(shù)分析導(dǎo)引 中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我

2、們所稱的解 線性方程組的克萊姆法則。稍后，數(shù)學(xué)家貝祖(E.Bezout,17301783)將確定行列式每一 項(xiàng)符號的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線性方程組有非 零解。在行列式的發(fā)展史上，第一個(gè)對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論 與線性方程組求解相分離的人，是法國數(shù)學(xué)家范德蒙(A-T.Vandermonde，17351796)。 范德蒙自幼在父親的知道下學(xué)習(xí)音樂，但對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，后來終于成為法蘭西科學(xué)院 院士。特別地，他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。就對行列式本身 這一點(diǎn)來說，他是這門理論的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇論

3、文中證明了范德蒙提出 的一些規(guī)則，推廣了他的展開行列式的方法。繼范德蒙之后，在行列式的理論方面，又一位做出突出貢獻(xiàn)的就是另一位法國大數(shù)學(xué) 家柯西。1815年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。 其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個(gè)把行列式的元素排成方陣，采用雙 足標(biāo)記法；引進(jìn)了行列式特征方程的術(shù)語；給出了相似行列式概念；改進(jìn)了拉普拉斯的行列 式展開定理并給出了一個(gè)證明等。繼柯西之后，在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國數(shù)學(xué)家雅可比(J.Jacobi，18041851)，他引進(jìn)了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出

4、了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式。雅可比的著名論文論行列式的形成 和性質(zhì)標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。由于行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線性方程組理 論、二次型理論等多方面的應(yīng)用，促使行列式理論自身在19世紀(jì)也得到了很大發(fā)展。整 個(gè)19世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果。除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關(guān)特殊行 列式的其他定理都相繼得到。1.2選題的意義行列式的應(yīng)用在消元法、矩陣論、坐標(biāo)變換，多重積分中的變量替換，解行星運(yùn)動的 微分方程組、將二次型及二次型束化簡為標(biāo)準(zhǔn)型等諸多的問題中都有廣泛的應(yīng)用，然而這些 應(yīng)用最終都離不開行列式的計(jì)算，它是行列式理論中的一個(gè)重要問題。超出了代數(shù)的范圍， 成為解析幾何、數(shù)學(xué)分析、

5、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)分支的基本工具。行列式是代數(shù)學(xué)中 線性代數(shù)的重要分支，是研究高等代數(shù)的一個(gè)重要工具。行列式的理論和方法，是研究現(xiàn)代 科學(xué)技術(shù)的重要方法，在眾多的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中應(yīng)用都十分廣泛。對行列式在高等數(shù)學(xué)中的 應(yīng)用作了總結(jié)，初步揭示工科數(shù)學(xué)兩門重要的基礎(chǔ)課線性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)之間密切的聯(lián)系。 利用行列式去解決一些問題，使復(fù)雜問題簡單化，在解決問題方面起到拋磚引玉的效果。二研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題2.1行列式的定義34行列式在數(shù)學(xué)中，是一個(gè)函數(shù)，其定義域x的矩陣A，取值為一個(gè)標(biāo)量，寫作 det(A)或I A I。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中 的推廣

6、?；蛘哒f，在n維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對“體積”所造成的影響。由n個(gè)數(shù)組成n階行列式等于所有取自不同行列的元素的乘積的代數(shù)和記作：簡記作aiia21a12a22anan= （一1*（叩2 p）a a 圮a2p2npna：n1a：n 2a：nndet(aj或D，數(shù) a,.稱為行列式D的元素。其中pp p是一個(gè)n階排列，t (ppp )為這個(gè)排列的逆序數(shù)。1 2 n1 2 nn個(gè)元素的乘積的代數(shù)和D = (-1)t(PP2 pn)a a a1P1 2 P2nPn1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的；2、n階行列式由n項(xiàng)的代數(shù)

7、和3、n階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列n個(gè)元素的乘積;4、每項(xiàng)a1 % a的符號為（一1*叩2 pn5、一階行列式|i| = a不要與絕對值記號相混淆. alnjpn的逆定理n階行列式det （a.）的一般項(xiàng)可記為（一母 z）+T j j）a ayi j l2 j其中l(wèi)l l 與jj j均是邠介排列。1 2 n 1 2 n2.2行列式的性質(zhì)5,6,7性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式變號.證明：設(shè)行列式D= (T)a1p ajp anp t為排列七 序數(shù)”r. D = (T)氣a a a J 11P1jp.%np-T (p1 PpPn）與T 3； pj

8、 pi pn ）的奇偶性不同。于是D1 = -D-推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式 推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.推論 行列式中如果有一行（列）元素等于零，則此行列式的值為零.性質(zhì)4若行列式中有兩行（列）元素成比例，則此行列式的值等于零性質(zhì)5行列式具有分列（行）相加性.注:如果行列式的某一行（列）所有元素都是兩個(gè)項(xiàng)的和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和，具體如下：即D =a11a21a12a22(a + a ) (a + a )a1na2 nan1an 2(a :

9、+ a) a nn 則行列式等于下列兩個(gè)行列式之和：a11a1ia a.1n11a.1i a a2ia1nDa=21a2ia a2 n + 21a2 nan1 ani a annn1 . r .ani ann性質(zhì)6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變.C + kc (r + kr )aaaa111i1 j1naaaa212i2 j2 n a:aaan1 , ni . nj , nna (a + ka )aac+ kcr(a： +4)a：a： j 咯(a”氣)九a定理1函數(shù)det: M 2x2( F) F是2 x 2的矩陣當(dāng)一列固定不變時(shí)是另一行

10、的線性函數(shù)。也就是，如果p,v,3det在F中，K是，一個(gè)數(shù)值，那么，+KV )=detO+K det()333det( 3)= detd det。)日+KV口V .定理2 9交換行列式中的第r行跟第i行將改變行列式符det(P (r, s) A)= - det A號。類似的交換行列式的第r列跟第i列也改變行列式的符號。那就是det(AP (r, s )= 一 det A, r 豐 s2.3行列式的計(jì)算方法與運(yùn)用2.3.1分塊矩陣的初等變換在行列式中的應(yīng)用分塊矩陣是在處理基數(shù)較高的矩陣時(shí)所采用的一種方法，即把一個(gè)大矩陣看成是由一些 小矩陣構(gòu)成，就如矩陣由數(shù)構(gòu)成的一樣。特別在運(yùn)算中把這些小矩陣當(dāng)

11、成數(shù)來處理，這就是 所謂的分塊矩陣。用廣義初等矩陣所作的分塊矩陣的初等變換，是矩陣運(yùn)算中極為重要的手段，它能夠使 一些困難的問題變得容易處理。下面分別給出它在矩陣的行列式、矩陣求逆、矩陣的秩和矩 陣特征值等方面的應(yīng)用。公式1設(shè)A為n階可逆矩陣，以,6為兩個(gè)n維向量，=|A| (1 +Py A-ia)公式2 設(shè)A為n階可逆矩陣，其中B 1為n X 2階矩陣，B 2為2 * n階矩陣，則A + BB1 2=|A|E2 + B2 A-1B1 .公式3設(shè)A為n階可逆矩陣，U，V均為n維向量，A *為A的伴隨矩陣，Vt為V的轉(zhuǎn)置，則 A + UVt = |A| + VtA*U公式4換元公式n ._A =

12、 D + txi=1j=12.3.2范德蒙行列式的應(yīng)用有.11 HYPERLINK l bookmark7 o Current Document aa12形如行列式d = a12a22anan2稱為n階的范德蒙行列式。a n-1a n-112a n-12用連乘號，這個(gè)結(jié)果可以簡寫為:11aa12a 2a212a n-1a n-112(a - a )ij1 j i na n-1由這個(gè)結(jié)果立即得出：范德蒙行列式為零的充分必要條件ai，a2，an，這n個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等。2.3.3 Laplace 展開 口。】 所謂Laplace展開定理就是指，如果在n階行列式中任意選定k行（列），1 k n 一

13、 1,則出現(xiàn)在這k行（列）中一切k階子式與它們相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于原行列式。2.3.4化成三角形行列式法35,7先把行列式的某一行（列）全部化為，再利用該行（列）把行列式化為三角形行列式， 從而求出它的值，這是因?yàn)樗笮辛惺接腥缦绿攸c(diǎn)：1）各行元素之和相等；2）各列元素除 一個(gè)以外也相等。2.3.5行列式乘積法在行列式中 如果每個(gè)元素都可分解為乘積之和G b + a b + a b ）的在行列式中，如果每|元素都可 分解牛為乘積之和 i1 1 j i2 2 jin nj 的形式，那么該行列式就可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)矩陣乘積的行列式，只要分解的這兩個(gè)矩陣的行列式比 較容易計(jì)算，則可由公式|A|

14、= A B計(jì)算出原行列式的值。.2.3.6待定系數(shù)法11此方法是數(shù)學(xué)中的重要方法，它是對數(shù)學(xué)問題，根據(jù)求解問題的固有特征，可轉(zhuǎn)化為一 個(gè)含有待定系數(shù)的恒等式，然后利用恒等式性質(zhì)求出未知系數(shù)，從而獲得問題解決的方法， 用待定系數(shù)法求行列式的思想是：若行列式中含有未定示，則行列式一定是關(guān)于x的一個(gè) 多項(xiàng)式，且當(dāng)取某些值，如x=a能夠使行列式的值為零，根據(jù)多項(xiàng)式整除理論，則行列一定 可以被x- a這個(gè)線性因子整除，即行列式的表達(dá)式里應(yīng)該含有該因子，如果可以找出行列 式的所有因子，求出待定常數(shù)即可得到行列式的值。2.3.7加邊法mi一般計(jì)算行列式，是將其進(jìn)行降階，但對于某些行列式，我們可以反過來，在保

15、持原行 列式值不變的基礎(chǔ)上再加上一行一列（增加的一行一列元素一般是由1和0構(gòu)成），把n階 行列式轉(zhuǎn)化為n+1階行列式，只要巧妙地選取氣，X2，七，結(jié)合行列式的性質(zhì)，便可計(jì) 算出行列式的值。三 研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo) 3.1研究方法與技術(shù)路線主要是以查閱資料,以現(xiàn)有的知識水平，充分理解掌握行列式的定義、行列式的性質(zhì)、 行列式的展開計(jì)算以及行列式的簡單應(yīng)用，結(jié)合其它人所做的行列式的計(jì)算和應(yīng)用方面的相 關(guān)研究文獻(xiàn)，大量閱讀分析這些行列式計(jì)算的相關(guān)文獻(xiàn)，結(jié)合一些相對復(fù)雜的高階行列式的 具體計(jì)算來探討行列式的計(jì)算方法，并對行列式的計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)歸納升華。3.2研究難點(diǎn)（1）需要

16、加強(qiáng)代數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，除了行列式章節(jié)知識；也需要熟練掌握三角行列式等 一些特殊行列式的計(jì)算結(jié)果;矩陣的初等變換和分塊矩陣?yán)碚摵吞卣髦岛吞卣飨蛄坷碚摰纫?有助于行列式的計(jì)算。（2）行列式的計(jì)算相對來說是代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，要充分理解掌握其中的知識 有很大的難度，特別是哪些高階的不規(guī)整的行列式的計(jì)算，計(jì)算量比較大，如何做到降階或 者采用數(shù)學(xué)歸納法等需要對行列式的性質(zhì)有較好的把握才能靈活運(yùn)用以達(dá)到一題多解和快 速求解。（3）該論題需要把一些其它學(xué)科知識融入到行列式的計(jì)算之中，比如：利用微積分法， 利用冪級數(shù)變換、待定系數(shù)法、差分方程求解多項(xiàng)式行列式等等，這些要求對其它學(xué)科知識 掌握的比較好。3

17、.3預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)通過這次論文的撰寫更好的掌握行列式的知識，包括行列式的歷史背景，行列式的定 義和性質(zhì)以及行列式的一些應(yīng)用；能更深的理解和領(lǐng)悟有關(guān)行列式的計(jì)算和應(yīng)用等方面的文 獻(xiàn)著作，能較好的計(jì)算一些較復(fù)雜的行列式。掌握參考文獻(xiàn)資料的查找方法和論文寫作的基 本要求和技巧，培養(yǎng)自己利用所學(xué)知識分析和解決問題的能力，從而提高自己對所學(xué)多學(xué)科 知識融會貫通的能力。四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排第一階段（2010年11月5日一2011年1月10日）: 確定畢業(yè)論文題目，查閱文獻(xiàn)，收集相關(guān)信息、資料。完成文獻(xiàn)檢索、開題報(bào)告及外文翻譯 的初稿。第二階段（2011年1月10日一2011年3月11日）：完成畢業(yè)論

18、文的數(shù)據(jù)收集、論文初稿。第三階段（2011年3月11日一2011年5月3日）：進(jìn)入實(shí)習(xí)單位進(jìn)行畢業(yè)實(shí)習(xí)，對論文進(jìn)行修改，將完成畢業(yè)論文交給指導(dǎo)教師審閱。第四階段（2011年5月23日一2011年5月28日）：準(zhǔn)備并進(jìn)行畢業(yè)論文答辯。五、主要參考文獻(xiàn)：羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等代數(shù)精品課程.行列式的發(fā)展史OL.網(wǎng)址： HYPERLINK 30/xnjpkc/gdds/kewyd_3.htm 30/xnjpkc/gdds/kewyd 3.htm 2008,9.數(shù)學(xué)論文論壇（行列式的計(jì)算與應(yīng)用）OL.網(wǎng)址： HYPERLINK /%CE%D2%B0%AE%C1%F5%BA%A3%B6%F9/blog/item/20f0af8b9a3e97 /%CE%D2%B0%AE%C1%F5%BA%A3%B6%F9/blog/item/20f0af8b9a3e97 d0fd1f1049.html 2007.10.陳寶謙，張?jiān)?線性代數(shù)（經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2）M.天津:天津大學(xué)出版社.P廣55.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編.線性代數(shù)M.北京:高等教育出版.1989,6.劉劍平，施勁松,曹宵臨.線性代數(shù)M.上海：華東理工大學(xué)出版a.2004,8.P4176.李啟文，謝季堅(jiān).線性代數(shù)內(nèi)容、方法與技巧M.武漢：華中科技大學(xué)出版社.2003,9.P廣